1、考研数学（数学一）模拟试卷 293 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)在点 x=0 处（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但 f(x)在 x=0 不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续2 设 y=f(x)的导函数 f(x)在区间0，4上的图形如右图，则 f(x)（A）在(0 ，2) 单调上升且为凸的，在 (2，4) 单调下降且为凹的（B）在 (0，1)，(3 ，4)单调下降，在(1 ，3)单调上升，在 (0，2) 是凹的，而在(2，4)是凸的（C）在 (0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的（D）在(0
2、 ，1) ，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，而在(2，4)是凹的3 下列等式或不等式 设则 中正确的共有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个4 设 S 为球面： x2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是（A）（B）（C）（D）5 下列矩阵中属于正定矩阵的是（A）（B）（C）（D）6 设凡维向量 1， 2， s 的秩为 r，则下列命题正确的是（A） 1， 2， s 中任何 r 一 1 个向量必线性无关（B） 1， 2， s 中任何 r 个向量必线性无关（C）如果 sn，则 s 必可由 1， 2， s-1 线性表示（D）如果 r=n，则
3、任何 n 维向量必可由 1， 2， s 线性表示7 已知随机变量 X 的概率分布为 其中 0，k=1 ，2，则 EX为（A）（B） e（C）（D）8 设璺体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2，则 EX2 的矩估计量是（A）S 2+ （B）（C）（D）二、填空题9 曲线 的全部渐近线方程是_10 微分方程 2x3y=y(2x2 一 y2)的通解是_11 设 是由曲面 y2+z2=1，x+y=1 ，x 一 y =1 围成，则 的体积V=_12 设 L 为曲线x+y =1 ，则 Lxds=_13 已知 t 元二次型 xTAx
4、=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3 的秩为 2，则其规范形为_14 似 i 殳每次试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是n(00f(x)在(1，3) 单调上升又 f(x)在(0，2) 单调上升f(x)在(0，2)是凹的；f(x)在(2，4)单调下降f(x) 在(2，4)是凸的因此，应选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 要逐一分析对于：由可知正确对于：因为 在点 x=0 处无定义，不能在一 1，1上用牛顿一莱布尼兹公式，因此不正确事实上或由于因此对于：易知，故 f(x)在 一 1，1上连续，且是奇函数 故正确对于 ：这里 在(-，+)连续，虽是奇函
5、数，但 发散，因为 故不正确综上分析，应选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x 与 xy 关于 x 为奇函数 被积函数 x2关 X 为偶函数特别要注意，第二类曲面积分有与三重积分不同的对称性质：因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x2 对x 为偶函数 被积函数 x 对 x 为奇函数类似可得由上分析可知，因此应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是aij0C 中 a33=一 1 必不正定；D 中三阶顺序主子式 A= 一 16 【正确答案】 D【试
6、题解析】 r( 1， 2 s)=r 1， 2 s 中一定存在 r 个向量线性尢关，而任意 r+1 个向量必线性相关当向量组的秩为，时，向量组中既可以有 r 一 1 个向量线性相关，也可以有。个向量线性相关，故 A、 B 均错误例如向量 1,2,3,4分别为(1 ，0，0，0) ，(0，l，0，0) ，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为 3，其中 1,4 线性相关， 1,2,4 也线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有 3 个向量线性无关当 sn 时，表明 1， 2 s 必线性相关，此时有 i 可以由 1， ， i-1， i+1，
7、 s 线性表示，但 s 不一定能由 1， s-1 线性表示故 C 不正确若 r(1， 2 s)=n，则对任何 n 维向量卢必有 r(1， 2 s，)=n故 D 正确因此应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 注意到该分布除以外与泊松分布仅差 k=0 这一项，故利朋与泊松分布的关系求出常数 A 的值，然后再求 EX由解得 于是故选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 根据矩估计量的定义来选择正确的选项由于 EX2=DX+(EX)2，而DX 与 EX 的矩估计量分别是 所以 EX2 的矩估计量为 故选 B二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 只有间断点 x=0于是有垂直渐近线 x=0。再求
8、又或于址自斜渐近线10 【正确答案】 ，其中 C0 为 常数【试题解析】 这是齐次方程原方程变形为 令 则即 分离变量得 积分得 ，即 因此，通解为 ，其中 C0 为 常数11 【正确答案】 【试题解析】 在 xOy 平面上的投影区域 Dxy 是由 xOy 平面上的曲线x+y=1与x-y =1 同成，见图。于是 表示为 的体积 Dxy 在第一象限部分记为 D1，由对称性得 其中 D1：0Y1，0x1 一 y于是 或12 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】 L 是正方形的边界线，见右图，因 L 关于 x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 x 均为偶函数，记 L1 为 L 的第一象限部分，则
9、【分析二】利用变量的轮换对称性13 【正确答案】 y 12y32【试题解析】 二次型矩阵 因为A =(a+2)(a 一 1)2，由秩 r(A)=2，易见 a=一 2由 可知矩阵A 的特征值为 3，一 3，0从而正交变换下二次型标准形为 3y12 一 3y32，故其规范形为 y12 一 y3214 【正确答案】 【试题解析】 首先求 X 的概率分布，再用期望定义求解 P 的值依题意 X 取值为2，3，且 PN=npq n-1+qp)-1，(q=1 一 P)解方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (I)因为 xt=1 一 e-t0(t0)，x t(0)=0x=t
10、+e-t 在0，+)单调上升，值域为1 ，+) x=t+e -t 在0，+) 存在反函数，记为 t=t(x)，它在1，+)连续(单调连续函数的反函数连续)再由连续的复合函数的连续性y(x)在1，+)连续16 【正确答案】 由参数式求导法于是 y=y(x)在1，+)单调上升，又因此 y=y(x)在1，+)是凸的17 【正确答案】 又因 y=y(x)在1，+) 连续，所以 y=y(x)只有渐近线 y=2x18 【正确答案】 即证 f(x)g(x) 在(a,b)为常数，由f(x)g(x)在(a，b)为常数，即常数 C，使19 【正确答案】 只需证 f2(x)=0 若类似于凹函数性质，有 f(x)f(
11、x0)+f(x0)(x 一 x0)( r(一，+)当 f(x0)0 时 ;当 f(x0)均与 (-,+)矛盾即 f(x)为常数20 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性，直接求全微分得 du=f1.d(xy)+f2.d(x2一 y2)+f3.dx=f1.(ydx+xdy)+2f2.(xdxydy)+f3dx=(yf1+2xf1+f3)dx+(xf1一 2yf2)ty21 【正确答案】 由 du 表达式中 dx 的系数可得 ux=yf1+2xf2+f3上式再对 y 求偏导数，即得 uxy=y(f1)y+2x(f2)y+(f3)y+f1由于 f1=f1(xy，x 2 一 y2，x) ，f 2=f
12、2(xy，x 2一 y2，x) ，f 3=f3(xy，x 2 一 y2，x)，它们仍是复合函数，求它们关于于 y 的偏导数与求 f(xy，x 2 一 y2，x)关于 y 的偏导数的方法是相同的，同样由复合函数求导法有(f1)y=xf11一 2yf12，(f 2)y=xf21一 yf22，(f 3)y=xf31一 2yf32代入 uxy，的表达式，并利用 f12=f2，(因为它们连续)，得 uxy=y(xf11一 2yf12)+2x(xf21一 2yf22)+2xyf31+2xyf32+f=-ryf11+2(x2 一 y2)f124x)f31-2yf32+f122 【正确答案】 一把该曲线积分分
13、成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线 后用格林公式其中为用格林公式求 I2，添加辅助线 与围成区域 D，并构成 D 的负向边界，于是又 的方程：y=x，x1，2，则因此故 I=I1+I2=23 【正确答案】 求 及其收敛域，令 转化为求 及其收敛域由于f(0)=1因为逐项求导数保持幂级数的收敛半径不变与有相同的收敛半径 R=1，回到原问题有收敛半径 ，且 于是 在收敛区间端点 ，幂级数为 是收敛的，又 处连续，因此24 【正确答案】 1,2,3 线性相关甘秩 r(1,2,3)1,2,3)=所以 =一 325 【正确答案】 设 =(xx1，x 2，x 3，x 4)T
14、，则有( 1,4)=0，( 2,4)=0，( 3,4)=0，即所以 4=k(19，一6，0，1) T，其中 k026 【正确答案】 由于 1,2,3,4= 所以x11+x22+x33+x44= 恒有解，即任一 4 维列向量必可由 1,2,3,4 线性表出或者由(I)知 n=3 时， 1,2,3 必线性无关，那么：若 k11+k22+k33+k44=0，用 4T 左乘上式两端并利用 4T1=4T3=0，有后 4T3=0，又 40，故必有 k4=0于是k11+k22+k33=0由 1,2,3 线性无关知必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而1,2， 3,4 必线性无关而 5 个 4 维列向量
15、必线性相关，因此任一个 4 维列向：量都可由 1,2,3,4 线件表出27 【正确答案】 据已知条件，有 A(1,2,3)=(1 一 3233，4 1+42+3，一21+33)=(1,2,3) 记 及 P1=(1,2,3)，那么由1,2,3 线性无关知矩阵 P1 可逆，且 P1-1AP1=B，即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式 得矩阵 B 的特征值是 1，2，3从而知矩阵 A 的特征值是 1，2，3 28 【正确答案】 由(E B)x=0 得基解系 1=(1，1，1) T，即矩阵 B 属于特征值 =1的特征向量，由(2E 一 B)x=0 得基础解系 2=(2，3，3) T，即矩阵 B
16、 属于特征值 =2的特征向量，由(3E 一 B)x=0 得基础解系 3=(1，3，4) T，即矩阵 B 属于特征值A=3 的特征向量，那么令 P2=(1， 2， 3)，则有 P2BP2= 于是令P=P1P2=(1,2,3) =(1+2+3，2 1+32+33， 1+32+43)，则有 P-1AP=(P1P2)-1A(P1P2)=P2-1(P1-1AP1)P2=P2-1BP2= 所以矩阵 A 属于特征值1，2，3 的线性尤关的特征向量依次为 k1(1+2+3)，k 2(21+32+33)，k3(1+32+43)，k i0(i=1， 2，3)29 【正确答案】 由 及A=6 知， 从而所以秩 r(
17、A*一 6E)=230 【正确答案】 X 1 的可能取值为 0，1；X 2 的取值为 0，1，2由乘法公式可得得联合分布与边缘分布如下表31 【正确答案】 或PX1X2=0=PX1=0，X 2=0+PX1=0，X 20+PX10，X 2=032 【正确答案】 由边缘分布知 而故 cov(X1，X 2)=EX1X2 一 EX1EX2=由于协方差不为零且为负数，故知X1，X 2 负相关。33 【正确答案】 由题设 X，Y 相互独立，且 故先求 Z 的分布函数当 z0 时，Fz(z)=0；当 0当 z2 时所以于是34 【正确答案】 直接用期望、方差的运算性质由于且 X，Y 相互独立，故 EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2，DZ=D(X+2y)=DX+4DY=
