1、考研数学（数学一）模拟试卷 352 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 =秩(A)，则线性方程组2 3 4 5 6 （A） （B） （C） （D） 7 8 （A） （B） （C） （D） 二、填空题9 10 11 12 13 14 (2011 年试题，二) 若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为 y12+4z12=4 则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 1
2、6 设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所同成过 z 轴上 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径的圆面若以每秒 vn 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的17 写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 =V(t)之间的关系式，并求出水面高度 z 与时间 t 的函数关系；18 求水表面上升速度最大时的水面高度；19 求灌满容器所需时间20 20 设 ，试证明：21 an+1a n 且22 级数 条件收敛23 本题满分 11 分。24 25 设随机变量 X 的方差存在，分别就离散型
3、和连续型情形证明 “切比雪夫不等式”即对任意 0，有 P|X-EX|DX/226 考研数学（数学一）模拟试卷 352 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 B7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 B【知识模块】 综合二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 7【试题解析】 11 【正确答案】 -+ln3【试题解析】 12 【正确答案
4、】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 因为二次型经过正交变换化为y12+4z12=4，所以 A 的特征值为 1=0,2=1， 3=4，再由A =一(a 一 1)2=123=0得 a=1【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积V(t)之间的关系是 其中 s(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)=z2+(1一 z)2现由 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离
5、变量的一阶微分方程，分离变量得(*)两边积分并注意 z(0)=0，得(*)18 【正确答案】 求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1一 z)2 在0，1上的最小值点由f(z)在 在0，1上取最小值故 时水表面上升速度最大19 【正确答案】 归结求容器的体积，即 因此灌满容器所需时间为 或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*) 中令 z=1 得 ，即20 【正确答案】 21 【正确答案】 因为 时，0tanx1，且仅在两处 x=0 与 等号成立，所以 又因ana n+1，所以 2ana n+an+2，从而 因 2an+2a n+an+2，从而 ，于是 (I)证毕22 【正确答案】 由(I)有 ，所以 发散且an+1a n，并由已证 知 所以由莱布尼茨定理知收敛，所以 条件收敛23 【正确答案】 24 【正确答案】 【知识模块】 综合25 【正确答案】 【知识模块】 综合26 【正确答案】 【知识模块】 综合
