1、考研数学（数学一）模拟试卷 387 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列无穷小量中阶数最高的是（A）（B） tanxsinx（C） 4x2+5x3x 5（D） cos2x2 考虑一元函数 f(x)有下列四条性质： f(x)在a ，b连续； f(x)在a ，b 可积； f(x)在a，b 可导； f(x)在a，b 存在原函数若用 “P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则（A） （B） （C） （D） 3 设 u(x，Y)在点 M0(x0，y 0)处取极小值，并且 均存在，则4 设 S 为球面： x2+y2+z2=R2，则下列同一组的两
2、个积分均为零的是5 已知 ，则代数余子式 A21+A22=（A）3（B） 6（C） 9（D）126 已知 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（A）如果 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（B）如果 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，那么 1， 2， 4 也线性相关（C）如果 3 不能由 1， 2 线性表出， 4 不能由 2， 3 线性表出，则 1 可以由2， 3， 4 线性表出（D）如果秩 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由1， 2， 3 线性表出7 已知随机变量
3、X 的概率分布为 PX=k= ，其中 0，k=1，2，则EX 为（A）（B） e（C）（D）8 设 X1，X 2，X n 是来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本， ，S 2 是样本均值与样本方差，则下列不服从 2(n1) 分布的随机变量是（A）（B）（C） (n1)S 2（D）二、填空题9 曲线 y=x2( 1)的全部渐近线方程是 _10 微分方程 +4y=eos2x 的通解为 y=_11 设 L 为曲线： 则 I=L(x2+3y+3z)ds=_12 若将柱坐标系中的三重累次积分 I= zr2dz 化为直角坐标系Oxyz 中的三重累次积分 (先对 z，再对 y 最后对 x 积分)，则 I=
4、_13 已知二次曲面 x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a2)yz=1 是椭球面，则 a 的取值为_14 在一次晚会上，有 n(n3)对夫妻做一游戏，将男士与女士随机配对，则夫妻配成对的期望值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，且满足 f(x)=(x )2 tf(xt)dt，求 f(x)16 ()已知由参数方程 确定了可导函数 y=f(x)，求证：x=0是 y=f(x)的极大值点 ()设 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y 0)= (x0，y 0=0， (x0，y 00， (x0，y 0)0 的某邻域确定
5、的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导，且 y(x0)=y0，求证 y(x)以 x=x0为极小值点17 设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所围成，过 z 轴上 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径r(z)= 的圆面，若以每秒 v0 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的 ()写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积 V=V(t)之间的关系式，并求出水面高度 z 与时间 t 的函数关系； ()求水表面上升速度最大时的水面高度； ()求灌满容器所需时间18 求幂级数 的收敛域及和
6、函数19 设 P(x，y)= ，Q(x ，y)= () 求 与 () 求J=CP(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中 C 是圆周 x 2+y2=32，取逆时针方向20 已知 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵， 1， 2， 3， 4 是 4 维列向量，若方程组Ax= 的通解是(1，2，2，1) T+k(1，2，4，0) T，又 B=(3， 2， 1， 4)，求方程组 Bx=1 2 的通解21 若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即A=kE，E 是 n 阶单位矩阵)22 设随机变量(X，Y) 服从区域 D 上的均匀分布，D=(x，y)0x2，
7、0y2， 令 U=(X+Y)2，试求 EU 与 DU23 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为()求未知参数 的矩估计量； ()若样本容量 n=400，置信度为 095，求 的置信区间考研数学（数学一）模拟试卷 387 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 分别考察每个无穷小量的阶数由4x2+5x3x 54x2 (x0)，可知， (A)，(C)均是二阶的又由 tanxsinx=tanx(1cosx)x x2= x3 (x0) ，可知，(B)是三阶的 用泰勒公式考察(D)当 t0 时有
8、et=1+t+ t2+o(t2)，cost=1 t2+ t4+o(t4)，从而由=12x 2+ (2x 2)2+o(x4)， cos2x=1 (2x)2+ (2x)4+o(x4)cos2x= x4+o(x4)= x4+o(x4) (x0) (D)是四阶的因此应选(D)2 【正确答案】 C【试题解析】 由基本定理，我们应知道： f(x)在a，b 可导 f(x)在a，b连续因此，应选(C)3 【正确答案】 A【试题解析】 偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数取极值的必要条件可得相应结论令 f(x)=u(x，y 0) x=x0是 f(x)的极小值点 (若 f“
9、(x0)=0 是 f(x)的极大值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)=u(x0，y) y=y0 是 g(y)的极小值点 因此，应选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x 与 xy 关于 x 为奇函数 被积函数 x2 关于 x 为偶函数特别要注意，第二类曲面积分有与三重积分不同的对称性质：因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x2 对 x 为偶函数 被积函数 x 对 y 为奇函数(这里设 S 取外侧)类似可得 (这里仍设 S 取外侧 )由上分析可知， ，因此应选?5 【正确答案】 B【试题解析】 对行列式
10、A按第 2 行展开，有 2A 21+2A22+A23+A24=9 构造行列式 则A和B第 2 行元素代数余子式相同对B 按第 2 行展开，又有 21+A22+2A23+2A24=B=0联立，可得A21+A22=6故选 (B)6 【正确答案】 B【试题解析】 例如 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1)T，可知(B)不正确应选(B) 关于(A) ：如果 1， 2， 3 线性无关，又因1， 2， 3， 4 是 4 个 3 维向量，它们必线性相关，而 知 4 必可由 1， 2， 3 线性表出 关于(C) ：由已知条件，有 () r(1， 2)
11、r(1， 2， 3)， () r( 2， 3)r(2， 3， 4) 若 r(2， 3)=1，则必有 r(1， 2)=r(1， 2， 3)，与条件()矛盾故必有 r(2， 3)=2那 么由()知 r(2， 3， 4)=3，从而 r(1， 2， 3， 4)=3因此 1 可以由 2， 3， 4 线性表出 关于(D)：经初等变换有 (1， 1+2， 2+3)( 1， 2+3)( 1， 2， 3)， (4， 1+4， 2+4， 3+4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)， 从而 r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4) 因而 4 可以由 1， 2， 3 线性表出7 【正确答案
12、】 D【试题解析】 注意到该分布除 a 外与泊松分布仅差 k=0 这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数 a 的值，然后再求 EX由故选(D)8 【正确答案】 B【试题解析】 由于 XiN(0，1)，故 2(1)，由 2 分布的可加性知又 ，故 2(1)所以 ，故(A)正确，可知(B)不服从2(n 1)分布，因此应选(B) 又 =(n1)S 2 2(n1)， 2(n1)，说明(C)与(D) 均服从 2(n1) 分布二、填空题9 【正确答案】 x=0，y=x+【试题解析】 只有间断点 x=0，于是有垂直渐近线x=0再求于是有斜渐近线 y=x+10 【正确答案】 sin2x+C1cos2x+C2s
13、in2x【试题解析】 y“+4y=cos2x 对应的齐次方程的特征方程是 r2+4=0它的两个特征根为 r1，2 =2i因此对应的齐次方程的通解为 y=C1cos2x+C2sin2xi=2i 是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为 y *=x(Acos2x+Bsin2x)，则 (y *)=x(2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x， (y *)“=x(4Acos2x+4Bsin2x)4Asin2x+4Bcos2x将上两式代入方程 y“+4y=cos2x 中，得4Asin2x+4Bcos2x=cos2x 比较上式系数得 A=0，B= 故原方程的通解为y= sin2x+C
14、1cos2x+C2sin2x11 【正确答案】 a 3【试题解析】 由在 L 上 y+z=0易写出 L 的参数方程：12 【正确答案】 【试题解析】 这是三重积分 在柱坐标变换(x=rcos，y=rsin，z=z)后的累次积分如下图 将 的柱坐标表示： 变换为 Oxyz 中的直角坐标表示：于是13 【正确答案】 【试题解析】 二次曲面 f=1 是椭球面 二次型 f 的特征值全大于 0 f 是正定二次型 顺序主子式全大于 0由二次型矩阵 有其顺序主子式 1=1， 2= =4a 20， 3=A=42a 20，故当 a 时，顺序主子式全大于 0，即 f 正定14 【正确答案】 1【试题解析】 设有
15、X 对夫妻配成对，不妨固定男士，女士随机选择男士三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形令 s=xt 得现把它转化成微分方程问题式两边求导得 又式中令 x= 得f()=0 再对 求导得 f“(x)+f(x)=2在 中令 x= 得 f()=0于是问题转化为求解初值问题 其中 y=f(x)这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解 y*=2，于是通解为 y=C 1COSx+C2sinx+2由解得 C1=2，C 1=0因此 y=f(x)=2cosx+216 【正确答案】 () 先求
16、y(0)：由 x=arctant 知， x=0 t=0，x0( t0(2)siny知，x=0 y=siny y=0(y+siny )因此 y(0)=0，下面求 并判断它，在 x=0邻域的正负号其中 0是充分小的数因此 x=0 是 y=f(x)的极大值点 ()由隐函数求导法知 y(x)满足令 x=x0，相应地 y=y0，由 Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0 得 y(x0)=0将上式再对 x 求导，并注意 y=y(x)即得再令 x=x0，相应地y=y0， y(x0)=0，得 因此 x=x0是 y=y(x)的极小值点17 【正确答案】 () 由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容
17、器中水面高度 z(t)与体积 V(t)之间的关系是 其中 S(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)=z2+(1z) 2现由 =v0 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v 0dt，即z 2+(1z) 2dz= (*)两边积分并注意 z(0)=0，得(*) () 求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即(若未解答题()，可对题()告知要证的结论即(*)式两边对 t 求导得 ，同样求得上式) 因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1z) 2 在0 ，1上的最小值点由f(z)在
18、z=12 在0，1上取最小值故 z=12 时水表面上升速度最大 ()归结求容器的体积，即 因此灌满容器所需时间为(秒) 或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*)中令 z=1 得18 【正确答案】 求 及其收敛域，令 t= ，转化为求 及其收敛域由于 f(0)=1因为逐项求导数保持幂级数的收敛半径不变 与 有相同的收敛半径R=1，回到原问题 有收敛半径 R= 且在收敛区间端点 x= ，幂级数 为 是收敛的，又 在 x=处连续，因此19 【正确答案】 可考虑用格林公式计算 J 因为 P，Q 在点(1，0) 处没定义，所以不能在 C 围成的区域 D 上直接用格林公式但可
19、在 D 中挖掉以(1，0)为圆心，0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见下图求解如下： 以(1 ，0) 为圆心 0 充分小为半径作圆周 (取顺时针方向 )，C 与 C 围成的区域记为 D，在 D上用格林公式得(*)用“控洞法”求得(水 )式后，可用 C的方程 (x+1)2+y2=2 简化被积表达式，然后用格林公式得其中是 所围的区域20 【正确答案】 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r( 1， 2， 3， 4)=3， 且 1+22+23+4=， 12 2+43=0 因为 B=(3， 2， 1， 4)=(3， 2， 1， 1+22+23)，且 1， 2， 3 线性相关，而知
20、秩 r(B)=2由=(3， 2， 1， 4) =1 2，知(0 ，1，1，0) T 是方程组Bx=1 2 的一个解又由 =(3， 2， 1， 1+22+23)=432 2+1=0， =(3， 2， 1， 1+22+23)=12 2+43=0，可知 (4，2，1，0) T，(2，4，0，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx=1 2 的通解是：(0，1，1 ，0) T+k1(4，2，1，0)T+k2(2，4，0，1) T21 【正确答案】 因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似 现取 n 个单位向量 i=(0
21、，0，1，0，0) T， (i=1 ，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为 1， 2， n，那么令 P=(1， 2， n)=E，有如果12，则 A(1+2) =11+22 因为每个 n 维向量都是 A 的特征向量，又应有A(1+2)=(1+2)，于是 ( 1) 1+(2) 2=0由于 A1， 2 不全为 0，与1， 2 线性无关相矛盾，所以必有 1=2同理可知 1=2= n=k，故 A=kE22 【正确答案】 求一个随机变量 U 的数字特征，可以先求出 U 的概率密度，再计算 EU 与 DU 令 V=X+Y，先求 V 的分布函数 F(v)与密度函数 f(v)其中，D 1 与 D2 如图所示于是因此DU=EU2(EU) 2=23 【正确答案】 () 要求 的矩估计量，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系记 =EX，则()尽管总体 X 不是正态总体，但由于样本容量 n=400 属大样本，故 也近似服从标准正态分布，即总体 X 的期望值 的置信区间公式仍是注意到 = 是 的严格递增函数，n=400， =196，因此 的置信区间为
