1、考研数学（数学一）模拟试卷 390 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(1)=a，则数列极限 =_（A）0（B） a（C） 2a（D）2 以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=ex 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（A） +3y+5y=0（B） +3y+5y=0（C） 3y+5y=0（D） 3y+5y=03 设 f(x0)=0， (x0)（A）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0+)是凹的（B）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0+)是凸的（C）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0单调减少，而在x 0，x 0+
2、)单调增加（D）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少4 下列命题中不正确的是（A） 在区域 D=(x，y)(x，y)(1，0)内与路径无关（B） 在区域 D=(x，y)(x，y)(0，0)内不是与路径无关（C）设 P(x， y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 (x，y)D)，则 L Pdx+Qdy 在区域 D 内与路径无关（D） 在区域 D=(x，y)(x ，y)(0，0)上不存在原函数5 下列矩阵中属于正定矩阵的是6 设 n 维向量 1， 2， s 的秩为 r，则下列命题正确的是（A） 1， 2， s 中任何 r1 个向量必线性无关
3、（B） 1， 2， s 中任何 r 个向量必线性无关（C）如果 sn，则 s 必可由 1， 2， s1 线性表示（D）如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s 线性表示7 随机变量 X，Y 均在(0，2)上服从均匀分布事件 A=Xa与 B=Y2a独立，且 P(AB)= ，则 a 的值为8 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度 f1(x)为（A）f 1(x)=（B） f1(x)=（C） f1(x)=f(x)+f(x)（D）f 1(x)=二、填空题9 已知当 x0 时 是 xn 的同阶无穷小量，则 n= _10 设 x0 时， x2f(x)dx=arcsin
4、x+C，F(x)是 f(x)的原函数，满足 F(1)=0，则 f(x)= _11 微分方程(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_12 若 anxn 的收敛域是( 8，8 ，则 的收敛半径是_13 已知 ，又矩阵 A 和 B 相似，A *是 A 的伴随矩阵，则A *+3E=_14 设随机变量 X 的概率密度为 记事件 A=X1，对X 进行 4 次独立观测，到第四次事件 A 刚好出现两次的概率就为 q，则q_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 0(x0)，求证：F(x)=
5、 在(0，+)是凹函数16 设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 所确定，其中f，g， h 对各变量有连续的偏导数，且 ，求17 设 xOy 平面第一象限中有曲线，：y=y(x)，过点 A(0， 1)，y (x)0又M(x，y) 为 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 x 轴上的截距之差为 1 () 导出 y=y(x)满足的积分、微分方程； ( )导出 y(x)满足的微分方程和初始条件； ()求曲线 的表达式18 求 的和19 设密度为 1 的立体 由不等式 表示，试求 绕直线 x=y=z的转动惯量20 设 A 是
6、 n 阶反对称矩阵， ()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵； ()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子； ()证明：如果 A 是 A 的特征值，那么 也必是 A 的特征值21 已知 ，求 A 的特征值与特征向量，并指出 A 可以相似对角化的条件22 设随机变量(X，Y) 的联合概率密度为()求随机变量 Y 关于X=x 的条件密度； ()讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性23 设总体 X 服从对数正态分布，其概率密度为其中 为未知参数，且 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本 ()求参数 的最大似然估计量 ()验证是 的无偏
7、估计量考研数学（数学一）模拟试卷 390 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是已知导数求某数列的极限若已知 f(b)=0，可求得数列极限为了用条件 f(1)=a，将所求极限 I 改写成求导数的形式因此 I=f(1)1f(1)0=a 因此选(B)2 【正确答案】 B【试题解析】 线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=ex 对应于特征根1=1+2i， 2=12i 与 3=l，由此可得特征方程是 (12i)(1+2i)(+1)=0 3 2+3+5=0 由此即知以 y1=excos2x，y 2=e
8、xsin2x 与 y3=ex 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分 方程是 y“y“+3y+5y=0应选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由极限的不等式性质 0，当 x(x0，x 0+)且 xx0 时， 当 x(x0，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x) 0 连续 f(x)在(x 0，x 0单调增加，在x 0，x 0+)单调减少故应选(D) 4 【正确答案】 C【试题解析】 若熟悉积分与路径无关的判别法则，则可知(C)不正确在(C) 中的条件下，若又有区域 D 是单连通的， LPdx+Qdy 在区域 D 与路径无关；若 D 不是单连通的，则积分 LPdx+Qdy
9、 不一定与路径无关故应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是aii0(C)中 a33=1 =16 【正确答案】 D【试题解析】 r( 1， 2， ， s)=r 1， 2， s 中一定存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向量必线性相关 当向量组的秩为 r 时，向量组中既可以有 r1 个向量线性相关，也可以有 r 个向量线性相关，故(A)、(B)均错误例如向量1， 2， 3， 4 分别为 (1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，10 ，0，0)， 其秩为 3，其中 1， 4 线性相关， 1， 2， 4 也
10、线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有3 个向量线性无关 当 sn 时，表明 1， 2， s 必线性相关，此时有 i 可以由 1， i1 ， i+1， s 线性表示，但 s 不一定能由 1， s1 线性表示故(C)不正确 若 r(1， 2， s)=n，则对任何 n 维向量 必有r(1， 2， ， s，)=n故(D)正确因此应选(D)7 【正确答案】 B【试题解析】 从所给的选项中可知 a 的值都小于 1，故下列各式均有意义故选(B)8 【正确答案】 D【试题解析】 设X的分布函数为 F1(x)，则 当 x0 时，F 1(x)=PX x=0
11、，从而 f1(x)=F1(x)=0； 当 x0 时，F 1(x)=PXx=PxXxF(x)F(x) 故 f1(x)=F1(x)=F(x)F(x)=f(x)+f(x)，所以因此，应选(D)二、填空题9 【正确答案】 6【试题解析】 确定 n0 使得下面的极限存在且不为 0，即其中 ln1+(xsinx)xsinx(x0) ， 1cosx x2(x0)因此，n=6 10 【正确答案】 【试题解析】 按题意，F(x)= f(t)dt为先求 f(x)，将x 2f(x)dx 求导得 x2f(x)=x2f(x)dx=(arcsinx+C)=11 【正确答案】 x 2siny+x3y+ y3=C，其中 C
12、为 常数【试题解析】 这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程将方程表为 Pdx+Qdy=0，因在全平面上所以是全微分方程，求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原函数 u(x，y)凑微分法由于(2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=(sinydx2+x2dsiny)+(ydx3+x3dy)+ dy3=d(x2siny+x3y+ y3)，因此，通解为 x 2siny+x3y+ y3=C，其中C 为 常数12 【正确答案】 2【试题解析】 由 anxn 的收敛域是(8，8可知， anx3n 有收敛域8 38 即2 anx
13、3n 的收敛半径是 2，从而幂级数 anx3n2 的收敛半径也是 2又因幂级数 anx3n 2 是幂级数 两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质知，幂级数 的收敛半径是 213 【正确答案】 27【试题解析】 由 可知矩阵B 的特征值为 2，3，2又由矩阵 AB 知矩阵 A 的特征值亦为 2，3，2故 A=23(2)=12那么，A *的特征值为 6，6，4，从而 A*+3E 的特征值为 9，3，1于是 A *+3E=9(3)(1)=27 14 【正确答案】 1474096【试题解析】 由密度函数定义求出 K 的值：三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由题设条件可
14、求得下证 F“(x)0(x0)由 g(x)=x2f(x)一 2xf(x)+ ，有 g(x)=x2f“(x)+2xf(x)2f(x)2f(x)+2f(x)=x2f“(x)，由于 f“(x)0(x0) g(x)0(x0)又 g(x)在0，+) 连续 g(x)在0，+) 单调增加 g(x)g(0)=0 (x0) F“(x)0(x0)因此 F(x)在(0，+)是凹函数16 【正确答案】 这里有 5 个变量，3 个方程，因而确定 3 个因变量，其余两个为自变量按题意 x，y 为自变量，于是 u，z，t 均为因变量 由第二、第三个方程知，z 与 t 只是 y 的函数，因此 对 y 求偏导数，由复合函数求导
15、法得方程，是以 为未知数的二元线性方程组，因系数行列式不为零 有唯一解，即17 【正确答案】 () 先求出 在点 M(x，y)处的切线方程 Yy(x)=y(x)(X x) ， 其中(X，Y) 是切线上点的坐标在切线方程中令 Y=0，得 x 轴上的截距这是 y(x)满足的积分、微分方程 ( )两边对 x 求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及式中令 x=0 得 y(0)= 1， y(0)=1因此得 y(x)满足的二阶微分方程的初值问题问题与是等价的 ()下面求解这是不显含 x 的二阶方程，作变换p=y，并以 y 为自变量得18 【正确答案】 记 引入幂级数，把求数值级数的和S 转化为求幂级数的
16、和令19 【正确答案】 质量为 m 的质点对直线 t 的转动惯量为 md2，d 是质点到 L 的距离因此，要先求 上 点(x，y，z) 到直线 L：x=y=z 的距离，然后用三重积分来表示这个转动惯量 上任意点(x，y，z) 到直线 L 的距离的平方再求 对 L 的转动惯量用先二后一的积分顺序，记 D(z)：x 2+y2z2，于是20 【正确答案】 () 按反对称矩阵定义：A T=A，那么 A= A T=A =(1) nA，即 1(1) nA=0 若 n=2k+1，必有A=0所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数 因 AT=A ，由(A *)T=(AT)*有 (A*)T=(AT)*=(A) *
17、 又因(kA) *=kn1 A*，故当 n=2k+1 时，有 (A *)T=(1)2kA*=A*， 即 A*是对称矩阵 ()例如， 是 4 阶反对称矩阵，且不可逆 () 若 是 A 的特征值，有EA=0 ，那么 EA =(E A) T=EA T= E+A =(EA) =(1)nE A=0，所以 是 A 的特征值21 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到 A 的特征值是 1=1a， 2=a， 3=a+1得到属于1=1a 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k 10得到属于 2=a 的特征向量是 2=k2(1，12a，1) T，k 20得到属于3=a+1 的特征向量 3=k3(2a，4
18、a，a+2) Tk30 如果 1， 2， 3 互不相同，即1aa，1aa+1，aa+1，即 a12 且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A可以相似对角化若 a=12 即 1=2=12，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若 a=0，即 1=3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化22 【正确答案】 () 先求 X 的边缘密度对任意 x0，有= (x2ex +2xex +2ex x2ex )= (1+x)ex 对于任意 x0，有x于是，X 的边缘密度 fx(x)=(1+x)e x ，()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度由于fX(x)f Y(y)f(x，y) ，故 X，Y 不独立所以 cov(X，Y)=EXYEXEY=0从而可知 X 与 Y 既不独立，也不相关23 【正确答案】 () 记样本的似然函数为 L()，对于总体 X 的样本值x1，x 2，x n，其似然函数当 xi0 时(i=1 ，2，n) ，对 L()取对数并对 求导数，得令(lnL)=0，得驻点 =lnxi，不难验证 就是 L()的最大值点，因此 的最大似然估计量为() 首先求 lnX 的分布由于被积函数f(s)恰是正态分布 N(，1)的密度，因此随机变量 lnX 服从正态分布 N(，1)，即ElnX=， 故 是 的无偏估计量
