1、考研数学（数学一）模拟试卷 393 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为（A） 1（B） 1（C）（D）2 设 f(x)在0，1有连续导数，且 f(0)=0，令 M= f(x)，则必有3 设 在 x=0 处二阶导数存在，则常数 a，b分别是（A）a=1 ，b=1（B） a=1，b=（C） a=1，b=2（D）a=2 ，b=14 下列级数中属于条件收敛的是5 设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则（A）当 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n（B）当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n（C
2、）当 Ax=b 有无穷多解时，必有 m4)是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，统计量 服从自由度为 n 的 t 分布，则当 时，k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在(0，+)内可导，f(x)0， ，且()求 f(x)； () 求证：f(x)在(0，+)上有界16 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 ，其中a，b，c 为常数 () 求 f(0，0)的值 () 证明 f(x，y)在点(0，0)处可微，并求出df(x，y) (0，0) ( )讨论 f(x，Y)在点(0 ，0)处是否取极值，说明理由17 设 1a2x，求证 f(x)满足不等式 ()
3、0 (x)1) ()f(a)+f(b) (ba) 218 设 ()x0 时求 f(x)的幂级数展开式； ()确定常数 A，使得 f(x)在 ( ，+) 任意阶可导，并求 f(8)(0)与 f(9)(0)19 () 选取参数 ，使得上 LPdx+Qdy 在区域 D=(x，y) y0 内与路径无关； () 选取参数 ，使得Pdx+Qay 在 D 上存在原函数并求出全体原函数20 已知 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，其中 1， 2， 3， 4 是 4 维列向量若齐次方程组 Ax=0 的通解是 k(1，0，3，2) T，证明 2， 3， 4 是齐次方程组 A*x=0的基础解系21 设 n
4、 阶实对称矩阵 A 满足 A2=E，且秩 r(A+E)=kTAx 的规范形； ()证明B=E+A+A2+A3+A4 是正定矩阵，并求行列式B的值22 设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求： ()这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p3； () 这样的交换进行了 n 次，黑球仍在甲袋中的概率 pn；23 历史上科学家皮尔逊进行抛掷一枚匀称硬币的试验，他当时掷了 12000 次，正面出现 6019 次，现在我们若重复他的试验，试求： ()抛掷 12000 次正面出现频率与概率之差的绝对值不超过当年皮尔逊试验偏差
5、的概率； ()要想使我们试验正面出现的频率与概率之差的绝对值不超过皮尔逊试验偏差的概率小于 20，现在我们应最多试验多少次?考研数学（数学一）模拟试卷 393 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 一阶线性齐次方程 +(+sin2x)y=0 的全部解为它们均以 为周期 (a+sin2t)dt 以 为周期a+sin 2t 以 为周期，则 (a+sin2t)以 为周期 (a+sin2t)dt=a+ =0，即 a= 应选(D)2 【正确答案】 A【试题解析】 考察 f(x)与 f(x)的关系设 x0，1，则由牛顿莱布尼兹公式及f(0
6、)=0，有 由积分基本性质，并考虑到，有 f3 【正确答案】 B【试题解析】 显然有 即 f(x)在 x=0 连续，现求出 f (0)=(x2+ax+1) x=0=a f+(0)=(e2+bsinx2) x=0=(ex+2bxcosx2) x=0=1 要求 f (0)f+(0)=f (0)即 a=1此时 f“ (0)=(2x+1) x=0=2，f“ +(0)=(ex+2bxcosx2) x=0=(ex+2bcosx24bx 2sinx2) x=0=1+2b 要求 f“(0) f“ (0)=f“+(0)即 2=1+2b，b= 因此选 (B)4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)， (
7、C)不是条件收敛由5 【正确答案】 B【试题解析】 方程组 Ax=b 有唯一解 r(A)= =A 的列数，所以(B)正确注意方程组有唯一解不要求方程的个数 m 和未知数的个数 n 必须相等，可以有mn例如 方程组 Ax=b 有无穷多解 r(A)=6 【正确答案】 C【试题解析】 A A 有 n 个线性无关的特征向量记 (C)项的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而 那么 nr(EC)=32=1说明齐次线性方程组(EC)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以(C) 不能对角化，故选 (C)7 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=X0，B
8、=Y0 ，则XY0=A B max(X，Y)0= = ， min(X，Y)0=AB 于是 Pmin(X，Y)0=P(A B)=P(A B AB)=P(A B )+P(AB) =PXY0+1P( )=PXY0+1 Pmax(X，Y)0 故应选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 在1，1上服从均匀分布，其概率密度为故cov(X，X)=0，从而 =0，X 与X不相关于是可排除 (A)与(B)对于任意实数 a(0a1) ，有 PXa= ，P Xa=a 又 PXa，X a=PXa=a，从而 PXaPXaPXa，Xa，即a(0a1)所以 X 与X不独立，故应选(C)二、填空题9 【正确答案
9、】 【试题解析】 如下 以 AB 为 x 轴，近端点为原点，正 x 轴指向 CC 的坐标为 x，则杆对 C 的引力 于是，C 从 r0移至无穷远时，引力作的功10 【正确答案】 【试题解析】 先求 y(x)，再求 y(1)为求 y(x)先求 y(x)将已知等式两边同除x，并令x0，由连续性知 =0，于是取极限得这是可分离变量的微分方程，分离变量得11 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法，建立 u 对 x，y 的偏导数与 u 对 r 的导数间的关系，把题设方程转化为 u(r)的常微分方程将它们相加得因此 u=u(r)满足的常微分方程是12 【正确答案】 【试题解析】 L 是正方形的边界
10、线，见下图， 因 L 关于 x，y 轴对称，被积函数关于 y 与 z 均为偶函数，记 L1 为 L 的第一象限部分，则13 【正确答案】 【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE，又14 【正确答案】 2【试题解析】 用 t 分布的典型模式来确定 k 的值由于由于 U 与 V 相互独立，根据 t 分布的典型模式知三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 题设中等式左端的极限为 1型，先转化成由导数的定义及复合函数求导法得()因 f(x)在 (0，+)连续，又 ，所以 f(x)在(0，+) 上有界16 【正确答案】 () 当(x ，y)(0 ，0)时 ln(1+
11、x2+y2)x 2+y2，由求极限中等价无穷小因子替换得又由 f(x，y)在点(00)处的连续性即得 f(00)= =a ()再由极限与无穷小的关系可知 =1+o(1)(o(1)为当(x，y)(0，0)时的无穷小量) f(x，y) f(0，0)bxcy=x 2+y2+(x2+y2)o(1)=o()(= 0)，即 f(x，y) f(0，0)=bx+cy+o() (0) 由可微性概念f(x，y)在点(0，0)处可微且 df(x，y) (0，0) =bdx+cdy () 由 df(x，y) (0，0)=bdx+cdy 于是当 b，C 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值 当 b=c=0
12、 时，由于 又由极限不等式性质 0，当 0x 2+y22 时， 0，即 f(x，y)f(0，0)因此 f(x，y) 在点(0，0)处取极小值17 【正确答案】 () 求出 f(x)=ln2x+2lnx，f“(x)= 0(x1)，f(3)(x)= 1)，f (3)(1)=0 f“(x)在1，+) 单调下降 f“(x)1) ()引进辅助函数利用单调性证明不等式将 b 改为 x，考察辅助函数其中 1axb其中 1a 0 即 G(x)在a ，+) ，从而 G(x)G(a)=0(xa)，特别有 G(b)0，即18 【正确答案】 () 已知 (t()f(x)首先要在 x=0 连续，因 ，故只能有 A=1上
13、式右端幂级数在 x=0 取值为 1此时 x(，+) ，因为幂级数在收敛区间内任意阶可导 f(x)在( ，+)任意阶可导19 【正确答案】 () 这里区域 D 是单连通的，P，Q 在 D 上有连续的偏导数，于是 LPdx+Qdy 在 D 内与路径无关 注意 ，即在区域 D 上2r 2x 2=r 2+Ay2 (+1)r2=0 =1 因此，仅当 =1 时 LPdx+Qdy 在 D 内与路径无关 () 只要 P，Q 在 D 上连续，则 Pdx+Qdy 在 D 上存在原函数 Lpdx+Qdy 在 D 内与路径无关因此，由题()知仅 =1 时 Pdx+Qdy 在 D 存在原函数下求原函数 u(du=Pdx
14、+Qdy)：不定积分法因此求得 Pdx+Qdy 的全体原函数为 u= +C20 【正确答案】 由解的结构知 nr(A)=1，故秩 r(A)=3又由=(1， 2， 3， 4) =0，得 13 3+24=0 因 A*A=AE=0 ，即A*(1， 2， 3， 4)=0，故 2， 3， 4 都是 A*x=0 的解 由 1=332 4 与 r(A)=3有 A=(1， 2， 3， 4)=(332 4， 2， 3， 4)(0 ， 2， 3， 4)，可知 2， 3， 4线性无关 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，那么 nr(A *)=3综上可知， 2， 3， 4 是A*x=0 的基础解系21 【正确答案】
15、 () 设 为矩阵 A 的特征值，对应的特征向量为 ，即A=，0，则 A2=2 由于 A2=E，从而( 21)=0又因 0，故有21=0，解得 =1或 =1因为 A 是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是 那么矩阵 A 的特征值为：1(k 个)，1(n k 个) 故二次型 xTAx 的规范形为 ()因为 A2=E，故 B=E+A+A 2+A3+A4=3E+2A所以矩阵 B 的特征值是：5(k 个)，1(nk 个) 由于 B 的特征值全大于 0 且 B 是对称矩阵，因此 B 是正定矩阵，且B =5 k1 nk =5k22 【正确答案】 本题可以用全概率公式求解，但比较麻烦，而用
16、伯努利概型比较方便 () 不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 01，且各次试验相互独立三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3 次取球中黑球被取到 0 次或 2次的概率，因此所求概率为()根据()的分析，当交换了 n 次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 01 的偶次幂项的和，故所求概率为23 【正确答案】 () 设 X 表示试验中正面出现的次数，则 XB(12000，05)，且 EX=np=6000，DX=npq=3000由于 n=1 2000 相当大，因此 近似服从正态分布 N(0，1) ，于是()设至多试验n 次，Y 为 n 次中正面出现的次数，显然 YB(n，05)，EY=05n，DY=025n，于是故最多试验 6232 次即可
