1、考研数学（数学一）模拟试卷 415 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=1-e -x，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点2 设函数 f(u)可微，且 f(0)=0，f(0)0 ，记 F(t)= (x2+y2+z2)dv，其中=(x，y，z)
2、x 2+y2+z2t2若当 t0 +时，F t(t)与 tk 是同阶无穷小，则 k 等于（A）1（B） 2（C） 3（D）43 曲线 y=xln(1+ )的渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）34 曲面 z=xy 上与平面 x+3y+z+3=0 相切的切点处的法线方程为5 设非齐次线性方程组 Ax=b 无解，则必有（A）A 的行向量组线性无关（B） A 的行向量组线性相关（C） A 的列向量组线性无关（D）A 的列向量组线性相关6 设 A 为 nm 实矩阵，且秩 r(A)=n，考虑以下命题： AA T 的行列式AA T0； AA T 必与 n 阶单位矩阵等价； AA T 必与一个对
3、角矩阵相似； AAT 必与 n 阶单位矩阵合同，其中正确的命题数为（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间-1，2上的均匀分布，y 的分布律为 Y ，则概率 PXY=8 设总体 X 与 Y 都服从标准正态分布 N(0，1)，X 1，X 2，X n 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 和 Y 的两个相互独立的简单随机样本，其样本均值与方差分别为 ，则二、填空题9 设 f(x)= ，且 f(1)=1，则 f(x)dx=_10 设 x2= cosnx(-x)，则 a2=_11 函数 u= 在点 P(1,-1,0)处的最大方向导数为_12 以
4、P(x，y，z)=z 2 为密度的空间物体 =(x，y， z)x 2+y2+z21的质量为_13 若二次型 f(x1，x 2，x 3)= +2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 经正交变换 x=Qy 化为标准形 ，则 a2+b2=_14 设一本书各页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布已知该书中有一个和两个印刷错误的页数相同，现任意随机抽查 3 页，则此 3 页中都没有印刷错误的概率为p=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 已知曲线 C： 求 C 上距离原点最远的点和最近的点的坐标17 设对 xOy 面上任意的简单光滑有向闭曲线 L，都有 Ly(f(x)+ex
5、)+ y2dx+f(x)-ex+xydy=0，其中 f(x)具有二阶导数，且曲线 y=f(x)在 x=0 处与直线 y=2x 相切，求f(x)18 计算曲面积分 I= 其中是由曲线(1y3)绕 y 轴旋转一周所形成的曲面，其法向量正向与 y 轴正向夹角恒大于19 求幂级数 的收敛域与和函数20 设 n 元(n3)线性方程组 Ax=b，其中试问 a 满足什么条件时，该方程组有解、无解? 有唯一解时求出 x1；有无穷多解时，求其通解.21 设实对称矩阵 A= ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵，并问 a满足什么关系时，矩阵 A+E 正定?21 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服
6、从区间(0，1)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布22 求概率 PX+Y123 令 z= ，求 Z 的概率密度 Fz(z)23 设总体 x 的概率密度为 f(x)= 其中 (01，X 2，X n 是来自总体 X的一个简单随机样本， 为样本均值24 求常数 k 的值.25 求 的最大似然估计量 ，并问 是否为 ln 的无偏估计?考研数学（数学一）模拟试卷 415 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查一个具体的函数在某点处的极值、拐点问题，可利用 f(x)在 x=0 处左右的一阶、二阶导数的符号判定但求解本题的
7、最好、最快捷的方法是图示法，即画出 f(x)在 x=0 附近的图形，一看便知 解：显然 x=0 是 f(x)的连续点，画出 f(x)的图形如图所示( 先画 y=e-x，再画 y=e-x，然后画 y=1-e-x，再取绝对值即可)，显然，x=0 是 f(x)的极小值点，(0 ，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查无穷小阶的问题想“三法”，即等价无穷小代换定阶法，泰勒公式定阶法，求导定阶法此处要先把三重积分化为累次积分，可得 F(t)是 t的变限积分函数，再由“求导定阶法”可得 解：因 F(t)=，故 F(t)=4t2f(t2)=4t4. 4f(0)t4(t
8、0 +)，即 t0 +时，F(t)与 t4 是同阶的无穷小，故 k=43 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查求曲线的渐近线问题求水平渐近线就是求极限 f(x)或 f(x)或 f(x)；求铅直渐近线就是找 f(x)的无穷间断点；求斜渐近线y=ax+b，要先求斜率 a= ，再求截距 b= f(x)-ax或 f(x)-ax或 f(x)-ax，按上述提示方法逐一求解即可，注意，要先求函数的定义域 解：函数 y=xln(1+ )的定义域为(-，-1)(0，+) 因=1，故 y=1 是曲线的一条水平渐近线显然 x=0，-1 是函数的间断点，而 可见 x=-1 是曲线的一条铅直渐近线，x=0 不是曲线的
9、铅直渐近线又故曲线没有斜渐近线4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查求曲面上某点处的法线方程，关键是求出切点坐标 解：设切点坐标为 M(x0，y 0， z0)由题设条件可知曲面 z=xy 在点 M 处的法向量为 n1=zx，z y， -1)M=y0，z 0，-1)( 或-y 0，-z 0，1) 又已知平面的法向量为，n2=1， 3，1由咒 n1n2，得 ，即 x 0=3，y 0=-1故切点为 M(-3，-1，3)，所求法线方程为5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查线性方程组解的判定与其系数矩阵行、列向量组线性相关性的联系非齐次线性方程组 Ax=b 有无解就看“ 两秩”是否相等本题是已
10、知 r(A)r(A， b)，考查其系数矩阵 A 的行、列向量组的线性相关性 解：因 Amnx=b 无解 r(Amn)r(A，b)，以此可推得，r(A mn)m否则，若 r(Amn)=m，则必有r(A)=r(A，b)=m，与条件矛盾故应选(B) 注：由 r(Amn)r(A，b)是不能推得r(A)=n 或是 r(A)n 的，请读者自行举出反例6 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查矩阵的三大关系一一等价、相似、合同，求解的关键是要清楚矩阵秩的结论 r(A)=r(AAT)=r(ATA) 解：显然 AAT 为 n 阶矩阵由条件可知 r(AAT)=R(A)=n，故 ，正确 由于 AAT 是实对称矩
11、阵，所以必可相似对角化，从而正确 因 AAT 的秩为 n，故二次型 xTAATx 的秩为 n，从而xTAATx=(ATx)T(ATx)0， 即 xTAATx 是正定二次型，故 AAT 与 n 阶单位矩阵合同，也正确7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查混合型随机变量求概率问题，其一般的处理方法是把离散型随机变量取各个可能值看成完备事件组，用全概公式求解解：PXY=PXY，Y=-1+PXY，Y=0)+PXY，Y=1=PX-11PY=-1+PX0PY=0+PX1PY=1=8 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查统计量的分布问题见到确定统计量分布问题，就要想到考查它的构成想 2 分布、t 分布
12、、F 分布定义的典型模式 解：因而 相互独立，故由 F 分布与2 分布定义，知可见选项(D)正确， (B)错误对于选项 (A)，(C)，因 XN相互独立，故 可见(A)，(C) 都不正确二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 本题考查定积分计算问题由条件特点，要先求出 f(x)，再计算解：因 f(x)= 由 f(1)=1，得C=0，故 f(x)= 于是 注要结合定积分的几何意义，记住以下常用结果(其中 a0)： 10 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查傅里叶级数展开问题，只要清楚其系数表达式即可解：由题设条件可知，本题将 f(x)=x2 展开成了余弦级数，故 a2=11 【正确答案】 【
13、试题解析】 本题考查求多元函数在某点处的最大方向导数问题，只要求出函数在该点处的梯度的模即可解：因故函数 u 在点P(1，-1，0)处的梯度为 gradu(P)= 又函数 u 在点 P处沿任一方向 l 的方向导数为 其中l0=cos，cos，cos是方向 l 的单位向量，故方向导数 的最大值方向即为梯度方向，其值为该点处梯度的模，即12 【正确答案】 【试题解析】 本题考查三重积分的物理应用问题，所求物体 的质量为m= (x，y，z)dV 解：所求质量为 m= z2dV由于被积函数只与 z 有关，且用垂直于 z 轴的平面截 所得区域为 D(z)=(x，y)x 2+y21-z2，其面积为 (1-
14、z2)，故由“先二后一”法，有 m=13 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查用正交变换化二次型为标准形问题见到二次型 xTAx 经正交变换 x=Qy 化为标准形 yTAy，就知它们所对应的矩阵相似，即 AA ，从而矩阵 A 与 A 有“四等五相似”解：二次型 f(x1，x 2，x 3)的矩阵为 A= 由题设条件可知，A ，从而可知矩阵 A 的特征值为 1=0， 2=1， 3=4，进而可得A=0，E-A=0，即 经计算上述行列式可得 a=b=1，因此 a2+b2=214 【正确答案】 e -6【试题解析】 本题考查已知泊松分布求概率问题要由条件先求出泊松分布的参数 解：由题设条件有 PX=1
15、)=PX=2，即 e-= ，得 =2(=0 舍去) 以Xk(k=1，2，3)表示抽取的第 k 页上印刷错误的个数，则 X1，X 2，X 3 相互独立且与 X 同分布，于是所求概率为 p=PX 1=0，X 2=0， X3=0 =PX1=0PX2=0PX3=0=(e-2)3=e-6三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因 x0 时，1- ，故原极限=【试题解析】 本题考查求 型未定式极限问题先“四化处理”，再用洛必达法则求解:即可注意，由于分子的变限积分函数的被积函数中有积分上限变量 x，故求导前要先处.16 【正确答案】 设 M(x，y，z)是曲线 C 上任意一点
16、，则点 M 到原点的距离为 d=求曲线 C 上到原点最远和最近的点等价于求函数 u=x2+y2+z2 在条件x2+y2-z=1 与 2x-y=z=1 下的最大值点和最小值点在约束条件 2x-y-z=1 中解出z(或 y 或 x 均可)，分别代入到目标函数与另一约束条件中，可化为二元函数的条件极值即求 u=x2+y2+(2x-y-1)。在条件【试题解析】 本题考查多元函数条件极值问题，只要搞清目标函数与约束条件，利用拉格朗日乘数法求解即可注：类似本题的双条件极值问题，若能转化为单条件极值甚至无条件极值问题，要尽量转化，这样一般会使计算大大简化请读者直接以双条件极值问题求解本题，进行对比17 【正
17、确答案】 由题设条件可知 ，即 f(x)-ex+xy，由此可得 f(x)-f(x)=2ex解之得 f(x)=C1ex+C2e-x+xex 又曲线 y=f(x)在 x=0 处与直线 y=2x 相切，故 f(0)=0，f(0)=2由此可得 C1= ，C 2= ，因此 f(x)= (ex【试题解析】 本题考查平面曲线积分与路径无关问题由 建立 f(x)满足的微分方程，解之即可18 【正确答案】 曲线方程亦为 故的方程为 y=x2+z2+1，1y3显然yx 2z 2=1，因而 I= (4xy+x2)dydz+(1-y2)dzdx(yzz 2)dxdy 补一块曲面：y=3，x 2+z22，取其右侧，由高
18、斯公式，有 I= (4xy+x2)dydz+(1y【试题解析】 本题考查第二类曲面积分的计算问题，利用高斯公式解之，但要先写出旋转曲面的方程绕“谁”转谁不变，另一变量用其余两个变量的平方和的平方根替换19 【正确答案】 由 = =1，得收敛半径 R=1，收敛区间为(-1，1) 当 x=1 时， un(n) 收敛，故原级数绝对收敛，因而收敛域为-l，1设 s(x)= ，x-1 ，1显然 x=0 时，s(0)=0 当 x(-1，1且 x0 时 s(x)=而=ln(1+x)故 s(x)=(x+1)ln(1+x)-x 因 s(x)在 x=1 处连续，故 s(1)=ln2- ；x=-1 时，原级数为 因
19、此 s(x)=【试题解析】 本题考查求幂级数的收敛域与和函数问题这是一个标准形式的幂级数，可先求出收敛半径，定出收敛区间，再讨论端点处的收敛性可得收敛域，然后用间接法即逐项求导、积分等分析运算性质求解注：上述求解过程中用到了ln(1+x)= ，x(-1，1若不清楚此式，则还要求导一次所以请读者要熟记一些常用函数的幂级数展开式，如 ex，sinx，cosx，(1+x) m，ln(1+x)，ln(1-x)，arctan x，等等20 【正确答案】 因故当 a1-n 且 a0 时，A 0 ，此时方程组 Ax=b 有唯一解又 D1=an，故由克拉默法则，得 x1=当 a=0 时，Ax=b 为齐次线性方
20、程组 Ax=0，由A= 知 r(A)=1，n=r(A)=n-1，由得基础解系为 1= ， 2= ， n-1= 方程组 Ax=0的通解为 x=k11【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组的求解问题，由于系数矩阵是方阵，故可考虑用克拉默法则，即从系数矩阵的行列式入手分析21 【正确答案】 由E-A=(-a-1)2(-a+2)得矩阵A 的特征值为 1=2=a+1， 3=a-2 对于 1=2=a+1，求解方程组(a+1)E-Ax=0 的基础解系，可得 1=2=a+1 对应的特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(1，【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵的相似对角化问题，按实对称矩阵对角化的程序化的
21、方法步骤求解即可然后利用“特征值法”容易得到 a 满足什么条件时，矩阵 A+E 正定22 【正确答案】 由题设条件可知随机变量 X 与 Y 的概率密度分别为fX(x)= 因 X 与 Y 相互独立，故(X，Y) 的概率密度为 f(x,y)= 于是 PX+Y1=【试题解析】 本题考查二维连续型随机变量的有关问题对于求概率 PX+Y1，就想“基本法”与“化二维为一维法”，此处用“基本法”找交集、定类型、重转定，即计算一个二重积分；对于求函数 z= 的概率密度问题，就用分布函数法，即先求出 Z 的分布函数 FZ(z)，再求导可得 Z 的概率密度23 【正确答案】 因 Fz(z)=PZz=P i)当 z
22、0 时，由 z知 x，y 必异号，此时 z 与 f(x，y) 的非零区域无交集，F z(z)=0 ii)当 z0 时，由z，得 yzx(x0)，如图所示， 故 Fz(z)=因此24 【正确答案】 由概率密度的性质得 因 0 =0，从而可得 k=-1.【试题解析】 本题主要考查求连续型总体中禾知参数的点估计问题第()问求概率密度中的常数，由 f(x)dx=1 可得第()问按最大似然估计的方法步骤“造似然求导数，找驻点得估计”计算即可，然后求数学期望 可得25 【正确答案】 构造似然函数 L(x 1，x n；)= 取对数 InL=nln(-ln)+ 求导，得 令=0，得 = ，故 的最大似然估计量为 因 ，故 而 EX=故 E( )ln，即 是 ln 的无偏估计
