1、考研数学（数学一）模拟试卷 442 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g()可微，f()ln 2(1g()2ln(1g()，f(1)1，g(1) ，则 g(1)（A）1（B） 0（C） 2（D）2 定积分 01arctan 的值等于（A）（B）（C）（D）3 设 f()在0 ，1连续且非负但不恒等于零，记 I1 01f()d，I 2 (sin)d，I 3f(tan)d，则它们的大小关系为（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I2I 1I 3（D）I 3I 2 I14 设 f(，y) (，y)(0，0) ，f(0，0)0，则 f(
2、，y)在(0，0)处（A）不连续（B）连续，但 f(0，0)，f y(0，0)不 （C）连续且 f(0，0)，f y(0，0) 但不可微（D）可微5 设 A 是 mn 矩阵，且方程组 A 有解，则（A）当 AX 有唯一解时必有 mn（B）当 AX 有唯一解时必有 r(A)n（C）当 AX 有无穷多解必有 mn（D）当 AX 有无穷多解必有 r(A)m6 设 A ，则下列矩阵中与 A 合同但不相似的是（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 X1，X 2 独立同分布，其分布函数为 F()，则随机变量XminX 1， X2的分布函数为（A）F 2()（B） 2F()F 2()（C） F()F 2()
3、（D）1F() F 2()8 设随机变量 XiB(i，0 1) ，i1，2，15，且 X1，X 2，X 15 相互独立，根据切比雪夫不等式，则 P 的值（A）0325（B） 0325（C） 0675（D）0675二、填空题9 设 f() dt，g()在 0 连续且满足 g()12 o()(0)又 F()fg()，则 F(0)_ 10 设 0 时， 2f()darcsinC，F() 是 f()的原函数，满足 F(1)0，则 F()_11 设 u(，y)，)满足 4u0，u(0，y)， y 2，则 u(，y)_12 设 L 为曲线： 则 I L(2 3y3z)ds_13 已知 则 A_14 在一次
4、晚会上，有 n(n3)对夫妻做一游戏，将男士与女士随机配对，则夫妻配成对的期望值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 n 为自然数，f() 0(tt 2)sin2ntdt，证明： ( )f() 在0，) 取最大值并求出最大值点； ()16 设 Oy 平面第一象限中有曲线 ：yy()，过点 A(0， 1)，y()0又M(，y)为 上任意一点，满足：弧段 的长度与点 M 处 的切线在 轴上的截距之差为 1 () 导出 yy()满足的积分、微分方程； ()导出 y()满足的微分方程和初始条件； () 求曲线 的表达式17 证明等式 1arctan 并指出等式成立的区间18
5、求空间曲线积分 J Ly2dydyzdz 其中 L 是圆柱面 2y 22y 与平面yz1 的交线，从 轴正向看去取逆时针方向19 设 f()在0，1连续，在(0，1)可导，且 f(0)0，f(1) 1，求证： (0，1)使得 220 已知四元齐次方程组() ，的解都满足方程式()1 2 30 求 a 的值 求方程组()的通解21 设 A 求 A 的特征值 a 取什么值时，A 可以相似对角化22 袋中装有 5 个白球，3 个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取 2 球，用 Xi 表示第 i 次取到的白球数，i1，2 ()求(X 1，X 2)的联合分布； () 求 PX10，
6、X20，PX 1X20 ； ()判断 X1，X 2 是否相关，是正相关还是负相关23 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，X 的概率密度为f(；) ()求未知参数 的矩估计量； ()若样本容量 n400，置信度为 095，考研数学（数学一）模拟试卷 442 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 f()(ln(1g() 1) 21 f()2ln(1g()1. 令1 f(1) ln(1g(1) 1g(1) 代入已知值得 1即 g(1)ln(1g(1) g(1)0 选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 故
7、应选D3 【正确答案】 B【试题解析】 因此I3I 1I 2，故选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 由f(，y) y f(f，y) 0f(f，y)在(0，0)连续 由 f(，0) f(0，0) 0 1 f(0 ，y) y fy(O，0)(y) y0 1 即 f(0，0)，f y(0，0)均 现考察(因沿y 时取值为 )因此 f(，y)在(0，0)不可微 选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩和增广矩阵(A )的秩相等并且等于未知数的个数 n(也就是 A 的列数)显然 B 正确选项 A 不对，因为唯一解只能推出 mn，不必 mn选项 C 不对
8、，在方程组有解时，mn 是有无穷多解的充分条件，不是必要条件选项 D 不对，在方程组有解时，有无穷多解的充分必要条件是 r(A)n6 【正确答案】 D【试题解析】 首先可排除 A 项，因为 r(A)2，而选项 A 矩阵的秩为 1，所以它与 A 项不合同两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样(即正，负数的个数对应相等)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同因此应该从计算特征值下手求出E A(3)(3)，A 的特征值为 0，3，3显然 C 项中矩阵的特征值也是 0，3，3，因此它和 A 相似，可排除剩下 B、D 两个矩阵中，只要看一个D 中矩阵的特征值容易求出，为0，1，1，因
9、此它和 A 项合同而不相似(也可计算出 B 中矩阵的特征值为0，1，4，因此它和 A 项不合同7 【正确答案】 B【试题解析】 本题可用分布函数的性质排除 C、D因为 F()F 2()01， 1F()F 2()10但对于 A 与 B，则无法用分布函数的性质来判定，因为它们都可以作为某个随机变量的分布函数，故需通过计算来判定 F()PXPmin(X 1，X 2)1Pmin(X 1，X 2) 1PX 1，X 21PX 1.PX 2 1(1PX 1)(1PX 2)11F() 2 2F()F 2()， 故选 B8 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 EXi01i，DX i009i，i1，2，15，
10、则于是由切比雪夫不等式，有故选 A二、填空题9 【正确答案】 4e 【试题解析】 由 g()在点 0 处连续及 g()12o()(0)由复合函数求导法及变限积分求导法10 【正确答案】 【试题解析】 按题意，F() 1f(t)dt为先求 f()， 2f()d求导得11 【正确答案】 ycos2 y2sin2【试题解析】 当 y 任意给定时，这是二阶线性常系数齐次方程 4u(，y)0 特征方程 240 特征根 42i， 通解为 u(，y)c 1(y)cos2 c2(y)sin2 由 u(0，y)y c1(y)y 由因此 u(，y)ycos2 y2sin212 【正确答案】 a 3【试题解析】 由
11、在 L 上 yz0 I L(23y3z)ds L2ds3 L(yz)ds L2ds 易写出 L 的参数方程：于是 I 02a2cos2t.adta 302cos2tdta 313 【正确答案】 【试题解析】 A 是矩阵方程 A4XA 5 的解 求出 A4(A 2)2 用初等变换法解此矩阵方程：14 【正确答案】 1【试题解析】 设有 X 对夫妻配成对，不妨固定男士，女士随机选择男士三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 求 f()，考察 f()的单调性区间由于 f()( 2)sin2n(1)sin 2n 1 时仅当 k(k1，2，)时 f()0于是，f()
12、在0 ，1单调上升，f()在1，)单调下降 f()f(1)，0，)，1 因此，1 是 f()在0，)的唯一极值点且是极大值点，也是最大值点，从而 f()f(1) 01(tt 2)sin2ntdt ()估计 M f()就是估计积分值 01(tt 2)sin2ntdt由 sintt(t0) M 01(tt 2)sin2ntdt01(tt 2)t2ndt 01t2n+1dt 01t2n+2dt 16 【正确答案】 () 先求出 在点 M(，y) 处的切线方程 Yy()y()(X)， 其中(X，Y) 是切线上点的坐标在切线方程中令 Y0，得 轴上的截距 X 又弧段 的长度为 dt，按题意得这是 y()
13、满足的积分、微分方程 () 两边对 求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及式中令 0 得 y(0)1，y(0) 1 因此得 y()满足的二阶微分方程的初值问题问题与 是等价的 ()下面求解这是不显含 的二阶方程，作变换 py，并以 y 为自变量得则就是所求曲线厂的表达式17 【正确答案】 将 f() 1arctanln 展成 的幂级先求出逐项积分保持收敛区间不变，在 1 处逐项积分后的级数收敛，又 f()在 1 连续，故展开式在1，1 成立因此18 【正确答案】 L 的方程是 的参数方程是 cost，y1sint ，z 2sint 按 L 的定向 t 从 0 到 2，于是代公式得 J 02(
14、1sint) 2(sint) (1sint)cos 2t(2sint)cos 2tdt 02(2sin 2t3cos 2t)dt， 其中 02(sint sin 3t2sintcos 2t)dt19 【正确答案】 因为 0f(0) f(1) 1，由连续函数的介值定理可知存在c(0，1)，使得 f(c) 对此 c，在0，c与c ，1上分别应用拉格朗日中值定理(0，c) ， (c，1) ，使得故得证20 【正确答案】 条件即 () 和()的联立方程组和()同解，也就是矩阵对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3 行是由 A 变来
15、的显然 a0 时 r(A)1，r(B)2，因此 a0因为 a0，所以r(A)3要使得 r(B)3，a12 得()的通解：c( 1，1，2，2) T，c 任意21 【正确答案】 于是 A的特征值就是 1a ，a ，1 a 1a，a ，1a 中，a1a，而1aa a12，1a1a a0于是当 a0 和 12 时，A 的特征值1a，a，1a 两两都不等，此时 A 可以相似对角化 如果 a0，则 A 的特征值为 1，1，0而 r(AE)2，3r(AE)1，于是对二重特征值 1 没有两个线性无关的特征向量，从而 A 不可相似对角化 如果a12，则 A 的特征值为 而 于是对二重特征值 没有两个线性无关的
16、特征向量，从而 A 不可相似对角化22 【正确答案】 ()X 1 的可能取值为 0，1；X 2 的取值为 0，1，2由乘法公式可得 PX 10，X 20 得联合分布与边缘分布如下表 ()PX 10， X20PX 10，X 21 PX 1 0，X 22 PX1X201PX 1X201PX 11，X 21PX 11，X 22 1或 PX1X20PX 10，X 20PX 10，X 20PX 10，X 20 ()由边缘分布知，而 EX1X2 故 cov(X1，X 2)EX 1X2EX 1EX2 由于协方差不为零且为负数，故知X1，X 2 负相关23 【正确答案】 () 要求 的矩估计量，首先应确定被估计参数 与总体 X 的矩之间的关系记 EX，则()尽管总体 X 不是正态总体，但由于样本容量 n400 属大样本，故 U 也近似服从标准正态分布，即总体 X 的期望值 的置信区间公式仍是其中 手满足 PU 1由于1 095，因此 196 而 S 是样本标准差 注意到 是 的严格递增函数，n400， 196，因此 的置信区间为
