1、考研数学（数学一）模拟试卷 478 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把当 x0 时的无穷小量 =ln(1+x2)一 ln(1 一 x4)， =arctanx 一 x 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， ，（C） ，（D）， 2 设 f(x)在0，1连续且非负但不恒等于零，记 I1=01f(x)dx，则它们的大小关系为（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I2I 1I 3（D）I 3I 2 I13 设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列结论中不正确的是（A）若在 D 内，有 则 f
2、(x，y) 常数（B）若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则 f(x，y)常数（C）若在 D 内，有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数（D）若在 D 内，有 则 f(x，y) 常数4 下列级数中属于条件收敛的是5 设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是把 A 的第 2 列的 3 倍加到第 4 列上得到的矩阵，则（A）把 A-1 第 2 行的 3 倍加到第 4 行上得到 B-1（B）把 A-1 第 4 行的 3 倍加到第 2 行上得到 B-1（C）把 A-1 第 2 行的一 3 倍加到第 4 行上得到 B-1（D）把 A-1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到 B
3、-16 设 4 阶矩阵 A=(1， 2， 3， 4)，已知齐次方程组 Ax=0 的通解为 c(1，一2，1，0) t，c 任意则下列选项中不对的是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2 线性无关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关7 盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是8 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 ，S 2，则服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是二、填空题9 曲线 的
4、全部渐近线方程是_10 已知 y1*(x)=xe-x+e-2x，y 2*(x)=xe-x+xe-2x，y 3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x 是某二阶线性常系数微分方程 y+py+qy=f(x)的三个解，则这个方程是 _11 设 f(x，y)有二阶连续偏导数， 则 f(x，y)=_ 12 设 是由曲面 x2+y2 一 z2=0 与平面 z=2 围成的空间区域，则的值是_13 已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，一 2，3则(A *)*的特征值为_14 设随机变量 且满足条件 PX1+X2=0=1，则PX1=X2=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知极
5、限 ，求常数 a，b，c 16 ()已知由参数方程 确定了可导函数 y=f(x)，求证：x=0 是y=f(x)的极大值点()设 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0,y0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F xx(x0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0 的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且 y(x0)=y0，求证 y(x)以 x=x0为极小值点17 ()设 z=z(x，y)，y 0 有连续的二阶偏导数且满足()求方程 的解18 设曲面积分 其中 S+为上半椭球面： 的上侧()求证：()求曲面积分 J19 (
6、)求级数 的收敛域；()求证：和函数定义于0，+)且有界20 已知四元齐次方程组 的解都满足方程式()x1+x2+x3=0() 求 a 的值 ()求方程组(I)的通解21 设 ()求 A 的特征值()a 取什么值时，A 可以相似对角化22 设随机变量 X 在0，2上服从均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且X，Y 相互独立 () 求关于 A 的方程 a2+Xa+Y=0 有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值) ()求 PX+2Y323 设总体 X 服从对数正态分布，其概率密度为 其中 为未知参数，且 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本()求参数 的最大似然
7、估计量 ；( )验证 是 的无偏估计量考研数学（数学一）模拟试卷 478 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 我们分别确定当 x0 时，、 、 分别是 x 的几阶无穷小当 x0时 =ln(1+x2)一 ln(1 一 x4) x 2， 因为 ln(1+x2)x 2 ln(1 一 x4)一 x4=o(x2)这表明当x0 时， 是关于 x 的 2 阶无穷小量， 是关于 x 的 4 阶无穷小量，而 是关于 x的 3 阶无穷小量按题目的要求，它们应排成 ， ， 的次序故应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 通过变量替换，把不同区间
8、上两个连续函数定积分值大小的比较转化为同一个区间上两个连续函数定积分值大小的比较因此 I 3I 1I 2，故选B3 【正确答案】 D【试题解析】 考生应该掌握这一结论在区域 D， df(x，y)0 f(x，y)为常数于是结论 A、C 是正确的 现在如果能在 B 与 D 中证明其中之一是正确的或举例说明其中一个是错误的，则就可作出正确的选择 考察 B设(x 0，y 0)D 为任意一点，它存在两个不共线的方向向量：l i=(cosi，cos i)(i=1，2)，使得=f(x，y)常数=B 正确因此应选 D4 【正确答案】 D【试题解析】 A，B，C 不是条件收敛由=C 绝对收敛因此应选 D5 【正
9、确答案】 D【试题解析】 B=AE(2 ，4(3)，B -1=E(2，4(3) -1A-1=E(2，4(一 3)A-1， 因此 B-1 是把 A-1 第 4 行的一 3 倍加到第 2 行上得到。6 【正确答案】 D【试题解析】 条件说明 1 一 22+3=0，并且 r(1， 2， 3， 4)=3 显然1， 2， 3 线性相关，并且 r(1， 2， 3)=2 3 可用 1， 2 线性表示，因此r(1， 2)=r(1， 2， 3)=2 1， 2 线性无关A 和 B 都对 r( 1， 2， 4)=r(1， 2， 3， 4)=3，C 对 D 错7 【正确答案】 D【试题解析】 用全概率公式设盒中有 i
10、 个铜币的事件为 Ai(i=1，2，11)，B为取到铜币的事件，则故应选 D8 【正确答案】 D【试题解析】 因 XN(， 2)，所以 根据 2分布的可加性，只需 4 个选项中的第 1 个加项服从 2(1)分布即可依题意，有应选 D二、填空题9 【正确答案】 x=0，【试题解析】 只有间断点 x=0，于是有垂直渐近线 x=0再求于是有斜渐近线10 【正确答案】 y+4y+4y=(x+2)e -x【试题解析】 () 由线性方程解的叠加原理= y 1(x)=y3*(x)一 y2*(x)=e-2x，y 2(x)=y3*(x)一 y1*(x) =xe-2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的于是
11、该齐次方程的特征根是二重特征根 = 一 2，相应的特征方程为 (+2) 2=0，即 2+4+4=0 原方程为 y+4y+4y=f(x) (*) 又由叠加原理知，y *(x)=xe-x 是它的特解，求导得 y*(x) =e-x(1 一 x)， y *(x)=e-x(x 一 2) 代入方程(*)得 e -x(x 一 2)+4e-x(1 一 x)+4xe-x=f(x) = f(x)=(x+2)e-x =所求方程为 y+4y+4y=(x+2)e-x11 【正确答案】 【试题解析】 c(y)为任意二阶连续可导函数12 【正确答案】 【试题解析】 选用球坐标，则 的球坐标表示：02 ，13 【正确答案】
12、一 6，12，一 18【试题解析】 利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特征值A=1(一 2)3=一 6，于是 A*的特征值为一 6，3，一2，A *=36则(A *)*的特征值为一 6，12，一 1814 【正确答案】 【试题解析】 由题设知 PX1+X20=0，而 PX1+X20=PX1=一 1，X 2=一 1+PX1=一 1，X 2=0 +PX1=0，X 2=一 1+PX1=0， X2=1 +PX1=1，X 2=1 =0，所以等式中的各项概率都等于零，再根据 Xi 的分布，可以求得(X 1，X 2)的联合分布表(如图所示 )， 从而算得 PX1=X2=PX1=一
13、1，X 2=一 1+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1=三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用洛必达法则由= b+c=0 (否则 I=，不合题意) 继续用洛必达法则= = 3A 一c=0 (否则 I=，不合题意 ) 再用洛必达法则= = c=10由 ， 式= b=-10，16 【正确答案】 () 先求 y(0)：由 x=arctant 知， x=0t=0，x0(0)t0(0)由y=ln(1 一 t2 一 siny 知，x=0y=一 siny 并判断它在 x=0 邻域的正负号其中 0 是充分小的数因此 x=0 是 y=f(x)的极大值点 ()由隐函数
14、求导法知 y(x)满足令 x=x0，相应地 y=y0，由 Fx(x0， y0)=0，F y(x0，y 0)0 得 y(x0)=0将上式再对 x 求导，并注意 y=y(x)即得再令 x=x0，相应地y=y0， y(x0)=0，得 因此 x=x0 是 y=y(x)的极小值点17 【正确答案】 () 代入原方程得() z=(u)+(v)其中 (u)，(v) 为任意二次连续可微函数，于是原方程的解是18 【正确答案】 () 由题设 S+的方程，J 可简化成要将曲面积分 J 化为三重积分，可用高斯公式由于 S+不是封闭曲面，故要添加辅助面 取法向量 n向下，S +与 S1+所围的区域记为 ，它的边界取外
15、侧，于是在 上用高斯公式得其中 S1+上的曲面积分为零，因为 S1+与 yz 平面及 zx 平面均垂直，又在 S1+上 z=0() 求曲面积分 J 转化为求题(I)中的三重积分，怎样计算这个三重积分：因为 是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换我们用先二(先对 x，y 积分)后一(后对 z 积分)的积分顺序求由于 z0，c，与 z 轴垂直的平面截 得区域 D(z)为可以用同样方法计算 但是，由坐标的轮换对称性，有 J1=J2=J319 【正确答案】 () 令 的收敛域先求收敛区间，再考察收敛区间的端点求解如下：()为证当 X0，+)时级数 收敛，且和函数 S(x)在0，+)有界，自然的想法
16、是给出级数一般项的估计 收敛就可得出结论为了在0，+)上估计 我们求 f(x)=x2e-nx 在0，+)上的最大值：由 f(x)=e-nx(2xnx2)=且 S(x)在0，+) 上有界20 【正确答案】 条件即 () 和()的联立方程组和()同解，也就是矩阵的秩相等 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯形矩阵的上面 3行是由 A 变来的显然 a=0 时 r(A)=1，r(B)=2，因此 a0因为a0，所以 r(A)=3要使得 r(B)=3，a=1 2得()的通解：c(一 1，一 1，2，2)T， c 任意21 【正确答案】 =(1+a)
17、( 一 a)(1 一 a)于是 A 的特征值就是 1 一 a，a，1+a 1 一a，a，1+a 中，a1+a，而 1 一 a=aa=12，1 一 a=1+aa=0于是当 a0 和 12 时，A 的特征值 1 一 a，a ，1+a 两两都不等，此时 A 可以相似对角化 如果 a=0，则A 的特征值为 1，1，0而 r(AE)=2，3 一 r(A 一 E)=1，于是对二重特征值 1 没有两个线性无关的特征向量，从而 A 不可相似对角化如果 a=12，则 A 的特征值为 而 于是对二重特征值 没有两个线性无关的特征向量，从而 A 不可相似对角化22 【正确答案】 () 且 X，Y 相互独立，故方程 a2+Xa+Y=0 右实根刚需要 X24Y0。即故方程有实根的概率为23 【正确答案】 () 记样本的似然函数为 L()，对于总体 X 的样本值x1，x 2，x n，其似然函数 L()=L(x1，x 2，x n；)=当 xi0 时(i=1 ，2，n) ，对L()取对数并对 求导数，得 令(1nL)=0，得驻点 不难验证 就是 L()的最大值点，因此 的最大似然估计量为 ()首先求 lnX 的分布由于被积函数 F(s)恰是正态分布 N(，1)的密度，因此随机变量 lnX 服从正态分布 N(，1)，即
