1、考研数学（数学一）模拟试卷 485 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)由 2xy= 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应的点处的切线为( )（A）y=x+1（B） y=x 一 1（C） y=2x 一 1（D）y=2x+12 若 f“(x)在(0，2) 上连续， ，则( )（A）点(1 ，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(1)是函数 y=f(x)的极小值（C） f(1)是函数 y=f(x)的极大值（D）点(1 ，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数 y=f(x)的极值3 下列反常积分收敛的是( )4
2、 设正项级数 发散，令 Sn=a1+a2+an,则下列结论正确的是 ( )5 设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b ，则 等于( ) 6 设 A=(1， 2， 3， 4)为四阶方阵，且 1， 2， 3， 4 为非零向量组，设 AX=0的一个基础解系为(1，0，一 4，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 3， 1+3（C） 1， 3， 4（D） 1+2， 2+24， 47 设 XN(1 ，4) ，YN(3，16)，PY=aX+b=1，且 XY=一 1，则( )（A）a=2 ，b=5（B） a=一 2，b=一
3、5（C） a=一 2，b=5（D）a=2 ，b=一 58 设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（A）X+YE(2)（B） XYE(2)（C） minX，YE(2)（D）maxX，YE(2)二、填空题9 设由 e-y+x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，则 y”(0)=_10 设 =(x，y，z)|x 2+y2+(z1)21，x0，y0，则11 设 t0，D t=(x，y)|xy ，ty1，则12 微分方程 y“一 3y+2y=2ex 满足 的特解为_13 已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，一3，0，则|B
4、-1+2E|=_14 设 XE()，YE()且 X，Y 相互独立，Z=minX，Y，则 PZE(Z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x，y)在(2，一 2)处可微，满足 f(sin(xy)+2cosx，xy 一 2cosy)=1+x2+y2+o(x2+y2)， 这里 o(x2+y2)表示比 x2+y2 高阶的无穷小(x，y)(0 ，0)时)，试求曲面 z=f(x，y)在点(2，一 2，f(2，一 2)处的切平面16 设 f(x)=1+x(0x1)(I) 将 f(x)展开成余弦级数，并求 ()将 f(x)展开成正弦级数17 设 f(x)在a，b上连续，在(
5、a，b) 内可导(0ab )证明：存在 ， (a，b)，使得18 设 f(x)在1，+)上有连续的二阶导数，f(1)=0,f(1)=1，且二元函数 z=(x2+y2)f(x2+y2)满足 ，求 f(x)在1，+) 的最大值19 计算曲面积分 +2y3dzdx+3(x2 一 1)dxdy，其中为曲而 z=1 一 x2 一y2(z0)的上侧20 a,b 取何值时，方程组 有唯一解、无解、有无穷多个解?有无穷多个解时，求出其通解21 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三维列向量且 10若A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3 (I) 证明：向量组 1， 2， 3 线性无关 ()证明：A 不可
6、相似对角化22 有甲、乙、丙三个盒子，第一个盒子里有 4 个红球 1 个白球，第二个盒子里有3 个红球 2 个白球，第三个盒子里有 2 个红球 3 个白球，先任取一个盒子，再从中先后取出 3 个球，以 X 表示红球数(I)求 X 的分布律；()求所取到的红球不少于 2 个的概率23 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 485 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 x=0 得 y=1，将 x=0
7、，y=1 代入得故所求的切线方程为 y1=2x，即 y=2x+1，应选(D)2 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 f(1)=0，且存在 0，当 0|x-1| 时，当 x(1 一 ，1)时，f(x) 0；当 x(1，1+)时，f(x) 0，从而 x=1为 f(x)的极大值点；从而 f“(x)0，即(1，f(1)不是 y=f(x)的拐点，应选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 6 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)=3 得 r(A*)=1，则 A*X=0 的基础解系由三个线性无关的解向量构成,由 1-43
8、=0 得 1， 3 成比例，显然(A)、(B)、(C)不对，应选(D) 7 【正确答案】 C【试题解析】 由 E(Y)=aE(X)+b 得 a+b=3，再由 D(Y)=a2D(X)得 4a2=16，因为XY=一 1，所以 a0，于是 a=一 2，b=5，应选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XE(),Y E() ，所以 FX(x)=令 Z=minX，Y ，则 F Z(z)=PZz=1一PZz=1-PXz ，Y z =1 一 PXzPYz=1 一1 一 PXz).1一 PYz =1 一 1 一 FX(z).1 一 FY(z)当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0时，F Z(z)=1
9、 一 e-2z于是 FZ(z)= 即 ZE(2) ，选(C)二、填空题9 【正确答案】 一 3【试题解析】 当 x=0 时，y=0， e -y+x(yx)=1+x 两边对 x 求导得 一 e-yy+yx+x(y一 1)=1，代入得 y(0)=一 1； 一 e-yy+y 一 x+x(y一 1)=1 两边再对 x 求导得 e*y(y)2 一 e-yy“+2y一 2+xy”=0，代入得 y“(0)=一 310 【正确答案】 【试题解析】 令 0r2cos，11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x 一 2xex【试题解析】 特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为
10、 1=1， 2=一 2，y”一 3y+2y=0的通解为 y=C 1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=一 2，原方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex 由 得 y(0)=0,y(0)=1，代入通解得C1=一 3，C 2=3，特解为 y=-3ex+3e2x 一 2xex13 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 A 的特征值为 3，一 3，0，所以 AE 的特征值为 2，一 4，一1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(AE)B=E ，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为 B -1 的特征值为 2，一 4，一 1，从而 B-1
11、+2E 的特征值为4，一 2，1，于是|B -1+2E|=一 814 【正确答案】 【试题解析】 服从参数为 的指数分布的随机变量的分布函数为Z 的分布函数为 FZ(z)=PZz=1-PZz=1 一PXz，Y z =1 一 PXzPY z=1 一1 一 F(z)1 一 F(z)即 ZE(2)，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 f(x，y)在(2 ，一 2)处可微，所以 f(x，y)在(2，一 2)处连续，取(x， y)=(0，0)得 f(2，一 2)=1,因为 f(x，y)在(2，一 2)处可微，所以 f(x，y)在(2 ，一 2)处可偏导令 y=0
12、 得 f(2cosx，一 2)=1+x2+o(x2)，令 x=0 得 f(2，-2cosy)=1+y2+o(y2)， 故曲面：z=f(z ，y)在点(2，一 2，1)处的法向量为 n=1，一 1，1，t 切平面方程为：(x 一 2)一 (y+2)+(z 一 1)=0，即 ：x 一 y+z5=016 【正确答案】 (I)将 f(x)进行偶延拓和周期延拓，则 a0=201f(x)dx=201(1+x)dx=3， an=201f(x)cosnxdx=201(1+x)cosnxdxbn=0(n=1，2，)，则()将 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则 an=0(n=0，1，2，)，b n=201f(x)
13、sinnxdx=201(1+x)sinnxdx17 【正确答案】 令 g(x)=一 cosx， g(x)=sinx0(a xb) ，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 令 h(x)=sinx，h(x)=cosx0(a xb)，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得18 【正确答案】 19 【正确答案】 补充 0:z=0(x2+y21)，取下侧，20 【正确答案】 当a1 时， r(A)= =4，所以方程组有唯一解；当 a=1，b一 1 时，r(A) ，所以方程组无解；当 a=1，b=一 1 时，方程组有无穷多个解，通解为 X=k 1(1，一2，1，0) T+k2(1，一 2，0，1) T+
14、(一 1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)21 【正确答案】 (I)由 A1=1 得(AE) 1=0，由 A2=1+2 得(A E)2=1，由A3=2+3 得(A E)3=2令 k 11+k22+k33=0， 1)两边左乘以(A E)得 k21+k32=0， 2)两边再左乘(AE) 得 k31=0，由 10 得 k3=0，代入 2)得 k21=0，则 k2=0，再代入 1)得 k11=0，从而 k1=0，于是 1， 2， 3 线性无关()令P=(1， 2， 3)，由(A 1，A 2，A 3)=(1， 1+2， 2+3)得由|EA|=|E 一 B|=( 一 1)2=0 得 A的特征值
15、为 1=2=3=1， 因为 r(EB)=2，所以 B 只有一个线性无关的特征向量，即 B 不可相似对角化，而 AB，故 A 不可相似对角化22 【正确答案】 (I)令 Ak=所取为第 k 个盒子(k=1，2，3)，则 P(A1)=P(A2)=P(A3)= ，随机变量 X 的可能取值为 012，3，由全概率公式得 PX=0=PX=0|A3P(A3)= PX=1=PX=1|A2P(A2)+PX=1|A3P(A3)PX=2=PX=2|A1P(A1)+PX=2|A2P(A2)+PX=2|A3P(A3) PX=3一 PX=3|A1P(A1)+PX一 3|A2P(A2)= ()PX2=PX=2)+PX=3=23 【正确答案】 E(X)=0，
