1、考研数学（数学一）模拟试卷 487 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，无穷小的阶数由高到底的次序为( )（A），（B） ， ，（C） ， ，（D）， 2 下列命题正确的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处可导，则一定存在 0，在|xx 0| 内 f(x)可导（B）若 f(x)在 x0 处连续，则一定存在 0，在|xx 0| 内 f(x)连续（C）若 存在，则 f(x)在 x0 处可导（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导， f(x)在 x0 处连续，且 存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=3 设 f(x)二阶连
2、续可导，g(x)连续，且 f(x)=lncosx+0xg(xt)dt， 则( )（A）f(0)为 f(x)的极大值（B） f(0)为 f(x)的极小值（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 当 x=一 2 时，级数 的收敛半径为( )（A）R=2（B） R=4（C） R=1（D）5 设 A 为可逆矩阵，令 则 A-1P1100AP2-1 等于( ) 6 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(一 32， 21，5 3)，则 P-1(A*+2E)P
3、等于( )7 下面四个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是( )8 设总体 X 服从标准正态分布，(X 1,X2，X n)为总体的简单样本则( )二、填空题9 积分10 11 设 y=y(x)由 =x+1 一 y 确定，则12 微分方程 yy“=y2y+y2 满足 y(0)=1，y(0)=2 的特解为_13 设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=一 1， 2=1 为矩阵 A 的两个特征值，又|B -1|=则14 设总体 XN(0，1) ，X 1，X 2，X 3，X 4 为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连
4、续，在 (0，2)内三阶可导，且 f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得 f“()=916 设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限17 椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L： 相切的直线绕 x 轴旋转而成 (I)求 1 及 2 的方程；()求位于 1 及 2 之间的立体体积18 设 (I)用变换 x=t2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；()求原方程的通解19 计算曲面积分 其中是曲面 2x2+2y2+z2=4 的外侧20 设 B 为三阶非零矩阵, 为 BX=0 的解向量，且 AX=3 有解 (I)求
5、常数 a，b () 求 BX=0 的通解21 设 可对角化(I)求常数 a；()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵22 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1 一 p)k-1(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=323 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi 一(i=1，2，n)求(I)D(Y i)(i=1，2，n)； ()Cov(Y 1，Y n)；()PY1+Yn0考研数学（数学一）模拟试卷 487 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 应选(B) 2
6、 【正确答案】 D【试题解析】 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续 )对任意的 a0，因为 不存在，所以 f(x)在x=a 处不连续，当然也不可导，即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对；所以f(x)在 x=0 处不连续，当然也不可导，(C) 不对； 因为 f(x)在 x0 处连续且在 x0，的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有其中 介于 x0 与 x 之间，两边取极限得 存在，即 f(x)在 x0 处可导，且3 【正确答案】 C【试题解析】 显然 f(0)=0，由 得 g(0)=0，g(0)= 一 2故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选(C) 4 【正
7、确答案】 A【试题解析】 因为当 x=一 2 时，级数 条件收敛，所以级数 的收敛半径为 4 且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径，又 的收敛半径为 的收敛半径为 R=2，选(A)5 【正确答案】 B【试题解析】 P 1=E23，因为 Eij-1=Eij，所以 Eij2=E，即 P1100=EP 2=E13(4)，因为Eij-1(k)=Eij(一 k)，所以 P2-1= 于是 A-1P1100AP2-1=P2-1，选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 A*+2E 对应的特征值为 1=10， 2=一 2， 3=0，对应的特征向量为1， 2， 3，则一 32，2 1，5 3 仍然是 A*
8、+2E 的对应于特征值 2=一2， 1=10， 3=0 的特征向量，于是有 P-1(A*+2E)P= 选(B)7 【正确答案】 B【试题解析】 由 YU(5 ，7)得 E(Y)=6， D(Y)= 由 Z 得 E(Z)=6，D(Z)=36 ；8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2ln2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 因为|B -1|= 所以|B|=3 ，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由|A|=|B|= 123，
9、得 3=一 3，因为 A 一 3E 的特征值为一 4，一 2，一 6，所以|A 一 3E|=一 4814 【正确答案】 t(1)【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 得 f(0)=0，f(0)=2作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2 ，P(1)=1 ，P(2)=6，令 (x)=f(x)一 ，则 (x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，且 (0)= (1)=(2)=0，因此 (x)在0 ，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)，使得 (1)=(2)=0 又 (0)=0，
10、由罗尔定理，存在 1(0， 1)， 2(1， 2)，使得 “(1)=“(2)=0，再由罗尔定理，存在 (1， 2) (0，2) ，使得 “()=0而 “(x)=f“(x)一 9，所以f“()=916 【正确答案】 17 【正确答案】 设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为因为切线经过点(4，0)，所以 x0=1，则 2：(x 一 4)2=4(y2+z2)() 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 Dyz：y 2+z2 则18 【正确答案】 ()特征方程为 2- 一 6=0，特征值为 1=一 2， 2=3，19 【正确答案】 令 0:x2+y2+z2=1，取外侧，由及 0 构
11、成的几何体为 ，由高斯公式得20 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量， 由1， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3-r(B)2，从而 r(B)1，再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1， 2 为 BX=0 的一个基础解系，21 【正确答案】 (I)由|EA|= =( 一 1)2=0 得1=2=1， 3=0因为 A 可对角化，所以 r(E 一 A)=1，()将 =1 代入(E-A)X=0 中得(E-A)X=0， 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 将 =0 代入(E-A)X=0 得 AX=0，22 【正确答案】 令 Ak=X=k(k=1，2，)， B=Y=3， P(B|A 1)=P(B|A2)=0，由全概率公式得23 【正确答案】 (I)D(Y i)=Cov(Yi，Y i)因为X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，
