1、考研数学（数学一）模拟试卷 491 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若函数 f(x)在点 x0 处的左导数 f(x0)和右导数 f+(x0)都存在，则( )（A）函数 f(x)在点 x0 处必可导（B）函数 f(x)在点 x0 处不一定可导，但必连续（C）函数 f(x)在点 x0 处不一定连续，但极限 必存在（D）极限 不一定存在2 设平面 平行于两直线 及 2x=y=z 且与曲面 z=x2+y2+1 相切，则平面 的方程为( )（A）4x+2yz=0（B） 4x 一 2y+z+3=0（C） 16x+8y-16z+11=0（D）16x 一 8y+8
2、z1=03 曲线 的渐近线的条数为( )（A）2（B） 3（C） 4（D）54 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导，且满足 若 f(x，y)在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小值5 其中 a1，a 2，a 3，a 4 两两不等，下列命题正确的是 ( )（A）方程组 AX=0 只有零解（B）方程组 ATX=0 有非零解（C）方程组 ATAX=0 只有零解（D）方程组 AATX=0 只有零解6 对三阶矩阵 A 的伴
3、随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一 2 倍加到第三列得一 E，且|A|0，则 A 等于( )7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0 ，1)，则 Z=F-1(Y)的分布函数( )（A）可导（B）连续但不一定可导且与 X 分布相同（C）只有一个间断点（D）有两个以上的间断点8 对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X).D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)一 D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不相关二、填空题9 10 设函数 y=y(x)由 xy= 确定，则11 设由 x=ze
4、y+z 确定 z=z(x，y)，则 dz|(e,0)=_12 y“一 2y一 3y=e-x 的通解为 _13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(m，一 m，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(m， 1，1 一 m)T 是方程组 (A+E)X=0 的解，则 m=_14 设总体 XN(0， 2)，且 X1，X 2，X 15 为来自总体 X 的简单随机样本，则统计量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 证明：(I)存在 c(0，1) ，使得 f(c)=0；( )存在 (0，1)，使得 f“()=f()；()存在(0，1)
5、，使得 f“()一 3f()+2f()=016 计算 (yz+xy2)dzdx+x2zdxdy，其中： 取上侧17 设方程 ，求常数 a18 将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并求19 设曲线 y=y(x)位于第一卦限且在原点处的切线与 x 轴相切，P(x ，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l1，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l2，又满足 x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线 y=y(x)；20 设 讨论当 a，b 取何值时，方程组 AX=b 无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解21 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在
6、三阶正交矩阵 Q= 使得二次型一 y12+2y22+by32(b0)，且|A*|=16 (I) 求常数 a，b()求矩阵 A22 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中 令U=maxX，Y，V=minX ，Y(I) 求(U，V)的联合分布；()求 P(U=V)；()判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数23 设 X 的密度为 f(x)= 其中 0 为未知参数 (I)求参数 的最大似然估计量 。() 是否是参数 的无偏估计量?考研数学（数学一）模拟试卷 491 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析
7、】 由 f(x0)存在，即 即f(x0 一 0)=f(x0)；由 f+(x0)存在，即 即f(x0+0)=f(x0)， 从而 f(x0 一 0)=f(x0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0 处连续，而左右导数存在函数不一定可导，应选(B)2 【正确答案】 C【试题解析】 平面 的法向量为 n=2 ，一 2，11，2，2= 一 32，1，一 2设平面 与曲面 z=x2+y2+1 相切的切点为(x 0，y 0，z 0)，则曲面在该点处的法向量为2x0，2y 0，一 1，由 因此 的方程为 整理得 16x+8y 一 16z+11=0，选(C)3 【正确答案】 C【试题解析】 故曲线共有 4
8、 条渐近线，应选(C)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时 即 f(x，y)在D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D内取到，选(A) 5 【正确答案】 D【试题解析】 由 =(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)0，得 r(A)=3由 r(A)=3 4，得方程组 AX=0 有非零解，不选(A)；由 r(AT)=r(A)=
9、3，得方程组 ATX=0只有零解，不选(B)；由 r(A)=r(ATA)=34，得方程组 ATAX=0 有非零解，不选(C)；由 r(A)=r(AAT)=3，得方程组 AATX=0 只有零解，应选(D) 6 【正确答案】 A【试题解析】 由一 E=E13A*E23(一 2)得 A*=一 E13-1E23-1(2)=-E13E23(2)，因为|A*|=|A|2=1 且|A| 0，所以 |A|=1，于是 A*=A-1，故 A=(A*)-1=一 E23-1(2)E13-1=一E23(一 2)E13 选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 FY(y)=
10、则Z=F-1(Y)的分布函数为 F Z(z)=PZz=PF-1(Y)z=PYF(z)=FYF(z)，因为0F(z)1，所以 FZ(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选(B)8 【正确答案】 D【试题解析】 因为 E(XY)=E(X).E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X).E(Y)=0于是 XY=0，即 X，Y 不相关，应选(D)二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 一 2【试题解析】 x=0 代入，得 y=011 【正确答案】 【试题解析】 将 x=e，y=0 代入得 z=1x=ze y+z 两边求微分得 dx=zey+zdy+(z+1)ey
11、-1dz，将 x=e，y=0z=1 代入得12 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 2 一 2 一 3=0特征值为 1=-1， 2=3则方程 y“一2y一 3y=0 的通解为 y=C1e-x+C2e3x 令原方程的特解为 y0(x)=Axe-x，代入原方程得 A= ，于是原方程的通解为13 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX=0 有非零解得 r(A)3，从而 =0 为 A 的特征值， 1=(m，一m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A+E)X=0 有非零解得 r(A+E)3，|A+E|=0，=一 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为 2=(m，1，1 一 m)T，因为 A
12、 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m=114 【正确答案】 t(5)【试题解析】 因为 XiN(0， 2)(i=1，2，10)，所以 (一 1)XiN(0 ，10 2) ，又 XiN(0， 2)(i=11，12，15)，所以 (Xi) 2 2(5)，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 f(0)=0，f +(0)=1，f(1)=0 ，f -(1)=2由 f+(0)0，存在 x1(0，1)，使得 f(x1)f(0)=0 ；由 f-(1)0，存在x2(0，1)，使得 f(x2)f(1)=0因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，
13、存在c(0，1)，使得 f(c)=0()令 h(x)=exf(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0，由罗尔定理，存在 1(0，c) ， 2(c，1)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以 f(1)+f(1)=0，f( 2)+f(2)=0 令 (x)=e-xf(x)+f(x)，因为 (1)=(2)=0，所以存在 (1， 2) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=e-xf“(x)一 f(x)且 e-x0，于是 f“()=f() () 令 h(x)=e-xf(x)，因为 f(0)=f(c)=f(1)=0
14、，所以 h(0)=h(c)=h(1)=0 由罗尔定理，存在 1(0，c)， 2(c，1)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)=e -xf(x)一 f(x)且 e-x0，所以 f(1)一 f(1)=0，f( 2)一 f(2)=0 令 (x)=e-2xf(x)一 f(x)，因为 (1)=(2)=0，所以存在 (1， 2) (0，1)，使得()=0，而 (x)=e-2xf“(x)一 3f(x)+2f(x)且 e-2x0，于是 f“() 一 3f()+2f()=016 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 两边对 x 求导，得19 【正确答案】 由已知条件得 y(0)=0，y(
15、0)=0 ， P(x，y)处的切线为 Yy=y(Xx)，令 X=0，则 Y=yxy，A 的坐标为(0，yxy) ，两边对 x 求导整理得 1+y2=2(x+1)yy“ 积分得 ln(1+p2)=ln(x+1)+lnC1，即 1+p2=C1(x+1)，由初始条件得 C1=1，即再由 y(0)=0 得 C2=0，故所求的曲线为20 【正确答案】 情形一：a0 当 a0 且 ab+10 时，方程组有唯一解；当 a0 且 ab+1=0 时，方程组有无数个解， 情形二：a=0当 b1 时，方程组无解；当 b=1 时，方程组有无数个解，21 【正确答案】 (I)A 的特征值为 1=一 1， 2=2， 3=
16、b， 1=一 1 对应的特征向量为2=2 对应的特征向量为 因为不同特征值对应的特征向量正交，所以 a=-1|A|=-2b ，由|A*|=|A| 2 得 b=222 【正确答案】 (I)U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 P(UV)=0PU=1 ， V=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= PU=2，V=1=PX=2，Y=1+PX=1，Y=2=2PX 一 2PY 一 1= PU=2，V=2=PX=2，Y=2=PX=2PY=2= PU=3，V=1=PX=3，Y=1+PX=1，Y=3=2PX=3PY 一 1= PU=3，V=2=PX=3，Y=2+PX=2，Y=3=2PX=3PY=2= PU=3 ，V=3=PX=3，Y=3=PX=3PY=3= 于是(U ，V)的联合分布律为 ()PU=V=PU=1，V=1+PU=2 ，V=2+PU=3，V=3= ( )PU=1=PU=1，V=3=0，因为 PU=1，V=3PU=1PV=3，所以U，V 不独立23 【正确答案】 (I)似然函数为
