1、考研数学（数学三）模拟试卷 267 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D）(x)/f(x) 必有间断点2 设常数 0，而级数 收敛，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 A 有关3 考虑二元函数的下面 4 条性质()f(x ，y)在点(x 0，y 0)处连续；()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续；()f(x ，y)在点(x
2、 0， y0)处可微；()f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在；若用 P Q 表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )4 设函数 f(x， y)连续，则二次积分 等于( )5 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系由 C 而定6 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 a1，a 2 则a1，A(a 1+a2)线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 207 某人向同一目标独立
3、重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )（A）3p(1-p) 2（B） 6p(1-p)2（C） 3p2(1-p)2（D）6p 2(1-p)28 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 PX-( )（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定二、填空题9 设函数 f(x)= ，在(-， +)内连续，则 c=_10 曲线 在点(0，1)处的法线方程为_11 差分方程 yt+1-yt=t2t 的通解为_12 级数 的收敛域为_13 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_14 设
4、随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(Xt)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+a16 假设 f(x)在a，+)上连续， f(x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)=，证明：F(x)在(a，+)内单调增加17 设函数 f(x)在0，上连续，且 试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)=f(2)=0.18 已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S()问 p
5、和 q 何值时，S 达到最大值?()求出此最大值19 在经济学中，称函数 Q(x)=AK-x+(1-)L-x-(1/x)为固定替代弹性生产函数，而称函数 生产函数(简称 C-D 生产函数)试证明：当 x0时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有20 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij 是 A=(aij)nm 中元素 aij(i，j=1 ，2，n)的代数余子式，二次型 f(x1，x 2，x n)= () 记X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)的矩阵为 A-1；( )二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)
6、的规范形是否相同? 说明理由21 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 22， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，求 An22 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(1)求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q.23 设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=y 的联合分布 F(x，y) 考研数学（数学三）模拟试卷 267 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析
7、】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 f(x，y)在点 (x0，y 0)处连续，所以() ()()，故(A)为答案4 【正确答案】 B【试题解析】 由二次积分 f(x，y)dy ，的积分上、下限知积分区域为 y=sinx(/2x) 的反函数为 x=-arcsiny，则积分区域可变为于是积分变为 ，故应选(B)5 【正确答案】 C【试题解析】 由 B=AC 知 r1r(A)=r，又 B=AC 两边同时右乘 C-1，得
8、A=BC-1， 于是 rr(B)=r1，从而有 r=r1，故选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可知 A(a1+a2)=Aa1+Aa2=1a1+2a2， 于是 a1，A(a 1+a2)线性无关 k1a1+k2A(a1+a2)=0， k1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)a1+2k2a2=0，k 1，k 2 恒为 0 又因为不同特征值的特征向量线性无关，故 a1，a 2 线性无关，于是k1，k 2 恒为 0齐次方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标，则他前 3 次射击中只有一次命中，概率为 C31*P(1-p)2*p=3p2(1-p)2，故
9、应选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X-N(， 2)，所以等 于是可见，所求概率 PX-不随 的变化而变化，故应选(C)二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 函数 f(x)连续，则需满足10 【正确答案】 2x+y-1=0【试题解析】 由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知 x=0，y=1 时，t=0由 因此 从而法线方程为 y-1=-2x，即 2x+y-1=011 【正确答案】 y t=(t-2)2t+k【试题解析】 题设所给差分方程为非齐次差分方程，其相应的齐次差分方程 yt+1-yt=0 的通解为 k(任意常数)，设原非齐次差分方程的特解为(At+B)2
10、 t， 代入原方程可求得 A=1，B=-2 ，所以原非齐次差分方程的通解为 yt=(t-2)2t+k12 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 由于 所以由正项级数的根值判别法，当 (x)1 时，即 0x4，幂级数 收敛；当 (x)1 时，即x-22，幂级数 发散，因此幂级数 的收敛区间为(0 ，4)当 x=0 时，级数 发散，故级数的收敛域为(0 ，4) 13 【正确答案】 0【试题解析】 由题设，4 阶方阵 A 的秩为 2，因此 A 的所有 3 阶子式均为 0，从而所有元素的代数余子式均为 O，即 A*=0，故 r(A*)=014 【正确答案】 e -1/2!=e-1/2【试题解析】 因为
11、随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1，则 E(X2)=D(X)+(E(X)2=1+1=2， 根据泊松分布的概率公式可得 PX=E(X2)=PX=2=e-1/2!=e-1/2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且 F (x)=xcosx-sinx+，F ()=0， F (x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0 (x(0，) 所以F(x)在 0， 单调减少，从而 F(x)F()=0(x(0，) 于是 F(x)在0，单调增加，因此当 0a
12、 b 时，F(b)F(a) 即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a16 【正确答案】 17 【正确答案】 引入辅助函数 ，则 F(0)=0，F()=0，又由因此必存在一点 (0，)，使得 F()sin=0，否则 F(x)sinx 在(0，)内恒正(或负)，均与 (x)sinxdx=0 矛盾当 (0，)时，sin0 ，因此 F()=0综上知 F(0)=F()=F()=0，0 ，在区间0 ， ， 上分别用罗尔定理，则至少存在1(0， )， 2(，)使得 F(1)=F(1)=0，即 f(1)=f(2)=018 【正确答案】 由题设，抛物线与直线的位置关系如图所示抛物线 Y=pxx+
13、qx 与 x 轴的交点为(0，0)及 面积又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知 px2+(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0，即=(q+1) 2+20p=0，可解得 p=-(1/20)(1+q)2由此，令当 0q3 时，S (q)0；当 q3 时，S 2(q)0， 所以 q=3 时，S(g)取极大值，也即最大值，此时，p=-(4/5)，S max=225/3219 【正确答案】 由题设，本题实质是求幂指函数的极限已知 Y2Q(x)=AK-x-x-(1/x)，则 lnQ(x)=lnA-(1/x)lnK-x+(1-)L-x20 【正确答案】 () 由题设，已
14、知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式两边可转置，即 f(x1，x 2， ，x n)=(x1，x 2， ，x n)=已知 r(a)=n，从而A0 ，A 可逆，且 A-1=(1/A)A *，则由(1)式知 f(x 1，x 2， ，x n)=XTAX-1X 且(A T)-1=(AT)T=A-1， 故 f(x1，x 2， ，x n)=X2A-1X 是 f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为 A-1，证毕 ()由于(A -1)AA-1=(AT)-1E=A-1，则 A-1 与 A 合同，于是 g(X)=XTX 与 F(X) 有相同规范形，得证21 【正确答案】 22 【正确答案】 由已知条件知，事件N(t)=k 表示设备在任何长为 t 的时间内发生k 次故障，其概率为 PN(t)=k=(t)k/k!)e-t (k=0，1，2，) (I)由于 T 是非负随机变量，所以当 t0 时，事件Tt 与事件N(t)=0等价， 因此 F(t)=PTt1-PTt=1-PN(t)=0=1-(t) k/0!)e-t=1-et，因此 即 T 服从参数为 A 的指数分布23 【正确答案】 如图，由 f(x，y)=当 x0 或 y0 时，F(x，y)=0；当 0x1，0y1 时，所以，X和 Y 的联合分布函数 F(x，y)=
