1、考研数学（数学三）模拟试卷 273 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是 ( )（A）f(0)是极大值，f(/2)是极小值（B） f(0)是极小值， f(/2)是极大值（C） f(0)是极大值， f(/2)也是极大值（D）f(0)是极小值，f(/2)也是极小值2 设函数 fx)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有 ( )（A）(x-a)f(x)-f(a)0（B） (x-a)f(x)-f(a)10（C）（D）3 曲线 y= 1/x +In(1+
2、ex)，渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）34 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设 A 为反对称矩阵，且A0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA(B-1)-1=( )6 设向量组()a 1，a 2，a s，其秩为 r1，向量组 () 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i：1，2 ，s)均可以由 a1，a s 线性表示，则( )（A）向量组 a1+1，a 2+2，a s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 a1-1，a 2-2，a s-s 的秩为 r1-r2（
3、C）向量组 a1，a 2，a s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 a1，a 2，a a， 1， 2， s 的秩为 r17 设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 也发生，则( ) （A）P(C)P(A)+P(B)-1（B） PP(A)=+P(B)-1(C)P(C)=P(AB)（C） P(C)=P(AB)（D）P(C)=P(A B)8 设 n 个随机变量 X1，X 2，X n 是独立同分布，且 D(Xi)=2，则( )（A）S 是 的无偏估计量（B） A 是 的最大似然估计量（C） S 是 的一致估计量（D）S 与 相互独立二、填空题9 设函数 f(x)= ，则函数 ff(
4、x)=_10 方程 yy=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=0 的通解为_11 已知曲线 y=f(x)过点(0，- 1/2)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为 xln(1+x2)，则 f(x)=_12 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 dy/dx=_13 在函数 f(x)= 中，x 3 的系数是_ 14 投掷 n 枚骰子，则出现点数之和的数学期望_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 f(x)在(-，+) 内可导，且求 C 的值16 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足17 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售
5、某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R=15+14x 1+32x2=-8x1x2-2x12-10x22，在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；18 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： ()存在 (a，b)，使得 f()=g()； ()存在(a， b)，使得 f()=g()19 设曲线方程为 y=e-x(x0)()把曲线 y=e-x(x0)、x 轴、y 轴和直线 x=(0) 所围成平面图形绕 x 轴旋
6、转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()，求满足()在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积20 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 是 n 维列向量，b 为常数，P=()计算 PQ；()证明 PQ 可逆的充分必要条件是 aTA-1ab21 已知 a1=(1，4，0，2) T，a 2=(2，7，1，3) Ta3=(0，1，-1，0) T，=(3，10，6，4)T，问： ()a，b 取何值时， 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示? ()a ，b 取何值时，可由 a1，a 2，a 3 线性表示?并写出此表示式22 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X
7、(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系：，问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?23 设 ，求矩阵 A 可对角化的概率考研数学（数学三）模拟试卷 273 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)在0 ，/2上可导，f (x)=xcosx0 在区间(0 ，/2) 上成立，所以函数 f(x)在区间0，/2上单调增加所以 f(0)f(x)f(/2)，
8、即 f(0)是最(极)小值，f(/2)是最 (极)大值故选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设连续性及 f(a)为极大值知(x-a)(f(x)-f(a)在 x=a 左右两侧变号，从而(A)(B)都可排除，当 xa 时， ，由于 f(a)在 x=a 点为极大值，且 f(x)在 x=a 的小邻域内连续，则存在 0，当 x(a-，a+)时，因此，选(C)，而排除(D) 3 【正确答案】 D【试题解析】 ，则 x=0 是曲线的垂直渐近线；，则 y=0 是曲线的水平渐近线；，则 y=x 是曲线的斜渐近线，故应选(D)4 【正确答案】 C【试题解析】 3x 3 处处任意阶可导，只需考查 (x)=
9、x2x，它是分段函数，x=0是连接点5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 设 1，a 2，a r1。为 a1，a 2，a s 的极大无关组，则它也是a1，a 2，a s， 1， 2， s 的极大线性无关组，所以 (D)结论成立7 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) ，知 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)因为AB C，所以 P(AB)P(C)，又 P(AB)1， 故 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-1，故应选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 1【
10、试题解析】 由 ，知f(x)1因此有 f(f(x)=110 【正确答案】 x【试题解析】 令 y=p，则 解得 ln(1+p2)=lny2+lnC，则1+p2=C1y2，11 【正确答案】 【试题解析】 由已知得 y=xln(1+x2)，12 【正确答案】 -2【试题解析】 方程两边对 x 求导得 ex+y(1+y)-sin(xy)(xy+y)=0解得13 【正确答案】 2【试题解析】 x 3 的系数只要考查 所以 x3 前的系数为 214 【正确答案】 7n/2【试题解析】 假设 Xi 表示第 i 颗骰子的点数(i=1，2，n)则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确
11、答案】 由题设由拉格朗日中值定理，得 f(x)-f(x-1)=f()*1，其中 在 x-1 与 x 之间，则 综上，e 2c=e 从而c=1/216 【正确答案】 17 【正确答案】 利润函数为 =15+14x1+32x2-8x1x2-2x12-10x22 =15+13x1+31x2-8x1x2-2x12-10x22， 因驻点唯一，且实际问题有最大值，故用于电台广告的费用为 075 万元，用于报纸广告的费用为 125 万元时利润最大18 【正确答案】 () 设 f(x)，g(x)在(a，b) 内某点 c(a，b)同时取得最大值， 则f(c)=g(c)，此时的 c 就是所求点 ，使得 f()=g
12、()， 若两个函数取得最大值的点不同，则可设 f(c)=maxf(x)， g(d)=maxg(x)， 故有 f(c)-g(c)0，f(d)-g(d)0， 由介值定理，在(c，d)内(或(d ，c)内)肯定存在叼，使得 f()=g() ()由罗尔定理在区间(a， )、 (，b)内分别存在一点 1， 2， 使得 f(1)=g(1)，f (2)=g(2)在区间(1， 2)内再用罗尔定理， 即存在 (a，b)，使得 f()=g()19 【正确答案】 () 如图，旋转体体积()如图，设切点为(a，e -a)，因 y=(e-x)=-e-x，所以切线方程为 y-e-a=-e-a(x-a)，令 x=0，得 y
13、=(1+a)e-a，令 y=0，得 x=1+a，于是切线与坐标轴所夹面积s=1/2(1+a)2e-a， 令 S=0，得a1=1，a 2=-1，其中 a2=-1 应舍去 当 a1 时，S =1/2(1-a)e-a0，当 n1 时，S=1/2(1-a2)e-a0， 故当 a=1 时面积最大，所求切点为 (1，e -1)，最大面积S=1/2(1+1)2e-1=2e-1。20 【正确答案】 (1)解：PQ()证：PQ=A 2(b-aTA-1A)，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 aTA-1b21 【正确答案】 向量 能否由 a1，a 2，a 3 线性表示实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax
14、=，其中 A=(a1，a 2，a 3)，x= 从而 A= ，相应的增广矩阵为 B= 利用初等行变换将 B 化为阶梯形为：(I)当 b2 时，r(A)r(B)，此时方程组 Ax= 无解，即 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示；()当 b=2，a1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=3，此时方程组Ax= 有唯一解，且相应的行简化阶梯形为 ，因此该唯一解为 x=因此， 可由 a1，a 2，a 3 唯一表示为 =-a1+2a2；当 b=2，a=1 时，r(A)=r(B)且 r(A)=23，此时方程组 Ax= 有无穷解，相应的行简化阶梯形为其导出组的基础解系为(-3，3，1) T，原方程组特解为(-1，2，0)T，则通解为 C(-3，3，1) T+(-1，2，0) T，其中 C 为任意常数，此时 可由a1，a 2，a 3 表示为 =-(3C+1)a1+(3C+2)a2+Ca322 【正确答案】 因为 X-N(，1)，所以 =10 9 毫米时，销售一个零件的平均利润最大23 【正确答案】 由E-A= 得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=Y 若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化：因为 r(2E-A)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 PY1，2+PY=2=PY=0+PY=2+PY=3=2/3
