1、考研数学（数学三）模拟试卷 365 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把当 x0 时的无穷小量 =In(1+x2)一 1n(1 一 x4)， ，=arctanx-x 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， ， （C） ， （D）， 2 设 ax 1x 2x 3b，y=f(x)在(a，b) 内二阶可导且 f“(x)0(x (a，b)，又则下列不等式成立的是（A）k 1k 2k 3（B） k1k 3k 2（C） k2k 1k 3（D）k 3k 1k 23 设 0，f(x)在(一 ，)有连续的三阶导数，f(0)=f
2、“(0)=0 且 ，则下列结论正确的是（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4 在反常积分 中收敛的是（A），（B） ，（C） ，（D），5 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，一 1，一 2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（A）A+E（B） AE（C） A+2E（D）2A+E6 n 维向量组(I)： 1， 2， s 和向量组( )： 1， 2， i 等价的充分必要条件是（A）秩 r( )=r()且 s=t（B） r()=r()=n（C）向
3、量组()的极大无关组与向量组()的极大无关组等价（D）向量组() 线性无关，向量组 () 线性无关且 s=t7 设随机变量 X 的密度函数为 且已知，则 =（A）3（B） 1n3（C）（D）8 设随机变量 XN(， 2)，且满足 PXPX，则 满足（A）01（B） 1（C） =1 （D）0二、填空题9 设 ，则 =_10 设 f(x)为连续函数，且 f(0)=f(1)=1，F(x)= ，则 F(1)=_11 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 y=_12 设某产品的需求函数 Q=Q(p)，它对价格的弹性为 8(01) ，已知产品收益 R对价格的边际效应为
4、c(元 )，则产品的产量应是_个单位.13 已知 ，则 A-1=_14 设(X，Y)服从下图矩形区域 D 上的均匀分布则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过点(1 ，0)作曲线 的切线，求该切线与曲线及 x 轴围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 Vx 和 Vy16 计算二重积分 ，其中D=(x，y) y0 ，1x 2+y22x17 设函数 y(x)在(一，+)内有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数(I)试将 x=x(y)所满足的方程 变换成 y=y(x)所满足的微分方程；(II)求解变换后的微分方程的通解18 设 f(x)是
5、幂级数 在( 一 1，1)内的和函数，求 f(x)和 f(x)的极值19 设函数 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0，f(x)0(x(0，1)，证明： 20 已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，求 a 的值，并求 An21 已知三元二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 其矩阵 A 各行元素之和均为 0，且满足AB+B=0，其中 (I)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；() 若 A+kE 正定，求 k 的取值。22 设随机变量 X 与 Y 同分布， (1)已知事件 A=xa和事件 B=Ya独立，且 PAB= ，求常数 a(2) ，求 DY，D
6、Z23 设随机变量(X，Y) 的联合概率密度为(I)求随机变量 Y 关于 X=x 的条件密度；() 讨论随机变量 X 与 Y 的相关性和独立性考研数学（数学三）模拟试卷 365 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，故 A 可逆 A 的特征值不为 0由 A 的特征值为1，一 1，一 2，可知 2A+E 的特征值为 3，一 1，一 3所以 2A+E 可逆故选(D)6 【正确答案】 C【试
7、题解析】 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关例如：向量组(1 ，0，0) ，(2，0，0) 与向量组(0，1，0) ，(0 ，2，0)的秩相等，但它们不等价；向量组(1 ，0，0) ，(2，0，0) 与向量组(3，0，0) 等价，但向量个数不同，故(A)不正确r(I)=r()=n 是向量组(I)与向量组()等价的充分条件，不必要例如，向量组(1，0， 0)，(0，1，0)与向量组 (2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为 n故(B)不正确向量组(I)与向量组(I) 的极大无关组等价，向量组()与向量组()的极大无关组等价如果向量组(I)的极大无关组与向量组()的极大无关组等
8、价，由等价的传递性自然有向量组() 与向量组() 等价，反之亦对故(C)正确应选(C)注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确7 【正确答案】 C【试题解析】 本题有两个参数，先由密度函数的性质确定 k 的值，再由已知概率确定 的值8 【正确答案】 B【试题解析】 由 PXPX =1 一 PXPX 又 PX=PX= ，从而有 PXPX ，可知 ，而 0，故 1因此选(B) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试
9、题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 () ()y“一y=sinx 对应齐次方程 y“一 y=0 的特征根为 r=1，因此对应齐次方程通解为在 y“一 y=sinx 中，由于 r=i 不是相应齐次方程的特征根，因此它有形如 y=Acosx+Bsinx 的特解，将其代入 y“一 y=sinx 中，可得 A=0， ，因而方程 y“一 y=sinx 有特解 y*= ，故方程 y“一 y=sinx 的通解为【试题解析】 本题主要利用反函数求导和复合函数求导公式推导出之间的联系，再代入方程使之简化，从而将非常数系数方程化为
10、常系数线性微分方程再求解18 【正确答案】 【试题解析】 先由 逐项求导可得 f(x)的解析式，再由此解析式求 f(x)的驻点与 f(x).19 【正确答案】 由题设可知f(x)在0 ，1上连续，根据有界闭区间上连续函数最值定理，存在 x0(0，1)，使得20 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式可知矩阵 A 的特征值是1，1，2 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 可化为相似对角矩阵对应重根 1=2=1，应该有 2 个线性无关的特征向量于是 r(1.EA)：32=1，即r(EA)=1又21 【正确答案】 () 因为 A 各行元素之和均为 0，即 由此可知=0 是 A 的特征值，
11、 1=(1，1，1) T 是 =0 的特征向量 由 AB=一 B 知一 1 是 A的特征值， 2=(1，0，一 1)T， 3=(0，1，一 1)T 是 A=一 1 的线性无关的特征向量 因为 2， 3 不正交，将其正交化有()因为 A 的特征值为一 1，一 1，0，所以 A+kE 的特征值为 k 一 1，k 一 1，k那么 A+kE 正定的充分必要条件是 k122 【正确答案】 (1)由于 X，Y 同分布，且 A 与 B 独立故有 P(A)=P(B)，P(AB)=P(A)P(B) (2)根据随机变量函数的期公式，有23 【正确答案】 () 先求 X 的边缘密度对任意 x0，有()为判断独立性，需再求 Y 的边缘密度
