1、考研数学（数学三）模拟试卷 374 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x) ，则 f(x)的可去间断点的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）02 设 f(x)在 x0 处 3 阶可导，且 f(0)0，f(0)0， 0，则( )（A）x0 是 f(x)的极小值点（B） x0 是 f(x)的极大值点-（C）在点 (0，f(0)的左、右邻域曲线 yf(x)分别为凹与凸（D）在点(0，f(0)的左、右邻域曲线 yf(x)分别为凸与凹3 函数 f(x)x 3x 22xarctanx 的不可导点的个数是( )（A）3（B） 2（C） 1（D）0
2、4 设 I xydxdy，其中 D 由曲线 y ，yx 和 y 所围成，则 I 的值为( )（A）16（B） 112（C） 124（D）1485 设 为四维列向量， T 为 的转置，若 则 T( )（A）3（B） 6（C） 9（D）46 设向量组 1， 2， 3， 1 线性相关，向量组 1， 2， 3， 2 线性无关，则对于任意常数 k，必有( ) （A） 1， 2， 3，k 1 2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关7 设随机变量 X1 和 X2 相互独立同分布(方差大于零)，令 XX
3、1aX 2， YX 1bX 1(a，b 均不为零) 如果 X 与 Y 不相关，则( )（A）a 与 b 可以是任意实数（B） a 和 b 一定相等（C） a 和 b 互为负倒数（D）a 和 b 互为倒数8 设随机变量 xi (i1,2)，且 p(X1X20) 1，,则 P(X1X 2)等于( )（A）0（B） 14（C） 12（D）1二、填空题9 若 f(x) (x) 则 f(x)_10 设 a，b 是某两个常数，且 et2 dt ab，则 a，b 分别等于_11 设 _12 求极限 _13 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3) 2ax 1x22bx 2x32x 1x3 经正交变换化为标准
4、形 f(x1，x 2，x 3) ，则 a，b 取值为_14 设 A，B，C 是三个随机事件， ，P(A B)072，P(ACBC)032，则 P(C)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 讨论函数 y 的渐近线、升降区间、极值、凹凸性，并画出它的大致图形16 如图由 y0，x8，yx 2 围成一曲边三角形 OAB，在曲边 上求一点，使得过此点所作 yx 2 的切线与 OA、AB 所围成的三角形面积为最大 17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，其中 0a b，试证至少存在一点(a， b)，使得 alnbblna(ab 2ba 2) 18 试求心形线 xaco
5、s 3，yasin 3(0 )与两坐标轴所围成的平面图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积19 设 f(x，y)连续，且 f(x，y)e x2y2 xyf(x，y)dxdy， 其中D(x ，y)0x1，0y1)求20 设 A 是 n 阶方阵，且 EA 可逆，证明： (1)E A 和(E A) 1 相乘可交换； (2)若 A 为反对称矩阵，则(EA)(E A) 1 是正交矩阵21 已知 1，1，1 T 是二次型 2x 1x22bx 1x32x 2x3 矩阵的特征向量判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解： 22 证明 PA B)P(A)P(B)一 2P(AB)，并说明此结果的概率含义23 假
6、设总体 X 是连续型随机变量，其概率密度 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，统计量 Ynn1 一 maxX 1，X 2，X n 的分布函数为 Fn(x)求证 Fn(x)F(x) (一 x) ，其中 F(x)是参数为 2 的指数分布函数考研数学（数学三）模拟试卷 374 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 先找出 f(x)的间断点，再用可去间断点的下述定义判别其个数若f(x00)f(x 00) 即 f(x)在 xx 0 处极限存在，但其极限值不等于在该点的函数值，则该点为可去间断点显然，x0，1，一 1 为
7、f(x)的间断点因 即 f(x)在x0，一 1，1 处的极限均存在，且 f(x)在这些点处又无定义，故 x0，一 1，1 均为 f(x)的可去间断点仅(C) 入选2 【正确答案】 D【试题解析】 利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之解一 由泰勒公式及题设得到 f(x)f(0)f(0) (0)x3o(x 3)， f(x)f(0) (0)x3zo(x 3)故当x充分小且 x0 时，f(x)一 f(0)0；当 x0 时，f(x)一 f(0)0因而 f(0)不是极值，排除(A) 、(B)又将 f(x)按皮亚诺余项展开，有 f(x)f(0) (0)xo(x)当x充分小且 x0 时，f(x)0(因 (0)
8、0)，故曲线 yf(x)在点(0，f(0)的左侧邻域为凸当 x0 时，因(0)0，故 f(x)0，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)的右侧邻域为凹仅(D)入选解二 利用 可得到上述结论事实上，由 x0 得到在点(0，f(0)的左侧邻域 f(x)0，曲线 yf(x)为凸；当 x0 时，f(x)0，故在点 (0，f(0) 的右侧邻域为凹3 【正确答案】 C【试题解析】 利用下述判别法判别 设 f(x)xa(x) ，其中 (x)在 xa 处连续若 (a)0，则 f(x)在 xa 处可导且 f(a)(a)0；若 (a)0，则 f(x)在xa 处不可导 为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因
9、式xa的乘积 因 f(x)可分解成 f(x) x(x 2x 一 2)arctanx x(x2)(x 一1)arctanx xx2x1arctanx 显然 arctanx 在 x0，一 2，1 处连续因 xx2x1arctanx x 1(x)， 其中 1(x) x0 x2x 1arctanx x0 0， 故 f(x)在 x0 处可导又 xx2x1arctanx x1( xx2arctanx)x1 2(x)， 而当 x1 时， 2(x) x1 xx2arctanx x1 0， 故 f(x)在 x1 处不可导又 xx2x1arctanx x2( xx1arctanx)x2 3(x)， 3(x) x2
10、 xx1arctanx x2 0， 故 f(x)在 x一 2 处不可导仅(C) 入选4 【正确答案】 D【试题解析】 D 的示意图如下图所示，需分段求出 I将区域 D 分为两部分，在第一象限的部分记为 D1，在第二象限的部分记为 D2(见上图)求出 y一 x 与 y 的交点为() xydxdy仅(D)入选5 【正确答案】 D【试题解析】 由所给的矩阵等式观察出 的元素，从而易求出 T因则 1，一 1，1，1 T， T1 ，一 1，1，1 ，故 T 1，一 1，1，11，一 1，1，1 T1.1(1)(1)1.11.14仅(D) 入选6 【正确答案】 A【试题解析】 可用线性无关的定义证明由于
11、k 为任意常数，令 k 取某些特殊值也可用排错法判别 解一 对于任意常数 k，证明(A)成立设 l11l 22l 33l 4(k1 2)0 下证 l40若 l40，则 k1 2 可由 1， 2， 3 线性表示，由题设知 1 能由 1， 2， 3 线性表示，因而 2 能由 1， 2， 3 线性表示这与 1， 2， 3， 2 线性无关相矛盾，所以 l40，则上述等式可化为l11l 22l 330 而 1， 2， 3 线性无关，故 l10，l 20，l 30，所以1， 2， 3，k 1 2 线性无关故(A)正确 解二 当 k0 时，显然(B)、(C)不成立 当 k1 时，(D)不成立事实上，由题设
12、1， 2， 3， 2 线性无关，如果1， 2， 3， 1 2 线性相关，而 1， 2， 3 线性无关， 1， 1， 2， 3 线性相关，则 1 能由 1， 2， 3 线性表示，而 2 不能，于是 1 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以(D) 不成立仅(A)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 利用 X 和 Y 不相关的充要条件判别之X 与 Y 不相关的充分必要条件是 pXY0，即 cov(X， Y)0cov(X，Y)cov(X 1aX 2，X 1bX 2) D(X 1)(a b)cov(X1，X 2)abD(X 2)由于 X1 与 X2 独立同分布，有 cov(X 1，X 2)0，且
13、D(X1)D(X 2)于是 cov(X，Y)0 (1ab)D(X 1)0 1ab0 ab一1，因而 a 与 b 互为负倒数仅 (C)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用边缘分布与联合分布的关系及题设 P(X1X20)1 求之由题设有 P(X 1X20)1 一 P(X1X20)110设 X1 的取值为 x1，x 2，x 3，X 2 的取值为 y1，y 2，y 3，则由 X1 的边缘分布得到 p 11p 12p 130p 120p(X 11) p31p 32p 330p 320p(X 11) 又由 X2 的边缘分布得到 p 11p 21p 310p 210p(X 21) p13p 23p 3
14、30p 230p(X 21) 由 X2 的边缘分布得到 p12p 22p 3214p 2214p(X 20)12，则 p220 故所以 P(x1y 1)0， P(x 2y 2)0，P(x 3y 3)0，即 P(X1X 2)0仅(A) 入选二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 两分段函数的分段点相同，且仅有一个分段点常用分段代入法求其复合函数，且常将内层函数的表达式代入，然后将外层函数的表达式代入，常简称“先内后外法”当 0x1 时，1(x)2 x2 ，故 f(x)f(2 x)ln2 xxln2当 x1 时， (x)1，f(x)1当 1x2 时，0(x)x 一11，则 f(x)f(x1)1(
15、x1)2x综上，可得 10 【正确答案】 ，0【试题解析】 由所给极限与 ex ，得到 et2 dta0事实上，如 et2 dta 的极限不等于 0，那么所给极限必不等于常数，与题设et2 dta b(b 为常数)矛盾由即可求得 a 的值，再用洛比达法则还可求得 b利用二重积分可算出此结果：下同解一11 【正确答案】 10ln3【试题解析】 由所给极限及 (3x 一 1)0 得到 从而 ln(1 (x0)故12 【正确答案】 【试题解析】 利用定积分定义求之，为此先将其化为积和式解一 解二 13 【正确答案】 0【试题解析】 由标准形即知二次型矩阵 A 的特征值，将其代入特征多项式可得a，b
16、满足的两个方程，解之即得 a，b 对应二次型矩阵 A ，其特征值为 0，1，2，将 0， 1 代入特征方程EA 0，得0.EA 一(ab)20， 及 EA一 2ab0，解得 ab 014 【正确答案】 06【试题解析】 利用和事件概率的计算公式求之因未给出 P(AC)与 P(BC)，仅给出 P(ACBC)，需将三事件之和 ABC 看成两事件 AB 与 C 之和，利用两事件之和的概率公式计算因为 ，所以 ABC ，P(AB C)1又P(ABC)P(A B)CP(AB)P(C)一 P(AB)C)，故 P(C)P(A BC)一P(AB)P(AC BC) 107203206三、解答题解答应写出文字说明
17、、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)因 y，故直线 x1 是函数的铅直渐近线又故直线 yx1 是斜渐近线(2)由 得其驻点为 x13，x 2一 1虽然在 x1 处附近一阶、二阶导数存在，且二阶导数变号，但 f(x)在 x1 处没有定义，因而不连续，故 y 没有拐点以 y 的不连续点 x1，驻点 x一 1 及 x3 将其定义区间分为部分区间，函数在这些部分区间的变化列成下表：当x一 1 时，yx10，而 y 一 2，且 x0 时，yx11，y一 3因此在(，1)内函数图形在渐近线 yx1 的下面又当 x3时，yx14，而 因而在(1，)内渐近线在函数图形的下面因此描绘函数 y 的大致
18、图形如下图所示【试题解析】 确定函数的定义域、曲线的渐近线，然后利用导数讨论函数的单调性和极值、凹向与拐点，由曲线的方程求出曲线与坐标轴交点的坐标，最后画出函数的图形16 【正确答案】 设切点为(x，y)过曲线上点(x，y)的切线方程为 Yyy(X x) 将 yx 2，y2x 代入得 Yyx 22x(X x)此切线与 X8及 Y0 的交点的纵坐标与横坐标分别为 Y2x(8 一 x)x 2，X ，则切线与OA，AB 所围成的三角形面积为 S(x) 2x(8 一 x)x 2令 S(x)及 x16(舍去)易验证，当 x 0，因而 S(x)取最大值，则所求的点为( )【试题解析】 设切点(x，y)，求
19、出切线方程 Yx2y(X x)，求出切线与直线X8 及与 Y0(横轴) 的交点写出用 x，y 表示的面积表达式，最后求出 x，y 为何值时此面积最大17 【正确答案】 等式可改写成 作辅助函数 f(x) ，则 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在 (a，b)，使得亦即 alnbblna(ab 2 一ba2) 【试题解析】 待证的中值等式中含有 af(b)一 bf(a)这样的项，为找出辅助函数，常先用 ab 去除等式两端，从而找出两函数值的差该函数就是要找的辅助函数本例用 ab 去除等式两端即得 于是辅助函数 F(x) 就出现了18 【正确答案】 解一解二 选
20、 x 为积分变量dVy.2xdx2yxdx，【试题解析】 求坐标轴上的曲边梯形绕坐标轴旋转生成的旋转体体积，一般有两种计算方法，计算公式为 Vy x2dy ，或 Vy 2xydx19 【正确答案】 设 f(x，y)dxdyA( 常数)在等式两端乘以 xy，然后在区域D 上二重积分得到于是 A (e 一 1)2，从而 f(x，y)e x2y2 (e 一 1)2xy，因此 2xe x2y2 (e 一 1)2y， 4xye x2y2 (e 一 1)2【试题解析】 因 D 为一固定区域，故 xyf(x，y)dxdy 为一常数，利用这一点可先求出 f(x，y)的表示式，再求偏导20 【正确答案】 (1)
21、因 (EA)(EA)EA 2(EA)(EA)， 两边分别左乘、右乘(EA) 1 得到 (E A) 1 (EA)(E A)(EA) 1 (EA) 1 (EA)(EA)(EA)1 ， 故 (E A)1 (EA)(EA)(E A) 1 ， 即 EA 与(EA) 1 相乘可交换 (2)为证(EA)(EA) 1 为正交矩阵，只需证 (E A)(EA) 1 T(EA)(EA)1 1 事实上，由(1)的结果得到 (E A)(EA) 1T(E A) 1 (EA)T (E A)T(EA) 1 T (EA T)(EA) T1 (EA T)(EA T)1 (EA)(EA)1 (A 为反对称矩阵，A TA)， 而 (
22、EA)(E A) 1 1 (EA) 1 1 (EA)1 (EA)(E A)1 ， 故 (EA)(E A) 1 T(EA)(E A) 1 1 ， 所以(EA)(EA) 1 为正交矩阵【试题解析】 (1)利用(EA)(EA) (EA)(EA) 及矩阵乘法运算证之； (2) 利用正交矩阵的定义(AA TE，即 A1 A T)证之21 【正确答案】 二次型矩阵是 设 是属于特征值 0 的特征向量，即 A1 0，或 由此可得 易解出 03，b0，a2对于 ，由于 A10，所以 f 不是正定二次型将 a2， b0 代入方程组，对系数矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵：当 c6 时，对 B 进一步用初等行变换
23、化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到则 A2X0 的一个基础解系含 2 个解向量： 1 一 9，19 ，一 7，1， 0T， 22，一 7，2，0，1 T，其通解为Xk 11k 22，k 1，k 2 为任意常数当 c6 即 c60 时，矩阵 B 用初等行变换进一步可化为含最高阶单位矩阵的矩阵： 这时方程组 A2X0 的基础解系只含一个解向量： 一(3c 一 10)14，一(232c)7，0，一(c 一 8)7，7 T为方便计，取 3 一(3c 一 10)2，一(232c)，0，一(c 一 8)，49 T 5 3c2，2c 一 23，0，(8 一 c)，49 T故当 c6 时，方程组 A2X0 的通
24、解为 k33，其中 k3 为任意常数【试题解析】 写出二次型矩阵 A，由题设条件列出方程易求得 a、b 和 的特征值0然后再将所给齐次方程组的系数矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，用基础解系的简便求法即可写出其基础解系及通解22 【正确答案】 由上边的维尼图易看出，下面事件的关系成立： (A B)ABAB又因 AB BAB，由减法公式得到 P(ABAB)P(AB)一 P(AB)，故 P(A B)p(AB)一(AB) P(A B)一 P(AB) P(A)P(B) 一 P(AB)一 P(AB) P(A)P(B) 一2P(AB)上式结果的概率含义是：事件 A，B 中仅有一个发生的概率等于它们每个的概率之和减去它们相交的概率的两倍【试题解析】 利用事件和、差、积的运算法则证之23 【正确答案】 由题设知，总体 X 的分布函数为所以 Yn 的分布函数 Fn(x)P(Y nx)P(n1maxX 1，X 2，X nx)故 即 Yn 的分布函数 Fn(x)的极限分布是以参数为2 的指数分布函数【试题解析】 首先要明确简单随机样本是一组相互独立且与总体同分布的随机变量，其次要会求 maxX 1，X 2，X n的分布函数，最后还要熟悉极限公式：e x( 0) 2e 2x
