1、考研数学（数学三）模拟试卷 394 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度为( )2 设总体 XN(0， 2)(2 已知)，X 1，X 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 ( )3 设 f(x，y)为连续函数，则使 f(x，y)dy 成立的充分条件是( )（A）f(x， y)=f(x ，y)（B）厂 (x，y)=f(x，y)（C） f(x，y)=f(x，y)且 f(x，y)=f(x，y)（D）f(x， y)=f(x，y)且 f(x，y)=f(x ，y)4 设 收
2、敛，则 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）可能收敛也可能发散5 设 n 阶方阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组： 1， 2， n，： 1， 2， n： 2， n 线性相关，则( )（A）向量组线性相关（B）向量组线性相关（C）向量组与都线性相关（D）向量组与至少有一个线性相关6 设 A 是秩为 3 的 4 阶矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，若1+2+3=（0，6，3，9） T，2 1 3=（1，3，3， 3） T，k 为任意常数，则 Ax=b的通解为( )（A）（0，6，3，9） T+k（1
3、，1，2，0） T（B）（ 0，2，1，3） T+k（1，3，0，6） T（C）（ 1，3，3，3） T+k（1，1，2，0） T（D）（1，3，0，6） T+ k（2，0，3，0） T7 设随机变量 X1 和 X2 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2的指数分布的是( )（A）max(X 1，X 2)（B） min(X1，X 2)（C） X1+X2（D）X 1X 28 设总体 X 与 y 相互独立，且均服从正态分布 N(0， 2)，X 1，X m 与 Y1，Y n 是分别来自总体 X 与 y 的简单随机样本，若统计量 服从 t(n)分布，则 ( )（A）（B）
4、（C） 2（D）4二、填空题9 _10 若当 x0 时，x(a+bcosx)sinx 为 x3 的高阶无穷小，其中 a，b 为常数，则(a， b)=_11 _12 _13 设 ，B=A 1 ，则 B 的伴随矩阵 B*的所有元素之和等于_14 设 XB(n，p)，若(n+1)p 不是整数，当 PX=k最大时，k=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设 A= X 是 2 阶方阵 ( )求满足 AX 一 XA=O 的所有 X； ()方程AX 一 XA=E，其中 E 是 2 阶单位阵问方程是否有解，若有解，求满足方程的所有 X；若无解说明理由17 已知 A= ，求 A 的
5、特征值，并讨论 A 可否相似对角化18 在线段(0 ，1) 上随机投掷 2 个点，该两点的距离为 X试求： ()X 的概率密度fX(x)； ( )X 的数学期望 EX19 求新方程的表达式；20 求原方程的通解21 计算二重积分 ，其中积分域 D 由 x2+y2=2y 上半圆周、直线x=1， x=1 以及 x 轴围成21 已知实二次型 f(x1，x 2，x 2)=xTAX 的矩阵 A 满足 ，且1=（1，2，1） T， 2=（1，1，1） T 是齐次线性方程组 Ax=0 一个基础解系22 用正交变换将二次型 f 化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；23 求出该二次型23 设 A，B
6、均为 n 阶非零矩阵，且 A2+A=0，B 2+B=0，证明24 A，B 有公共特征值 =1；25 若 AB=BA=0， 1， 2 分别是 A，B 属于特征值 =1 的特征向量，则 1， 2 线性无关25 设 Y1，Y 2，Y 3 相互独立且都服从参数为 p 的 01 分布，令26 (X1， X2)的联合概率分布；27 当 p 为何值时，E(X 1X2)最小27 设二维随机变量(X，Y)的密度函数28 问 X，Y 是否相互独立?29 分别求 U=X2 和 V=Y2 的密度函数 fU (u)和 fV(v)，并指出(U，V)所服从的分布；30 求 PU2+V21考研数学（数学三）模拟试卷 394
7、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 先求 Y=X的分布函数再求概率密度，用分布函数法Y= X 0， 当 Y0 时，F Y(y)=PYy=P =0； 当 Y0时， F Y(y)=PYy=P Xy=PyXy = yyf(x)dx=y0f(x)dx+0yf(x)dx=0yf(x)dx+0yf(x)dx，2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 此时 f(x，y)既是关于 x 的偶函数，又是关于 y 的偶函数，故选(D)4 【正确答案】 D5 【正确答案】 D【试题解析】 由AB=0，得A=0 或B =0，
8、故向量组与至少有一个线性相关，故选(D) 6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查非齐次线性方程组解的结构，属于基础题 由 r(A)=3，知齐次方程组 Ax=0 的基础解系只有一个解向量 由非齐次线性方程组解的性质，知 ( 1+2+3)3(2 2 3)=(1 2)+4(3 2)=（3，3，6，0） T 是 Ax=0 的解，所以 Ax=0 的基础解系为（1，1，2，0） T 又 2 2 3=2+(2 3)=（1， 3，3，3） T 是 Ax=b 的解，所以 Ax=b 的通解为（1，3，3，3）T+k（1，1，2，0） T，故应选 (C)7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查两个相互独立的指
9、数分布的随机变量函数的分布，是一道有一定难度的综合题 设 X1，X 2 的分布函数为 F(x)，则 max(X1，X 2)的分布函数为 所以(A)选项错误min(X 1，X 2)的分布函数为所以 min(X1，X 2)服从参数为 2的指数分布，故应选(B) 进一步分析，由 E(X1+X2)E(X 1)+E(X2)= ，知选项(C) 错误；由 E(X1X 2)=E(X1)E(X 2)=0 ，知选项(D)错误8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查两个正态总体的抽样分布，属于基础题由题设，知从而且 U 与 V 相互独立由t 分布的定义，二、填空题9 【正确答案】 2ln21【试题解析】 10 【
10、正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 (n+1)p【试题解析】 设 XB(n，p)，则使 PX=k达到最大的 k 称为二项分布的最可能值，记为 k0 且三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 显然方程组中第 1 个和第 4 个方程相互矛盾，故矩阵方程 AX 一 XA=E 无解17 【正确答案】 故有1=1+a， 2=a， 3=1 一 a看特征值是否有重根，对任意 a， 1=1+a2=a18 【正确答案】 () 设在(0，1) 上随机投掷
11、两点 X1，X 2(0X 11，0X 21)，则(X1，X 2)服从区域 (0，1)(0，1)上的二维均匀分布，令 X=X 1 一X20，1)当 X0 时，F X(x)=0；当 X1时，F X(x)=1；当 0x1 时，F X(x)=P(Xx=PX 1 一 X2x = (1-x)22 =1 一(1 一 x)2，其中 D 如图中阴影部分所示19 【正确答案】 20 【正确答案】 方程(*)对应的齐次方程的特征方程为 26=0，所以特征根为=2，=3 方程(*) 对应的齐次方程的通解为 Y=c1e2t +c2e3t 是方程(*)的一个特解，代入方程(*)可得 所以 是方程(*)的一个特解，因此方程
12、(*)的通解为 y=c 1e2t +c2e3t+ 从而原方程的通解为21 【正确答案】 利用二重积分的对称性22 【正确答案】 由题意知 A 的特征值为 1=2=0， 3=2 设 3 为 A 的属于特征值3=2 的特征向量，则 3 分别与 1， 2 正交，记 3=（t 1，t 2，t 3） T，有故可取 t1=1，t 2=0，t 3=1，即 3=（1，0，1） T此时1， 2， 3 为正交向量组，记23 【正确答案】 由 x=Qy，得 y=QTx，即24 【正确答案】 本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法，是一道有难度的综合题 由 A2+A=0，得(A+E)A=0 又 A 非零，从而
13、方程组(A+E)x=0 有非零解，于是A+E=0，即EA=0，所以 =1 是矩阵 A 的特征值 同理可证 =1 也是矩阵 B 的特征值25 【正确答案】 由 1 是矩阵 A 属于 =1 的特征向量，即 A1= 1 等式两边左乘 B，得 B A1=B 1 又 BA=0，从而 B A1=01，于是B 1=01，所以 1 是矩阵 B 属于 =0的特征向量 又 2 是矩阵 B 属于 =1 的特征向量，由不同特征值的特征向量线性无关，得证 1， 2 线性无关26 【正确答案】 X 1，X 2 的可能取值为1，1，令 Y=Y1+Y2+Y3，则 YB(3，p)，于是 P(X 1= 1，X 2=1)=P(Y1，Y2)=P(Y=0)+P(Y=3)=（1p） 3+P3， P(X1=1，X 2=1)=P(Y1，Y=2)=P(Y=2)=327 【正确答案】 E(X 1X2)=（1p） 2+P33p 2 (1p)3p（1p） 2=16p+6p 2，所以当 p= 时， E(X1X2)最小，最小值为 28 【正确答案】 由于 f(x，y)=f X(x) fY (y)，(x，y)R 2，故 X，Y 相互独立29 【正确答案】 由于X，Y 相互独立，所以 U=X2，V=Y 2 也相互独立，从而 (U，V)的密度函数为由此表明(U，V) 服从区域DUV：0u1， 0v1上的均匀分布30 【正确答案】 由() 得
