1、考研数学（数学三）模拟试卷 398 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内存在二阶导数，且 =a0，则存在点(x0，f(x 0)的左、右侧邻域 U与 U+使得 ( )（A）曲线 y=f(x)在 U内是凹的，在 U+内是凸的（B）曲线 y=f(x)在 U内是凸的，在 U+内是凹的（C）曲线 y=f(x)在 U与 U+内都是凹的（D）曲线 y=f(x)在 U与 U+内都是凸的2 设函数 z=z(x，y)由方程 F( )=0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则= ( )（A）x（B） y（C） z（D）03 设 在
2、x=一 1 处( )（A）必绝对收敛（B）必条件收敛（C）必发散（D）敛散性要看具体的a n4 5 设 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1=0， 2=1， 3=一 1对应的特征向量分别是1， 2， 3，k 1，k 2，k 3 为任意常数，则非齐次线性方程组 Ax=2+3 的通解是 ( )（A）k 11+k22+3（B） k11+k23+2（C） k12+3（D）k 1+2 一 36 设 A= ，则 AB； A B； A B； A= B， 其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密度为( )8 设总体 XN(0， 2
3、)(2 已知)，X 1，X 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则下列正确的是 ( )二、填空题9 设平面区域 D(t)=(x，y)0xy ，0ty1 ，f(t)= =_10 设函数 f 与 g 可微，z=f(xy，g(xy)+ln x)，则 =_11 微分方程 y=(1 一 y2)tan x 满足 y(0)=2 的特解为 y=_12 已知 存在且不为零，其充要条件是常数p=_，此时该极限值=_ 13 设 A 是 3 阶矩阵，有特征值 1=1， 2=一 1， 3=2A *是 A 的伴随矩阵，E 是 3阶单位矩阵，则 =_14 设 X1，X 2，X n 为来自标准正态总体 X 的
4、简单随机样本，记 ， 则 E(T2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算积分 16 设平面区域 D 用极坐标表示为 17 求幂级数 的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数18 过椭圆 =1(ab0)第一象限上的点( ，)作切线，使此切线与椭圆以及两坐标轴正向围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为最小，并求该旋转体的最小体积19 设 x 与 y 均大于 0 且 xy，证明： 20 ()设 n 维向量 1， 2， 3， 4 线性无关 i=i+t4(i=1，2，3)，证明：1， 2， 3 对任意 t 都线性无关； ()设 n 维向量 1， 2， 3
5、， 4 满足=0， i=i+ii，i=1，2，3，4，问 i(i=1，2，3，4)满足什么条件时，对任意 n 维向量考，向量组 1， 2， 3， 4 总线性相关21 设三阶方阵 A 满足 A1=0，A 2=21+2，4 3=一 1+32 一 3，其中 1=(1， 1，0) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，1) T ()求 A； ()求对角阵 A，使得AA22 设 A，B 是二随机事件，随机变量 X= 证明：随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立23 设某种电子器件的寿命(以小时计) T 服从参数为 的指数分布，其中 0 未知从这批器件中任取 n 只在时
6、刻 t=0 时投入独立寿命试验，试验进行到预订时间T0 结束，此时有 k(0k n)只器件失效 ( )求一只器件在时间 T0 未失效的概率；()求 的最大似然估计考研数学（数学三）模拟试卷 398 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由所给条件推知存在 x=x0 的去心邻域且 xx 0 时，f“(x)0，曲线是凸的；当 x (x0)且 xx 0 时，f“(x) 0，曲线是凹的故应选 (B)2 【正确答案】 C【试题解析】 两边对 x 求偏导数，得3 【正确答案】 D【试题解析】 在 x=2 处条件收敛，故它的收敛半径为 2，
7、而 (x 一 1)n 可由前一级数平移求积分得到，收敛半径不变，仍是 2，而 x=一 1 位于后一级数的收敛开区间的端点处，其敛散性要由具体的a n决定例如，若 an=(x 一 1)n 在 x=一 1 处发散。又如，若an= ，绝对收敛4 【正确答案】 D【试题解析】 作积分变量代换 u=xt，5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件知 A1=01=0，A 2=2，A 3=一 3，故故 r(A)=2，方程组 Ax=2+3 通解的结构形式为k+ 其中， 是对应的齐次方程的解， 是非齐次方程的特解由题设条件知，Ax=0 有解 ， Ax=2 有解 2，Ax=一 3 有解 3，故可取 =1，= 2
8、 一 3即Ax=2+2 的通解为 k1+2 一 3应选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 四项均正确 将 A 的 1，3 行互换，且 1，3 列互换得 B，即E13AE13=B(或 E24TAE24=B)因 E13=E13T=E131，故有 E131AE13=B，即AB；E 13TAE13=B，即 A B，且A =B故应选(D)7 【正确答案】 D【试题解析】 先求 Y=X的分布函数再求概率密度，用分布函数法Y= X 0， 当 Y0 时，F Y(y)=PYy=P =0； 当 Y0时， F Y(y)=PYy=P Xy=PyXy = yyf(x)dx=y0f(x)dx+0yf(x)dx=0yf
9、(x)dx+0yf(x)dx，8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 一【试题解析】 10 【正确答案】 f 2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 分离变量，两边积分，得12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 2 11【试题解析】 14 【正确答案】 1+【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 x=2 为奇点，原积分应分为 1 到 2 与 2 到 3 的积分之和16 【正确答案】 区域 D 如图阴影部分所示为清楚起见， 4 个圆只画出有关的 4个半圆 D 关于直线 y=x 对称，交点 A、B、C 的极坐
10、标分别为17 【正确答案】 () 令 u=x2， 所以收敛半径R=1，收敛区间为 (一 1，1)回到原给幂级数，收敛半径也是 1，收敛区间也是(一1，1)，当 x=1 时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为1，1在收敛域一1，1上，令其和函数为为了要进行逐项积分与逐项求导，所以在收敛区间内考虑计算在区间(一 1，1)内，令18 【正确答案】 由于V2 为常数，所以求 V 的最小值，只要求 V1 的最小值或 2 的最大值即可令由于驻点唯一，且 Vmin 必存在，所以当(*)式成立时，(*)式即为 Vmin19 【正确答案】 不妨认为 yx0(N 若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与y，由行列式性
11、质知，左边值不变)，则令 f(u)=eu 一 ueu，有 f(0)=1，f(u)= 一 ueu0(当 u0)，所以当 u0 时，f(u)1，从而知 e一e1，于是得证20 【正确答案】 设有常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0， 代入已知条件，得 k1(1+t4)+k2(2+t4)+k3(3+t4)=0， 整理得 k 11+k22+k33+t( )4=0 因已知1， 2， 3， 4 线性无关，故上式成立当且仅当 k1=k2=k3= =0， 故对任意t， 1， 2， 3 都线性无关 () 解设有不全为零的数 k1，k 2，k 3，k 4，使得 k11+k22+k33+k
12、44=0， 代入已知条件得 k 1(1+1)+k2(2+22)+k3(3+33)+k4(4+44)=0， 故 1， 2， 3， 4满足 1+42+93+164=0 时，对任意向量 ，向量组 1， 2， 3， 4 均线性相关21 【正确答案】 () 合并 1， 2， 3 成矩阵，并由题设条件得 A( 1， 2， 3)=(0，2 1+2，一 1+32 一 3)22 【正确答案】 PX=1)=P(A)，PX=2)= =1 一 P(A)， PY=1)=P(B)， PY=2)=1 一 P(B)， 由数学期望的定义，有 =P(AB)+2P(A)一 P(AB)+2P(B)一 P(AB)+ 41 一(P(A)+P(B)一 P(AB) =P(AB)一 2P(A)+P(B)+4 从而 Cov(X，Y)=E(XY)一 EXEY=P(AB)一 P(A)P(B) 因此 Coy(X ，Y)=0P(AB)=P(A)P(B)23 【正确答案】 () 记 T 的分布函数为 F(t)， 一只器件在t=0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0)=F(T0)=1 一 ， 而在时间 T0 未失效的概率为 PTT 0=1 一 F(T0)= ()考虑事件 A=试验直至时间T0 为止，有愚只器件失效，而有 n 一 k 只未失效的概率由于各只器件的试验是相互独立的，因此事件 A 的概率为
