1、考研数学（数学三）模拟试卷 413 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在点 x=a 可导，则极限( )=f(a) 2 当 x0 时，已知 f(lnx)= 则 一 22xf(x)dx=( )（A）一 4/e（B） 4/e（C） 2/e（D）一 2/e3 设 f(x，y)= 0xy4 设 un=(一 1)n 则级数( )5 设 那么与对角矩阵相似的矩阵是( )（A）A，B，C（B） A，C ， D（C） B，D（D）A，C6 设线性方程组 有非零解，则组成基础解系的线性无关的解向量有( ) （A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个
2、7 设 A，B，C 是三个两两相互独立的事件，且 P(ABC)=0，0P(C) 1，则一定有( )（A）P(ABC)=P(A)P(B)P(C)（B） P(A+B| )=P(A)+P(B)（C） P(A+B|C)一 P(A)+P(B)（D）P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)8 已知随机变量 X 的密度函数 f(x)= (0，A 为常数)，则概率P(X+a)(a0) 的值( )（A）与 a 无关，随 的增大而增大（B）与 a 无关，随 的增大而减小（C）与 无关，随 a 的增大而增大（D）与 无关，随 a 的增大而减小二、填空题9 f(x)=01 一 cosxsirit2dt，当 x0
3、 时，f(x)是 x 的 n 阶无穷小，则 n=_10 已知 f(x)存在，且 f(x)= f(x)，求 f(x)11 12 微分方程 xdy=y(xy 一 1)dx 的通解为_13 设 A，B 均为四阶方阵，r(A)=3，r(B)=4 ，其伴随矩阵分别为 A* ，B * ，则r(A*B*)=_14 设随机变量 且协方差 cov(X，Y)= 则 X 与 Y 的联合分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 f(0)= f(x)dx=f(2)证明存在 (0， 2)，使 f“()=016 某商品需求量 Q 对 p 的弹性
4、 p= (0pb)，又知该商品的最大需求量为a(a 0)，求需求量 Q 对价格 p 的函数关系17 设 u=f(x， y)是连续可微函数，x=rcos ，y=rsin证明：18 设 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0试证明：至少存在一点 0，1，使f()=201f(x)dx19 求解差分方程 yx+1+3yz=x2 x20 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵又 A 的伴随矩阵 A*有特征值 0 ， 0 所对应的特征向量为 =2，5，一 1T(1)求 0 的值；(2)计算(A *)一1；(3)计算行列式 |A*+E|21 设 A 为三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三维线性无关
5、列向量组，且有 A1=2+3 ，A 2 一 3+1 ，A 3=1+2 (1)求 A 的全部特征值； (2)A 是否可对角化？22 商店销售一批收音机，共有 10 台，其中有 3 台次品，但是已经售出了 2 台，问从剩下的收音机中任取一台是正品的概率是多少？23 已知(X，Y)的联合概率密度为 (1)求在Y=y 的条件下，X 的条件概率密度；(2)X 与 y 是否相互独立？并说明理由；(3)求P(0X1/2|Y=1/2)考研数学（数学三）模拟试卷 413 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用函数导数的定义求函数的极限，但也
6、可利用下述结论观察求出：设 f(x)在点 x0 处可导，且对任意两常数 r1 与 r2 ，有因 f(x)在 x=a 可导，利用上述结论直接求之：(A) 中极限 =(一 1)一 0f(a)=一 f(a)；(B)中极限=1 一(一 1)f(a)=2f(a)； (C)中极限=(2 一 0)f(a)=2f(a)；(D) 中极限=(1 一 0)f(a)=f(a)因而仅(D)入选2 【正确答案】 B【试题解析】 先作变量代换 lix=t，求出 f(x)，再用分部积分法求之这是因为被积函数含有导数因子原式= 一 22 xdf(x)=xf (x) 一 22 一 一 22(x) dx，令 lnx=t，即x=et
7、 ，于是有 f(t)=仅(B)入选3 【正确答案】 D【试题解析】 利用对称形函数偏导数的简化求法求之所谓对称形函数就是将两个自变量交换后函数形式不变的函数例如 f(x，y)=x 2+y2+xy，将 x 换为 y，y 换成 x，f (x ，y)不变，仍然有 f(y，x)=x 2+y2+xy对此类函数求偏导数，只要求出函数对其中一个自变量的偏导数，则将此自变量变成另一个对称的变量，就得到函数对另一个变量的偏导数 因 x，y 互换位置，xy 不变，故 f(x，y)具有对称性，所以由 同理，由4 【正确答案】 C【试题解析】 为交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛；又由易看出 单调下降，且 =0
8、，由莱布尼兹判别法知，该交错级数 收敛而 为发散级数，故正项级数 un2 发散仅(C)入选注意 上面用到下述判别正项级数敛散性的常用结论：设 n 为正项级数，若当 n时， =1，即un n(n)，则 un 与 n 有相同的敛散性5 【正确答案】 B【试题解析】 利用与对角阵相似的充分条件判别之，解易求得矩阵 A 的特征值是1，3，5因为它们是三个不同的特征值，所以 AA 矩阵 B 特征值是2，2，5，由于 所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵，故必有CA矩阵 D 的特征值也是 2，2，5由于秩所以，A 一 2 有两个线性无关的特征向量，因而
9、矩阵 D 可以相似对角化，仅(B)入选6 【正确答案】 B【试题解析】 先求出方程组的系数矩阵的秩 r(A)，然后由 n 一 r(A)确定对系数矩阵作初等行变换当 ad 一 bc 一 e0 时，r(A)=4，方程组有唯一零解不合题意当 ad 一 bc 一 e=0 时，r(A)=2，方程组基础解系的线性无关解向量是 2 个，仅(B)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 直接利用事件的运算法则计算即可仅(C)入选8 【正确答案】 C【试题解析】 可由随机变量落入区间内的概率的几何意义确定，也可算出结果分析 由 一 +f(x)dx=1 可求得 A=e ，故 P(x+a)= +a ee 一 xdx+a
10、 e 一xdx=e(一 e 一 x)|+a=1 一 e 一 a 此值与 无关且随 a 的增大而增大仅(C) 入选二、填空题9 【正确答案】 6.【试题解析】 可用下述结论观察求出，也可利用 n 阶无穷小定义求出当 f(x)连续且 xa 时，f(x)是 xa 的 n 阶无穷小量，g(x)是 xa 的 m 阶无穷小量，则当xa 时， axf(t)出必为 x 一 a 的 n+1 阶无穷小量， ag(x)f(t)出必为 x 一 a 的(n+1)m阶无穷小量因 sinx2 是 x0=x 的 2 阶无穷小量，1 一 cosxx 2/2 为 x 的 2 阶无穷小量，则 x0 时， 01 一 cosxsint
11、2dt 为 x 的(2+1)2=6 阶无穷小量，即 n=610 【正确答案】 【试题解析】 因 =A(A 为常数)在所给等式两端求x1 时的极限，即可求出 f(x)在等式两端求 x1 时的极限注意到 为常数，可设 =A，利用11 【正确答案】 【试题解析】 积分区域为圆域的一部分，被积函数又为 f (x2+y2)的形式，应用极坐标系计算所给二次积分的积分区域为它为圆域 x2+y2a2 在第一象限的1/2，即 D=(r，)10ra，0/4)应改换为极坐标系计算：12 【正确答案】 【试题解析】 所给方程化为全微分方程而解之此方程可化为 xdy+ydx=xy2dx，13 【正确答案】 1【试题解析
12、】 分别求出 r(A*)，r(B *)如果 r(B*)为满秩矩阵，则 r(A*B*)=r(A*) 因 r(A)=3，故 r(A*)=1(因当 r(A)=n 一 1 时，r(A *)=1)又 r(B)=4，故 r(B*)=4(因r(B)=n，则 r(B*)=n)，即 B*为满秩矩阵，于是 r(A*B*)=r(A*)=114 【正确答案】 【试题解析】 由 X，Y 所服从的分布即知 E(X)=3/4，E(Y)=1/2，且 E(XY)=P(X=1，Y=1)今又已知 cov(X，Y)=1/8，从而可由 cov(X，Y)=E(X Y)一 E(X)E(Y)=1/8 求出 E(XY)=P(X=1，Y=1)=
13、1/2有了这个数据，就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布，由题设易知，E(X)= 又 cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=E(XY)一 故 E(XY)= 由于 XY 仅取 0 与 1 两个值，E(XY)=1P(XY=1)=P(X=1，Y=1)= ，再根据联合分布与边缘分布的关系，即可求出 X 与 Y 的联合分布事实上由 p12+p22=p12+1/2=1/2，得到p12=0由 p11+p12=p11+0=1/4，即得 p 11=1/4又由 p11+p21=1/4+p21=1/2，得到p21=1/4于是得到其联合分布为 注意 大家知道由联合分布可求出边缘分布，但仅由边缘分
14、布求不出联合分布如果在给出边缘分布的同时还附加某些条件，如相互独立，或条件分布或某些概率值，则可求出其联合分布上例就是在给出边缘分布的条件下，还给出了一个概率值 P(X 一1，Y=1)=E(XY)=1/2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由积分中值定理得1于是 f(x)在 ，2上满足罗尔定理，即存在 1(，2)，故 f(1)=0又 f(x)在 上满足罗尔定理，于是存在 2 ，使 f(2)=0 由式 、式得到 f(1)=f(2)再对 f(x)在2 ， 1上使用罗尔定理，得到 (2 ， 1) (0，2)，使 f“()=0注意题设条件或待证结论中含有定积分等式时，
15、要想到使用积分中值定理，有多个函数值相等时，要想到使用罗尔定理16 【正确答案】 设所求函数关系为 Q=Q(p)，根据需求量对价格的弹性两边积分得通解 lnQ=ln(b 一 p)+lnC，即 Q=C(b 一 p)又由于最大需求量是指：当价格 p0 +时，需求量 Q 的极限值，依题意有 确定C= ，于是 Q 对 p 的函数关系为【试题解析】 利用需求价格弹性公式可建立可分离变量的微分方程，再利用初始条件 =a(此谓商品的最大需求量)即可求得需求函数 Q(p)17 【正确答案】 将 x，y 分别看成中间变量，求出 的表示式，利用克拉默法则解出 再将其平方相加。使用克拉默法则可解得18 【正确答案】
16、 因为 f(x)在0，1上连续，所以函数 f(x)在0，1上有最值， 设其最大值与最小值分别为 M 和 m，即有 mf(x)M， x0，1 又由拉格朗日中值定理有 f(x)=f(x)一 f(0)=xf()， 则 2 01f(x)dx=201xf()dx， 因 mf()M，故 axf()xM(因 z0)， 所以 2mx2xf()2xM ， 因而 2m 01xdx201xf()dx2M01xdx， 即 m2 01xf()dxM， 由式得到 m2 01f(x)dxM 对 f(x)使用介值定理，得到至少存在一点 0，1，使 f()=2 01f(x) dx【试题解析】 因 f(x)在0，1上连续，如能证
17、明 201f(x)如在函数 f(x)的最大值与最小值之间，对 f(x)在0，1上使用介值定理，问题得证为要产生导数 f()，注意到 f(0)=0，可先使用拉格朗日中值定理19 【正确答案】 特征方程为 +3=0，其特征根为 =一 3，故对应齐次方程的通解为 =C(一 3)x ，C 为任意常数因为 b=2 不是特征根，所以可设非齐次方程的特解形式为 yx*=(A0+A1x)2x ，代入非齐次方程得A 0+A1(x+1) 2x+1+1+3 (A0+A1x)2x=2x ，即 A 0+A1(x+1)2+3 (A0+A1x)=x比较两端同次幂系数，解之得于是所求特解为 因此原方程的通解为【试题解析】 f
18、(x)的形式为 Pn(x)b x ，P n(x)为 x 的 n 次多项式，而 n=1，b=2因特征根 =一 32，即 f(x)的底数 b=2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解形式为 *=(A0+A1x) 2x 将其代入非齐次方程后，比较两端同次幂的系数定出常数 A0 ，A 1 即可求得一特解20 【正确答案】 (1)由题设，有 ，令 P=1 ， 2 ， 3，其中则 A 1=1 1 ，A 2=2 2 ，A 3 一1 3 ，即 1 ， 2 ， 3 是属于 3 个不同特征值 1=1， 2=2， 3=一 1 的特征向量而 A 为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，则解得 a=0，b=一
19、 2又A*=0，而 a=一 3 ，于是有 A*(一 3)=0(一 3)，即 A*3=03 ，从而AA*t3=0A3 ，|A| 3=0A3 ，可见 又 A3=(一 1)3 ，因此有 =3=一 1，故 0=2(2)由 A1=1 1 ，A 2=2 2 ，A 3=一 1 3 及有 A1 ， 2 ， 3=1 ，2 2 ，一3于是 A=1 ， 2 ， 31 ， 2 ， 3 一 1(3)由 Ai=ifi(1=1，2，3)，有 A*i= 进而有(A *+E)i= 可见 A*+E的特征值为 即 1=一 1， 2=0， 3=3故 |A*+E|=123=0【试题解析】 利用实对称矩阵的特征向量正交性可求出 a，b，
20、再由 A 的特征值1，2，一 1，可求得 A*的特征值，从而求得 A*+E 的特征值，于是其行列式易求得可用公式(A *)一 1=A/|A|简化求得(A *)一 121 【正确答案】 利用所给的向量等式及特征值、特征向量的定义可求出 A 的全部特征值及三个线性无关的特征向量(1)由题设知，A( 1+2+3)=2(1+2+3)，A( 2一 1)=A2 一 A1=3+1 一( 2+3)=一( 2 一 1)，A ( 3 一 1)=A3 一 A1=1+2 一(2+3)=一( 3 一 1)又因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1+2+30， 2 一10， 3 一 10可得一 1，2 是 A 的特征
21、值； 2 一 1 ， 3 一 1 ， 1+2+3 是相应的特征向量又由 1 ， 2 ， 3 线性无关，得 2 一 1 ， 3 一 1 也线性无关，所以一 1 是 A 的二重特征值，即 A 的全部特征值为一 1，一 1，2(2)由 1 ， 2 ， 3 线性无关可证明 2 一 1 ， 3 一 1 ， 1+2+3 线性无关，事实上，由矩阵表示法： 2 一 1 ， 3 一 1 ， 1+2+3=1 ， 2 ， 3 而 1 ， 2 ， 3线性无关，右边的三阶行列式不等于 0，其矩阵可逆，故 2 一 1 ， 3 一 1 ， 1+2 3 线性无关，即矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，故矩阵 A 为可对角化2
22、2 【正确答案】 设事件 A 表示从剩下的收音机中任取一台是正品的事件， Ak 表示售出的 2 台中恰有 k(k=01，2) 台为正品的事件，则 A0 ，A 1 ，A 2 为一完备事件组利用超几何分布得到由全概率公式得到 P(A)=P(A0)P(A|A0)+P(A1)P(A |A1)+P(A2)P(A|A2)【试题解析】 弄清楚随机试验的结构是求解的关键，易知试验分两个阶段进行：第一阶段是售出的 2 台中有 k(k=0，1，2) 件正品；第二阶段是在第一阶段的基础上任取一台，考虑其为正品的概率，不难想到应该用全概率公式，需找出一个完备事件组。23 【正确答案】 (1)如右图所示，当 0y1 时， fY(y)=0yf(x，y)dx= 0y21x2 y3dx=7y6故 在 Y=y 的条件下，X 的条件概率密度为由 fX|Y(x|y)fX(x)或 fX(x) fY(y)f(x，y)知，X 与 Y 不独立也可从直观上判定 X 与Y 不独立这是因为虽然 f(x，y)取非零值的部分可分解为两个仅与 x、仅与 y 有关的函数 g1(x)， g2(y)的乘积，但 f(x，y)取非零值的区域分解不出仅与 x、仅与 y 有关的区间【试题解析】 先求出条件概率密度，然后利用它回答下面的两个问题。
