1、考研数学（数学一）模拟试卷 413 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，f(x)=In(1+x)-(ax 2+g(x)与 g(x)=xtan x 是等价的无穷小，则常数 a，b的取值为（A）a= ，b=1（B） a= ，b=1（C） a= ，b=-1（D）a= ，b=-12 使函数 f(x)=x3+ax+b 在区间(-，+)内只有一个零点 x0(且 x00)的常数 a，b 的取值范围是（A）a0， b1)是取自总体 X 的简单随机样本，且 DX=20， 为样：均值，则 Xn- 与 的相关系数为（A）-1（B） 0（C）（D）二、填空题9
2、设当 x0 时，(x)= -1 与 (x)= 是等价的无穷小，则常数=_10 微分方程 tan ydx-(1+ex)sec2ydy=0 满足条件 y(0)= 的特解为_11 函数 z=x(x，y)由方程 y=xf(z)+(y，z)确定，其中 f， 分别具有连续的导数和偏导数，且 xf+z0，则 =_12 设曲面为 z= ，则 (x2+y2+z2-3xyz)ds=_13 设三维列向量 1， 2， 3 线性无关，且向量1=1+22+33， 2=2+3， 3=1+3，则秩 r(1， 2， 3)=_14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(0，1)，Y 在区间-1，3上服从均匀
3、分布，则概率 Pmax(X，y)0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 x(0，+)，证明：16 记 f(x)= ，试求函数 f(x)在0，+) 内的值域17 试利用变量代换 x=cost 将微分方程(1-x 2) 化为关于 y，t 的方程，并求原方程的通解17 设二元函数 f(x,y)在单位圆区域 x2+y21 上有连续的偏导数，且在单位圆的边界曲线上取值为零，f(0，0)=118 令 x=rcos,y=rsin，证明 xfx(x，y)+yf y(x，y)=19 求极限 ，其中区域。为圆环域 2x2+y21.20 计算曲线积分 其中曲线 L 是沿单位圆 x2+y2=
4、1 的上半圆周从点 A(0，1)到 B(-1，0)的一段弧.21 将函数 f(x)=2+x-1x1) 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求数项级数 的和21 设有非齐次线性方程组 ，已知 3 阶矩阵 B 的列向量均为此方程组的解向量，且 r(B)=222 求参数 k 的值及方程组的通解23 若 A 为此线性方程组的系数矩阵，求(AB) n24 设二次型 f(x，x，x)= -2x1x2-2x1x3+2ax2x3 通过正交变换化为标准形 f=，求常数 a，b 及所用正交变换矩阵 Q24 某商场销售某种型号计算机，只有 10 台，其中有 3 台次品，现已售出 2 台某顾客又来到该商场购买此种
5、型号计算机25 若该顾客只买 1 台，求他买到正品的概率26 若该顾客买 4 台，以 X，Y 表示 4 台计算机中次品数与正品数，求 4 台中次品数的数学期望，并求协方差 cov(X，Y) 26 设总体 X 的概率密度函数为 f(x)= 其中 0 为未知参数，又X1，X 2，X n 为取自总体 X 的一组简单随机样本27 求常数 k.28 求 的最大似然估计考研数学（数学一）模拟试卷 413 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查无穷小阶的问题见到确定无穷小阶的问题，就想“三法”等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求
6、导定阶法，此处用等价无穷小代换处理 g(x)，用泰勒公式处理 ln(1+x)可快速求得结果解： x0 时，g(x)x 2由ln(1+x)=x- +o(x2)，得 f(x)=x- +o(x2)-(ax2+bx)=(1-b)x-(a+ )x2+o(x2)由题设可知 1-b=0，-(a+ )=1，即有 b=1，a= 2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查函数零点问题见到函数零点或方程实根以及两曲线交点的问题，就要先找函数再定区间，然后用零点定理，若还要研究个数，则必用函数的单调性及极(最) 值处理 解：因 f(x)在(-，+)内连续， f(x)=-， f(x)=+，故由零点定理可知 f(x)在(
7、 ，+)内至少有一个零点 又 f(x)=3x2+a，为使 f(x)只有一个零点，需 a0(保证 f(x)单调)，而零点 x00，f(0)=b，故只要 b0 注：上述结果“a0 ，b0”只是 f(x)在(-，+)内只有一个负零点 x0的充分条件3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数的单调性及定积分的几何意义首先要能够从所给图形看出 f(x):在包含 x=1， x=2 的区间内单调减少(因导函数图形在 x 轴下方)，然后把 I1，I 2 写成定积分可得 解：由所给 y=f(x)的图形可知，f(x)在包含 x=1，x=2的区间内单调减少，故 f(1)f(2) 又 I 1=f(1)-f(0)
8、 f(x)dx，I 2=f(2)-f(1)= f(x)dx，由定积分几何意义及所给图形可看出，I 1I 24 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理，只要能够根据题设条件判断出所得正弦级数是把 f(x)作奇延拓还是偶延拓以及相应的周期即可解：由题设条件可知本题要把 f(x)作奇延拓，周期为 2再由狄利克雷定理可画出正弦级数的和函数的部分图形如图所示，显然等式 f(x)= bnsinnx 成立的区间为0，)5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查向量组间的线性表示问题，这需要由条件建立相应的线性表示式将矩阵 A，B 按列分块，再由矩阵乘法即可看出 解：记A=(1，
9、 2， n)，B=( 1， 2， s)，则由条件有( 1， 2， n)=(1， 2， s)，即有 x111+x212+xn1=1， x1s1+x2s2+xnss=s可见矩阵 B 的每一个列向量均可由 A 的列向量组线性表示6 【正确答案】 C【试题解析】 本题求 A 的相似矩阵首先要清楚二次型的矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必可相似对角化，且与其特征值为主对角线上元素的对角矩阵相似；另外要清楚可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数(重根计重数)，那么问题便转化为求矩阵 A 的特征值上来了，这是求抽象矩阵的特征值问题 见到 n 阶矩阵 A 的多项式方程 f(A)=0，就知 A 的特征值满足方程
10、 f()=0 解：设 是矩阵 A的任意一个特征值， 是相应的特征向量，即 A=用 右乘题设等式条件，得 A 2+A=0， 即有( 2+)=0因口0，故有 2+=0，从而 =0 或 =-1又由矩阵 A 的秩为 2 可知，矩阵 A 的特征值为 0，-1，-1，实对称矩阵 A 必与以它的特征值 0，-1 ，-1 为主对角线元素的对角矩阵相似 注：实对称矩阵与以其特征值为主对角线元素的对角矩阵也是合同的7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查已知正态分布求概率问题见到已知正态分布求概率问题，就要想到以下三点： 标准化； Px=Px= ( 为该正态分布的数学期望)； 服从正态分布的随机变量 X 在数学
11、期望 左右两侧对称区间上取值的概率相等 本题用标准化，分别将 X， 标准化即可看出 解：因 PX-a= -1； 由 知， 故由题设条件可得 ，即a=2b8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查求统计量的数字特征问题，用“运算性质法”及“已知分布法”求解即可 解：由题设条件可知，DX i=， ，故 由于X1，X 2，X n 相互独立，所以 in 时，cov(X n，X i)=0，于是 因此 Xn- 的相关系数为0，应选(B) 注：简单随机样本 X1，X 2，X n 是相互独立且与总体同分布的，解题时不能忽视这一点二、填空题9 【正确答案】 -2【试题解析】 本题考查无穷小阶的问题见到确定无穷小
12、阶的问题，就想“二法”等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法此处用等价无穷小代换与求导定阶法分别处理 (x)，(x) 即可快速求得结果 解：x0 时，(x) ax2 因 x0 时， ，从而得，a=-210 【正确答案】 y=arctan【试题解析】 本题考查求解一阶微分方程问题，要先判定其类型，再用相应的方法求解即可本题为变量可分离微分方程，先分离变量后两边积分可得 解：原方程变形为 两边积分，得 既有 得 lntany=-ln(1+e -x)+lnC即 tany=由 y(0)= ，得 C=2，故所求特解为 y=arctan 11 【正确答案】 【试题解析】 本题考查由三元方程确定的
13、二元隐函数的偏导数问题可用“求导法”“微分法”及“公式法”求解此处用微分法 解：方程两边微分，得 dy=f.dx+xf.dz+y.dy+z.dz，解出 dz，得 dz= 故12 【正确答案】 32【试题解析】 本题考查第一类曲面积分的计算问题，其基本方法是化为二重积分进行计算，但要先化简见到曲线、曲面积分，就要想到能否利用积分曲线方程、积分曲面方程简化被积函数，以及利用对称性化简解：因积分曲面为球面x2+y2+z2=4 的 z0 部分，显然关于 zOx 面，yOz 面对称，故 原积分= (x2+y2+z2)ds- 3xyzds= ds-0=3213 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查求抽象
14、向量组的秩的问题，可用初等变换法求解，也可由题设条件建立一个矩阵的等式见到一组向量由另一组向量线性表示，就要想到“三个东西”，由此矩阵等式可得 解 1 因 ( 1， 2， 3)=(1+22+33， 2+3， 1+3) (22+23， 2+3， 1+3)(0， 2+3， 1+3)，由 1， 2， 3 线性无关易知 2+3， 1+3 线性无关，故 r(2+3， 1+3)=2，从而 r(1， 2， 3)=2解 2 由题设条件，有( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 因 1， 2， 线性无关，故矩阵 A=(1， 2，)满秩，从而r(1， 2， 3)=r =214 【正确答案】 【试题解析】 本题考
15、查求相互独立随机变量的最大值、最小值函数的概率问题，利用最大值、最小值函数分布常用处理方法求解即可 解：Pmax(X，Y0=1-Pmax(X，Y)0 =1-PX 0，Y 0=1-PX0PY0 =三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令 (x)= ，则 (x)= 故 (x)在(0，+)内单调减小而 (x)=0，从而有 (x)0，即 【试题解析】 本题是函数不等式证明问题，可利用单调性证之第()问只要求得 f(x)在区间0，+)上的最大值、最小值即可注：求连续函数 f(x)在区间a ，b 上的值域问题一般是利用求 f(x)在该区间上的最大值与最小值得到，要注意值域区
16、间端点的取舍16 【正确答案】 因 F(x)= 而由()可知，当 x0 时，有 从而有 f(x)0，即 f(x)在(0，+)内单调减小又 因此函数 f(x)的值域为(0， 17 【正确答案】 因 x=cos t，故 =-sin t，于是将 x， 代入原方程，得 即 +4y=0这是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为 y=C 1cos2t+C2sin2t 由 x=cost，作如图所示的直角三角形，故原方程的通解为 y=C 1(2cos2t-1)+C2.2sin tcos t =C1(2x2【试题解析】 本题考查利用变量代换将不可解的微分方程化为可解的方程，其关键的运算是导数的计算求解过程中要注意
17、复合函数求导法则的灵活应用18 【正确答案】 因 x=rcos，y=rsin ，故两边同乘 r，得【试题解析】 本题主要考查多元抽象复合函数偏导数的计算与二重积分的计算问题第() 问利用二元复合函数求导法则求导即可；第()问要把二重积分化为极坐标系下的累次积分最后的求极限要用到二重积分的积分中值定理19 【正确答案】 原极限 因f(x，y)在单位圆边界上取值为零，故 f(cos，sin)=0再由二重积分积分中值定理，得 原极限= -2f(cos，sin)=-2f(0 ，0)=-220 【正确答案】 因 P(x,y)=显然 =1，故考虑用格林公式计算补线段 ，则 I=其中因此 I=【试题解析】
18、本题考查第二类曲线积分的计算问题由条件特点，考虑用格林公式转化为二重积分计算21 【正确答案】 因 f(x)=2+x是偶函数，且展开成以 2 为周期的傅里叶级数，故 a0= (2+x)dx= (2+x)dx=5，a n= (2+ x)cosnxdx= (2+x)cosnxdx= ， n=1，2，3，b n= (2+x)sinnxdx=0，n=1，2，3， 由于 f(x)在区间-1，1上满足狄利克雷收敛定理条件，故有 上式中令 x=0，得 因此【试题解析】 本题考查函数的傅里叶级数展开式问题，只要求出相应的傅里叶系数即可注：读者要熟记傅里叶级数及其傅里叶系数的一般形式，即其中另要熟悉狄利克雷收敛
19、定理的条件与结论22 【正确答案】 记 A= ，b= ，B=( 1， 2， 3) 由题设可知1， 2， 3 均为 Ax=b 的解又 r(B)=2，即 r(1， 2， 3)=2，不妨设 1， 2 线性无关，于是 1-20 是方程组 Ax=0 的解，即齐【试题解析】 本题主要考查非齐次线性方程组求解问题先由条件可知方程组对应的齐次方程组有非零解，故其系数行列式等于 0，以此可得 k，进而可求得原方程组的通解由第() 问可求得 AB，进而再求(AB) n见到求方阵的高次幂问题，就要想到“秩 1 法”与“对角化法”，问题顺利解决23 【正确答案】 由题设条件可知， A 1=b，A 2=b，A 3=b，
20、将上述三个向量等式合并成一个矩阵等式，得 (A 1，A 2，A 3)=(b，b，b)，即 A(1， 2， 3)=(b，b，b) 从而有 AB= 1 1 1=T，其中 =(1，2，3) T24 【正确答案】 二次型 f(x1，x 2，x 3)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 A= ，A= 由题设可知 AA，故有于是矩阵 A 的特征值为 1=2=2， 3=-1 求解方程组(2E-A)x=0 的基础解系，得 1=2=2 对应的特征向量为 1=(1，0，-1)T，【试题解析】 本题考查用正交变换化二次型为标准形问题见到二次型 xTAx 经正交变换化为标准形 yTAy，就要想到矩阵 A 与 A
21、 相似，从而 A 与 A 有“四等五相似”，以此可得 a，b 然后再求出 A 的特征值、特征向量即可25 【正确答案】 记 A=“从剩下的 8 台计算机中任取一台为正品”，B i=“售出的 2 台中恰有 i 台为正品”，i=0，1，2则 P(B 0)= ，P(B 1)= ，P(B 2)=， P(AB 0)= ，P(AB 1)= ，P(A B 2)= 由全概公式，得 P(A)=P(Bi)P(AB i【试题解析】 本题第()问考查全概模型问题，利用全概公式求解即可第()问可看成独立重复试验，利用二项分布解之26 【正确答案】 以 X、Y 分别表示该顾客购买的 4 台计算机中的次品数和正品数，由()可知 XB(4，03) ，从而EX=403=1 2，cov(X，Y)=cov(X，4-X)=-cov(X，X)=-DX=-40307=-08427 【正确答案】 由 故 k=【试题解析】 本题第()问求概率密度中的常数，由 f(x)dx=1 可得，第()问按最大似然估计的方法步骤“造似然求导数，找驻点得估计”计算即可28 【正确答案】 由() 知，f(x)= 似然函数为 L(x 1，x 2，x n；)=取对数，得 lnL=ln2-nln+令 =0，得 = ，故 的最大似然估计量为
