1、考研数学（数学三）模拟试卷 415 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(2)=0，又 =一 2，则 f(2)( )（A）必是 f(x)的极大值（B）必是 f(x)的极小值（C）不一定是 f(x)的极值（D）一定不是 f(x)的极值2 下列函数中在点 x=0 处可微的是( ) （A）f(x)=e |x|（B） f(x)=arctan|x|（C）（D）3 函数 f(x，y)= 在点(0，0)处( )（A）不连续（B）连续，但偏导数 fx(0，0)和 fy(0，0)不存在（C）连续，且偏导数 fx(0，0)
2、和 fy(0，0)都存在（D）可微4 给定两个正项级数 =，当 =( )时，不能判断这两个正项级数同时收敛或同时发散（A）0（B） 1/2（C） 1（D）25 矩阵 与下面矩阵( )相似6 设三元二次型 f(x1 ，x 2 ，x 3)=XrAX 的正惯性指数 p=1，且该二次型矩阵 A 满足A2+2A 一 3E=0，则在正交变换下该二次型的标准形是( )（A）y 12+2y22 一 3y32（B） y12 一 3y22 一 2y32（C） y12 一 y22 一 y32（D）y 12 一 3y22 一 3y227 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相
3、关的充分必要条件为( )（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)一 (E(X)2=E(Y2)一(E(Y) 2（C） E(X2)=E(Y2)（D）E(X 2)+(E(X)2=E(Y2)+(E(X)28 若随机变量 XN(2， 2)，且概率 P(2X4)=03，则概率 P(X0)等于( )（A）02（B） 03（C） 04（D）05二、填空题9 10 11 微分方程 y“+y=x2 的特解形式为 _12 设幂级数 anxn 的收敛半径为 3，则幂级数 nan(x 一 1)n+1 的收敛区间为_13 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组AX=0 的通解
4、为_14 设随机变量 X 的分布函数为 对 X 独立观测 3 次，则 3 次结果都不超过 1 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 f(x)=(x 一 x0)n(x)(n为任意自然数)，其中函数 (x)当 x=xn 时连续 (1)证明 f(x)在点 x=x0 处可导； (2)若 (x)0，问函数 f(x)在 x=x0 处有无极值，为什么？17 计算 1+18 求 的通解，及其在初始条件 y|x=1=0 下的特解19 设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，u(t)为任一连续函数；a 0，求证： 0af(t)dtf(0au(t)dt)20 设向量组()
5、： 1 ， 2 ， m ，组() ： 1 ， 2 ， n ，其秩分别为 r1 ，r 2 ，向量组( )： 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， ， n 的秩为 r3 ，证明 maxr1 ，r 2r3r1+r221 设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2线性无关，且A3=3A 一 2A2，证明： ()矩阵 B=，A，A 4可逆； () B TB 为正定矩阵22 将外形相同的球分别装入三个盒子中，第一个盒子装入 5 个红球和 3 个黑球，第二个盒子装入 3 个黑球和 2 个红球，第 3 个盒子中装入 4 个黑球和 2 个红球先在第一个盒子中任取一球，若取到黑球，则在第二个盒
6、子中任取两球，若取到红球，则在第三个盒子中任取两球，求第二次取到的两个球是黑球时，第一次取到的是黑球的概率23 设随机变量(，) 的密度函数为试求()(，)的分布函数；()概率考研数学（数学三）模拟试卷 415 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的保号性及极值的定义判别之仅(D)入选由 f(x)可导和f(2)=0 知，x=2 是 f(x)的驻点，但由根据极限保号性及(x 一 2)2 0 知，当 x2 时，f(x) 0，所以 f(2)一定不是 f(x)的极值2 【正确答案】 C【试题解析】 因函数 f(x)在 x=x
7、0 处可微的充要条件是 f(x)在 x=x0 处可导，归结为讨论下列函数在 x=0 处是否可导的问题，仅(C)入选对选项(A)故 f(x)在 x=0 处不可导，所以 f(x)在 x=0 处不可微对选项(B)，故 f(x)在 x 一 0处不可导，因而在 x=0 处也不可微对选项(D)，即 f+(0)不存在，故f(x)在 x=0 处不可导，当然在 x=0 处也不可微事实上，对选项(C)，3 【正确答案】 C【试题解析】 解 f(x，y)在整个平面上有定义，且 f(0，0)=0 又这表明 f(x，y)在点(0， 0)处连续，从而 (A)不正确因 f(x，0)f(0， y)0，对任意 xR，任意yR于
8、是 fx(x，0)=0，f y(0，y)=0，且在点 (0，0)处有 fx(0，0)=f y(0，0)=0，可见(B)不正确因 f(x，y)在点 (0，0)处可微的充分必要条件是不难发现，当y= x0 时，这表明上述极限不为零，即(D)不正确仅 (C)入选4 【正确答案】 A【试题解析】 利用比较判别法的极限形式判别之，对于此判别法，一是要注意仅适用于正项级数，二要注意极限值 的取值情况不同，结论是不同的，特别当 p=0或+时，其结论要记清楚这时不能判断两个正项级数同时收敛或发散对于比较判别法，当 =， 0 + 时，级数 同时收敛或发散，因此仅(A)入选当 p=0 时，有可能 发散；当 =+时
9、，有可能收敛5 【正确答案】 D【试题解析】 先由两矩阵相似的下述必要条件，排除一些矩阵，再确定选项因trA1=一 1 一 2=一 3trA，trA 3=1+0=1trA，A 1 和 A3 都与 A 不相似又 r(A2)=1r(A)=2，故 A2 与 A 也不相似，仅(D) 入选注意 常用的两矩阵 A 与 B 相似的必要条件有：(1)|A|=|B|；(2)r(A)=r(B)；(3)|E 一 A|=|E 一 B|，即 A 与 B 有相同的特征值；(4)tr(A)=tr(B)，即 其中 A=aijmn ，B=b ijmn6 【正确答案】 D【试题解析】 先求出 A 的特征值，确定正、负惯性指数，再
10、确定选项 设 是矩阵 A 的特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量， 即 A=，0 那么由 (A2+2A 一 3E)=0 有 ( 2+2 一 3)=0， 2+2 一 3=(+3) ( 一 1)=0 由此可知，矩阵 A 的特征值只能是 1 或一 3 因为 A 可逆，正惯性指数 p=1，则负惯性指数必为 2，所以 A 的特征值为 1=1， 2=3=一 3， 从而在正交变换下该二次型的标准形为 y 12 一 3y22 一 3 y32仅(D)入选7 【正确答案】 B【试题解析】 X，Y 不相关的充要条件有： (1)E(XY)=E(X)E(Y)； (2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)； (3)c
11、ov(X ，Y)=0； (4) xy=0 本例使用条件 cov(X，Y)=0 更方便由 E()=E(X 2 一 Y2)=E(X2)一 E(Y2)， 而 =X+Y，=X 一 Y 则 E()=E(X)+E(Y)，E()=E(X) 一 E(Y)， 于是 cov(，) 一 E(X2)一 E(Y2)一(E(X)+E(Y)(E(X)一 E(Y) =E(X2)一(E(X) 2 一(E(P)一(E(Y) 2)+E(X)E(Y)一 E(X)E(Y) =D(X)一D(Y) 因此 cov(，)=0 的充要条件是 D(X)=D(Y)仅(B)入选8 【正确答案】 A【试题解析】 利用服从正态分布的随机变量取值概率的对称
12、性求之，也可利用标准正态分布的性质求之二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 先作代换 1/x=t，再用换底法求其极限10 【正确答案】 【试题解析】 作变量代换去掉无理根式，再积分求之11 【正确答案】 y *=x(ax2+bx+c)【试题解析】 先求出对应齐次方程的特征方程的根 r1 ，r 2 ，再根据方程右端所含的自由项 f(x)的形式设出特解 y*的形式(1) 若 f(x)=Pm(x)ex ，则特解 y*=xkQm(x) ex ，其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的待定多项式(2)若 f(x)=exPl(x) cosx+Pn(x) sinx，则设特解为 y*=xkexRm(1)(x
13、) cosx+Rm(2)(2) (x) sinx，其中 Rm(1)(x)，Rm(2)(x)是 m 次多项式，m=max1，n， 对应齐次方程的特征方程为 r2+r=r(r+1)=0，故 r=0 为其一特征根，而 f(x)=x2=x2e0x ，即 f(x)中的指数为 0因指数 0 为其特征方程的单根，故特解形式为y*=x(ax2+bx+c)，其中 a，b，c 为待定的系数12 【正确答案】 一 2x4【试题解析】 已知幂级数 anxn 的收敛半径为 3，化幂级数含其系数 an 为因子系数，其他因子可为 n 的幂函数，且与该幂级数的收敛中心及 n 的起始值无关，符合上述条件的新的幂级数的收敛半径相
14、同例如级数nan(x 一 1)n 一 k 的收敛半径都是相同的，但不能确定这些幂级数在收敛区间端点处的敛散性利用上述结论即得新级数的收敛半径，因而可写出其收敛区间由上述分析易知，幂级数 nan(x 一 1)n+1 的收敛半径也为3，因而得到|x 一 1|3，即一 2x4 为所求的收敛区间，但不能判定其在 x=一2 及 x=4 处的敛散性13 【正确答案】 C【试题解析】 A 的各行元素之和均为零，这就告诉我们 1，1，1 T 为 AX=0的非零解向量，再利用线性方程组解的结构求其通解 因 r(A)=n 一 1，故 AX=0的一个基础解系只含一个解向量又由题设有 A1，1，1 T=0，0，0 T
15、 因而 =1，1，1 T 为 AX=0 的一个非零解向量，它也为 AX=0 的一个基础解系，故其通解为 C，其中 C 为任意常数14 【正确答案】 27/512【试题解析】 设随机变量 Y 为 3 次观测试验中不超过 1 的次数，则 Y B(3，p)，其中 p=P(X1) 为求 P(Y=3)=C33p3(1 一 p)3 一 3 ，首先必求出 p p=P(X1)=F(l)=3/8， 则 P(Y=3)=C 33(3/8)3=27/512三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用恒等变形法或提公因式法化简极限函数，再用等价无穷小代换求出结果16 【正确答案】 (1)由于
16、 即 f(x)在x=x0 处可导，且 f(x0)=0(2) 由于 (x)在 x=x0 处连续，且 (x0)0，所以 (x)在点x0 的充分小的邻域(x 0 一 ，x 0+)内与 (x0)同号，于是 f(x)的符号只与 n 的奇偶性有关若 n 为奇数，则经过 x0 时，f(x) 的值变号，所以在 x=x0 处没有极值；若 n 为偶数，则(x 一 x0)n0(xx 0)当 (x0)0，且 0|x 一 x0|a 时，f(x)=(xx0)n(x)0=f(x 0)，所以在 x=x0 处有极小值 f(x0)当 (x0)0，且 0|x 一 x0|时，f(x)=(x 一 x0)n(x)0=f(x 0)，所以在
17、 x=x0 处有极大值 f(x0)【试题解析】 用导数定义证明(1)；用极值的定义求解(2)17 【正确答案】 注意到 令 x 一1=sect，则当 x=2 时，t=0，当 x+时，t=/2，故【试题解析】 这是一个积分区间为无穷，且被积函数在2，+)上是无界函数的反常积分，试作变量代换化为定积分求之18 【正确答案】 这是一个一阶方程，注意到若以 x 为未知函数，y 2 为自变量，原方程就会化为 x 的一阶线性非齐次方程：代入初始条件 y|x=1=0 即得 1=C 一 1C=2，所以满足条件下特解为【试题解析】 所给方程右边虽出现了 y 的平方但仅出现 x 的一次方，故可将所给方程化为以 x
18、 为未知函数的一队线性非齐次方程解之19 【正确答案】 题设 f“(x)0，则由泰勒公式有 f (x)=f(x0)+f(x0)(x 一 x0)+ f“() (x一 x0)2 f (x0)+f(x0) (x 一 x0) ，其中 在 x0 ，x 之间取 x0= 0xu(t)dt，x=u(t)代入上式得 对上式两端从 0 到 a 积分，得【试题解析】 给出函数 f(x)二阶可导，且 f“(x)0，该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式比较待证的等式易看出，应取 x=u(t)，x 0= 0au(t)dt (此为常数)20 【正确答案】 分别取向量组()、() 、()的最大无关组：因组( )能由 ()
19、线性表出，其部分组()也能由() 线性表出，且组()线性无关对于组()与组()，有 r3r1+r2因组()、组 () 分别可由组()线性表出，且组( )、组()分别线性无关，于是 r1r3 ，r 2r3 ，则 max(r1 ，r 2)r3【试题解析】 遇有一组向量可用另一组向量线性表出的题设或题断时，常取其最大无关组作出线性无关的向量组，利用有关结论证其相关命题。21 【正确答案】 (1)由 A3一 3A一 2A2得到 A4=AA 3=3A2一 2A3=3A2一 2(3A一 2A2)=一 6A+7A2，则 ，A，A 4=，A，A 2=，A ，A 2G因|G|= =70，A，A 2线性无关，故
20、，A，A 4线性无关，所以矩阵 B 可逆设 k1+k2A+k3A4=0，即k1+k2A+k3(7A2一 6A)=0，亦即 k 1+(k2 一 6k3)A+7k3A2=0因 ，A，A 2线性无关，故 k1=0，k 2 一 6k3=0，7k 3=0，即 k 1=k2=k3=0，所以 ，A，A 4线性无关，因而矩阵 B 可逆(2)因(B TB)T=BT(BT)T=BTB，故 BTB 为实对称矩阵又对任意 X0，因 B 可逆，有 BX0，于是有 XT(BTB)X=(BX)T(BX)0，故二次型XTBTBX 是正定二次型，从而 BTB 为正定矩阵【试题解析】 (1)利用矩阵 B 的可逆性可构造矩阵证之为
21、此将 B 表示为两个可逆矩阵的乘积，也可利用向量组 ，A ，A 2 线性无关的性质用定义证明 (2)用定义证明 XTBTBX 为正定二次型22 【正确答案】 设事件 A 表示从第一个盒子中取到黑球，事件 B 表示第二次取出的两个球都是黑球，则【试题解析】 先用全概率公式求出第二次取到的两个球是黑球的概率，再用条件概率公式求出第一次取到的是黑球的概率23 【正确答案】 连续型随机变量(，) 的概率密度为 (x，y)，则分布函数F(x，y)=P(Xx，Yy)= 一 x一 y(x，y)dxdy，若 (x，y)的取值不分区域，则求二次积分即可求出 F(x，y)；若 (x，y)分区域定义时，则先绘出 (
22、x，y)取非零值的区域 D，再将其边界线段延长为直线，于是它们将整个平面分成若干个子区域，然后再根据 P(，)G)=(x，y)dxdy，其中 G 为子区域与 (x，y)取非零值的定义域的交集，求出各个小区域上的分布函数的表达式，即得 F(x，y) (1)将 (x，y)定义域中的边界线段延长为直线，它们将整个平面分成 5 个子区域：D 1：x 0 或 y0时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)= 一 x一 y(x，y) dxdy= D2：0x1，0y 2 时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)=P(0X1， 0Yy)= 一 x一 y(x，y) dxdy= =0x0yD3：x1，0y2 时，F(x ，y)=P(Xx，Yy)=P(0X1，0Yy)= (x，y) dxdy= 0x0y(x，y) dxdyD4：0x1，y2 时，D5：x1，y2 时，
