1、考研数学（数学三）模拟试卷 431 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 则( )（A）k=2，a=一 2（B） k=一 2，a= 一 2（C） k=2，a=2（D）k=一 2，a=22 的渐近线的条数为( )（A）2（B） 3（C） 4（D）53 设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足若 f(x，y) 在 D 内没有零点，则 f(x，y)在 D 上( )（A）最大值和最小值只能在边界上取到（B）最大值和最小值只能在区域内部取到（C）有最小值无最大值（D）有最大值无最小值4 设常数 a 0，正项
2、级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）级数敛散性与 a 有关5 ，其中 1,2,3,4 两两不等，下列命题正确的是( )（A）方程组 AX=0 只有零解（B）方程组 ATX=0 有非零解（C）方程组 ATAX=0 只有零解（D）方程组 AATX=0 只有零解6 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=2=1， 3=3，对应的线性无关的特征向量为1,2,3，令 P1=(1+3， 2 一 3， 3)，则 P1 一 1AP1=( )（A）（B）（C）（D）7 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0 ，1)，则 Z=F 一 1(Y)的分布函数( ) （A）可导（
3、B）连续但不一定可导且与 X 分布相同（C）只有一个间断点（D）有两个以上的间断点8 设 X1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量，X 是样本均值，记 S1=则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设 f(x)为连续函数，且 f(1)=1，则 =_.10 =_.11 差分方程 的通解为_12 设 u=ex+y+z，且 y，z 由方程 0xet2+ln(1+y)=0 及 ey+z=e+lnz 确定为 x 的函数，则=_。13 设 且 ABAT=E+2BAT，则 B=_14 设随机变量 X，Y 相互独立，且都服从(
4、一 1，1)上的均匀分布，令Z=maxX，Y)，则 P0Z1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 L： ，过 L 上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值16 证明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x) 16 设 f(x)ca，b，在(a，b)内二阶可导17 若 f(A)=0，f(b) 0，f +(a)0证明：存在 (12，6)，使得 f()f()+f2()=018 若 f(A)=f(B)=0bf(x)dx=0，证明：存在 (a，b) ，使得 f()=f()18 设抛物线 y=x2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条
5、切线与抛物线相切于点 A(a，a 2)(a0)19 求 S=S(A)的表达式；20 当 a 取何值时，面积 S(A)最小?21 求级数 的收敛域及和函数22 设 的解向量，且 AX=3 有解(I)求常数 a，b 的值() 求 BX=0 的通解23 设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得且 A*=(I)求正交矩阵 Q；()求矩阵 A24 某流水线上产品不合格的概率为 ，各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查设从开始生产到停机检查生产的产品数为 X，求 E(X)及 D(X)25 设总体 X 的分布函数为 (X1，X 2，X 10)为来自总体X 的简单随机样本，其观察值为
6、 1，1，3，1，0， 0，3，1，0，1.(I)求总体 X 的分布律；() 求参数 的矩估计值； ()求参数 的极大似然估计值考研数学（数学三）模拟试卷 431 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 由 为两条水平渐近线；由 ，得 x=一 1与x=0 为铅直渐近线；由 得曲线没有斜渐近线，故曲线共有 4 条渐近线，选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x，y) 在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D
7、内的点(x 0，y 0)处取到，即 f(x0，y 0)=M0，此时 矛盾，即f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内取到，选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 因为又因为收敛，根据比较审敛法得绝对收敛，选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 由 =(3 一 1)(3 一 2)(2 一 1)0，得 r(A)=3由r(A)=34，得方程组 AX=0 有非零解，不选 A；由 r(AT)=r(A)=3，得方程组ATX=0 只有零解，不选 B；由 r(A)=r(ATA)=34 ，得方程组 ATAX=0 有非零解，不选 C；由
8、r(A)=r(AAT)=3，得方程组 AATX=0 只有零解，选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 令 P=(1,2,3)，应选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为，则 Z=F 一 1(Y)的分布函数为 Fz(z)=PZz)=PF 一1(Y)z)=P(YF(z)=FYF(z)，因为 0F(z)1，所以 FZ(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选 B8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 对差分方程 Yx+1 一 ayx=kbx，当 ba
9、 时，通解为 ；当 b=a 时，通解为 yx=kxbx-1+Cax，于是， 的通解为12 【正确答案】 【试题解析】 令 x=0 得 y=0，x=1 ，将方程 0xet2dt+ln(1+y)=0 及 ey+z=e+lnz 对 x 求导得 将 x=0,y=0,z=1 代入得，于是13 【正确答案】 【试题解析】 由 ABAT=E+2BAT，得 ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因为 AT 可逆，所以AB=(AT)-1+2B 或 B=(A 一 2E)-1(AT)-1=AT(A 一 2E)-1，解得14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X，Y 都服从(一 1，1)上的均匀分布，所以三、解答题解
10、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 首先求切线与坐标轴围成的面积设 M(x，y) L，过点 M 的 L 的切线方程为 令 Y=0，得 ，切线与 x 轴的交点为 令X=0，得 ，切线与 y 轴交点为 切线与椭圆围成的图形面积为其次求最优解16 【正确答案】 令 (x)=ex 一 1 一(1+x)ln(1+x)，(0)=0(x)=e xln(1+x)一1，(0)=0， 当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x)17 【正确答案】 因为 f+(A)0，所以存在 c(a，b)，使得 f(C)f(A)=0，因为f(C)f(B)0，所以存在 x0(c，b)，使得 f(x0)
11、=0因为 f(A)=f(x0)=0，由罗尔定理存在 x1(a，x 0)，使得 f(x1)=0令 (x)=f(x)f(x)，由 (A)=(x1)=0，根据罗尔定理，存在 (a，x 1)c(a，b) ，使得 ()=0而 (x)=f(x)f(x)+f2(x)，所以 f2()f()+f2()=018 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，因为 F(A)=F(B)=0，所以由罗尔定理存在c(a，b) ，使得 F(C)=0，即 f(C)=0令 h(x)=exf(x)，由 h(A)=h(C)=h(B)=0，根据罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，则 h(x)=
12、exf(x)+f(x)，所以 f(1)+f(1)=0，f( 2)+f(2)=0再令 G(x)=e-xf(x)+f(x)，由 G(1)=G(2)=0，根据罗尔定理，存在 (1， 2)c(a，b)，使得 G()=0，而 G(x)=e-xf(x)一 f(x)且 e-x0，所以 f()=f()19 【正确答案】 设另一个切点为(x 0，x 02)，则抛物线 y=x2 的两条切线分别为L1：y=2ax 一 a2，L 2：y=2x 0xx02 因为 L1L2，所以 两条切线 L1，L 2 的交点为 y1=ax0，L 1，L 2 及抛物线 y=x2 所围成的面积为 S(A)=x0x1x2 一(2x0xx02
13、)dx+x1ax2 一(2ax 一 a2)dx20 【正确答案】 令时，S(A)0，当时；面积 S(A)取最小值21 【正确答案】 由 得幂级数的收敛半径为 R=2当 x=2 时，因为 收敛，所以收敛域为一 2，222 【正确答案】 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)l，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是 ，解得 a=3b由 Ax=a3 有解得 r(A)=r(A； a3)，由解得 b=5，从而 a=15由 1,2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3 一 r(B)2，从而r(B)1，再由 r(B)1得 r(B)=1， 1,2 为 BX=0 的一个基础解系，故 BX=0
14、的通解为23 【正确答案】 (I)显然 A 的特征值为 1=2=一 1， 3=2,A*的特征值为 1=一 2=一 2,3=1因为 为 A*的属于特征值 3=1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值3=2 的特征向量，令 =3令 A 的属于特征值 1=2=一 1 的特征向量为因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一 x1 一x2+x3=0，则 A 的属于特征值 1=2=一 1 的线性无关的特征向量为令再令(II)由24 【正确答案】 X 的分布律为 PX=k)=(1 一 p)k-1p(k=1，2，)25 【正确答案】 (I)总体 X 的分布律为()似然函数为 L()=3(2)5(13)2， lnL()=3ln+5ln2+21n(13)，令得参数 的极大似然估计值为
