1、考研数学（数学三）模拟试卷 443 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f()ln(1 a 2) ，且 f(0)4，则常数 a，b 取值为( )（A）a0， b 为任意常数（B） b0，a 为任意常数（C） a2，b 为任意常数（D）b2，a 为任意常数2 设 f()在0 ，1上连续，f(1)0， 01f()d0，则 ()f() 0f(t)dt 出在闭区间0，1上( ) （A）必定没有零点（B）有且仅有一个零点（C）至少有两个零点（D）有无零点无法确定3 下列反常积分发散的是( )（A）（B）（C）（D） 0 10e d4 积分 aa2 cos
2、ln(2cos)d 的值( )（A）与 a 有关（B）是与 a 无关的正数（C）是与 a 无关的负数（D）为零5 设向量组 1， 2， m 和向量组 1， 2， t 的秩相同，则正确结论的个数是( ) 两向量组等价； 两向量组不等价； 若 tm ，则两向量组等价； 若两向量组等价，则 tm； 若 1， 2， m 可由 1， 2， t 线性表示，则两向量组等价； 若 1， 2， t 可由 1， 2， m 线性表示，则两向量组等价（A）5（B） 4（C） 3（D）26 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ab的三个解向量，且 R(A)3， 1(1 ， 2，3，4) T， 2 3(0 ，1，2，
3、3) T c 表示任意常数，则线性方程组Ab 的通解 ( ) （A）（B）（C）（D）7 设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aXY 与 X bY 亦不相关，则 ( )（A）ab 1（B） ab0（C） ab1（D）ab 08 设 X1，X 2，X 3，X 4 为来自总体 N(0， 2)(0)的简单随机样本，则统计量的分布为( ) （A）N(0 ，2)（B） t(2)（C） 2(2)（D）F(2，2)二、填空题9 已知 f()具有任意阶导数，且 f()f() 2，则 f()的 n 阶导数 f(n)()_10 设 f()在 1 可导，f(
4、1)1，则_11 交换积分次序_12 设 f() ，则 0f()d_13 设A ，那么行列式 A所有元素的代数余子式之和为_14 设 X 服从参数为 2 的指数分布，则 Y1e 2X 的概率密度 fY(y)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 若 3，求 16 计算二重积分 I17 设 f()在 2，2上具有连续的导数，且 f0)0，F() f(t)dt，证明：级数 绝对收敛18 已知 y z e z，e tant，ycost，求 19 某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 和 y(单位：吨)时，总收益函数为 R(，y)4227y4 22yy 2，总成本函数为
5、 C(，y)36812y(单位：万元 )除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费 2 万元，1 万元 ()在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少? ()当限制排污费用支出总额为 8 万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?20 设有方程组 ()求方程组(i)与(ii)的基础解系与通解； ()求方程组(i)与 (ii)的公共解21 已知矩阵 A 与 B 相似 ( )求 ，y，z 的值； ()求可逆矩阵 P，使 P-1APB 22 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在 X(O1)的条件下，随机变量
6、y 在区间(0，)上服从均匀分布求：() 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；()y 的概率密度；()概率 PXY1 23 设有两台仪器，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布首先开动一台，发生故障时停用，而另一台自动开动，求两台仪器无故障工作的总时间 T 的：()概率密度 f(t)；()数学期望和方差考研数学（数学三）模拟试卷 443 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由此得f(0) 2a4，可知 a2，而 b 为任一实数 故应选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 易见，(0)0，不选 A 令 F() 0f(
7、t)dt，则 F()在0，1上连续，在(0 ，1)内可导，且 FK()f() 0f(t)dt，并且 F(0)F(1) 0，由罗尔中值定理知，存在 (0，1)，使得 F()0，即 f() 0f(t)dt0，可见， (0，1)是 ()的零点 故应选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 以上都收敛，故应选 B 事实上，故 发散 故应选B4 【正确答案】 B【试题解析】 因被积函数 f()cosln(2cos) 是以 2 为周期的周期函数，则 aa+2cosln(2cos)d 02cosln(2cos)d cosln(2cos)d， 可见此积分与 a 无关 又因为 cosln(2cos)是偶函数，则
8、cosln(2cos)d2 0cosln(2cos)d 2 0ln(2cos)dsin 2sinln(2 cos) 0 0， 则 aa+2cosln(2cos)d 0，且与a 无关 故应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立 反例：向量组()只含一个向量 ，向量组() 只含一个向量 则显然()和( )的秩均为 1，但不等价若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故、 正确 故应选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的性质，可知 2 1( 2 3)( 1 2)( 1 3) 是非齐次线性方程组 Ab 导出
9、组 A0 的一个解因为 R(A)3，所以 A0的基础解系含 431 个解向量，而 2 1( 2 3)(2，3，4，5) T0， 故是A0 的一个基础解系因此 Ab 的通解为 1k(2 1 一 2 3)(1，2，3，4)Tk(2，3，4，5) T，k R， 即 C 正确 对于其他几个选项， A 选项中 (1，1， 1，1) T 1( 2 3)， B 选项中 (0，1，2，3) T 2 3， D 选项中 (3，4， 5，6) T3 12( 2 3)， 都不是 Ax=b 的导出组的解所以选项A、B、D 均不正确 故应选 C7 【正确答案】 D【试题解析】 XN(1，2)，YN(1 ，2)，于是 D(
10、X)2，D(Y)2又 Cov(X，Y) 0，Cov(aXY，XbY)0由协方差的性质有Cov(aXY，XbY)aCov(X，X) Coy(Y，X)abCov(X，Y)bCov(Y，Y)aD(X) bD(Y)故 ab0 故应选 D8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 X1N(0， 2)，所以 X1X 2 N(0，2 2)，即 N(0，1) 而 2(2)，自 t 分布定义 t(2) 故应选 B二、填空题9 【正确答案】 n!f() n+1【试题解析】 由题意 f()f() 2，则 f()(f() 22f()f()2f() 3， f()2(f() 33!f 2().f()3!f() 4， 由归纳知
11、 f(n)()n!f() n+1 故应填n!f()n+110 【正确答案】 9【试题解析】 由题意可得故应填 911 【正确答案】 【试题解析】 如图 41 所示 记 D D1D 2，则故应填 12 【正确答案】 2【试题解析】 故应填 213 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*(A ij)，只要能求出 A 的伴随矩阵，就可求出 Aij 因为A*AA -1，而A 又由分块矩阵求逆，有故 故应填 14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从以 2 为参数的指数分布，所以 X 的概率密度为由 Y1e -2X 得 h(y) ，所以 Y 的概率密度为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
12、步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 由已知积分区域(如图 21 所示) D (，y)01 ，1， 利用极坐标，则有 D(r，)0 ，0r2sin17 【正确答案】 因为 F() f(t)dt 02f(u)duuf(u) 02 02uf(u)du 2f(2) 02uf(u)du， 则 由拉格朗日中值定理，得 又因为 f()在 2，2上连续，则 f()在2，2上有界，即存在正数 M0，有 f()M， 2，2 因此又因为收敛，则 收敛 所以 绝对收敛18 【正确答案】 由题设条件知 ，y 都是 t 的函数，因此，方程 yz e z 确定了 z 是 t 的函数，对方程两边关于 t 求导，得由
13、 etant，得，从而由 ycost 得sint ， cost 当 t0 时，0，y1，z0，则19 【正确答案】 () 由题意知，利润函数为 L( ， y)R(，y)C(，y)(2y) 4 22yy 23214y36 解方程组该实际问题一定有最大值，当3，y4 时，取得最大利润 L(3，4)40 () 若排污费用 2y8 时，构造拉格朗日函数 F(，y，)4 22yy 232 14y36(2y8) 令此时最大利润 L(25，3)3720 【正确答案】 () 将方程组(i) 改写为 令 取 ，得(i)的基础解系 1(0 ，1， 1，0) T， 2(1，0，0，1) T， 故方程组(i)的通解为
14、 k11 k22， k1，k 2 为常数 又将方程组(ii) 改写为 令 取，得(ii)的基础解系 1(0，1，0，2) T， 2(2，0，1，0) T， 故方程组(ii)的通解为 k 11k 22，k 1，k 2 为常数 ()联立方程组(i)和(ii)，求得的通解即为公共解 对系数矩阵 A 进行初等行变换，可得从而解得基础解系 (2，1，1，2) T 所以方程组(i) 和(ii) 的公共解为 k，k 为常数21 【正确答案】 () 实对称矩阵 A 的特征多项式为 A (1) 2(3)， 故A 的特征值为 1 21， 33于是，A 与对角矩阵 相似， 又因为 A与 B 相似，故 B 也与对角矩
15、阵 相似，因此，B 的特征值为1 21， 33，且 R(EB)1， 又因为 5 1 2 35，得 0由 EB 得 y2，z3 ()经计算可知，将实对称矩阵 A 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P1 ，即 P 1-1AP1 把矩阵 B 化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为 P2，即则 P-1APP 2P1-1AP1P2-1P 2 P2-1B22 【正确答案】 ()X 的概率密度为 fX() 在 X(01)的条件下，Y 的条件概率密度为 当 0y 1 时，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(，y)f X()fYX (y) ， 在其他点处，有 f(，y) 0 ，即 ()当 0y1 时，Y 的概率密度为 f Y(y) f(，y)d lny； 当 y0 或 y1 时，f Y(y)0因此23 【正确答案】 () 设 TX 1X 2，其中 X1，X 2 分别表示两台仪器无故障时的工作时间 因为 XiE(5)(i1，2)且相互独立，故 X1，X 2 的密度函数为则由卷积公式 f(t) fX(ty)f Y(y)dy，可得()因为 XiE(5)(i 1，2)且相互独立，由 E(Xi) ，D(X i) (i1，2)，可得 E(T)E(X 1X 2)E(X 1)E(X 2) ， D(T)D(X 1X 2)D(X 1)D(X 2)
