1、考研数学（数学二）模拟试卷 283 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x)在 x=0 某邻域内连续，且 f(0)=0， ，则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导（B）可导但 f(x)0（C）取得极大值（D）取得极小值2 曲线 y=e1/x2arctan 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b) 内可导，则( )（A）当 f(a).f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b
2、) ，使 f()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)4 设 f(x)= ，则 f(x)在点 x=1 处的( )（A）左、右导数都存在（B）左导数存在，但右导数不存在（C）左导数不存在，但右导数存在（D）左、右导数都不存在5 设函数 f(x)在(-，+)上连续，则 df(x)dx 等于( )（A）f(x)（B） f(x)dx（C） f(x)+C（D）f (x)dx6 设函数 ，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有( )7 设 n 阶方程 A=(a1，a 2，a n)，B=( 1， 2， ， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组()：a 1，a 2
3、，a n()： 1， 2， n，()： 1， 2， n，如果向量组()线性相关，则 ( )（A）向量组() 与()都线性相关（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()中至少有一个线性相关8 设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式A=0，则 A( )（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合二、填空题9 设 ，其中 f 可导，且 f(0)0，则 dy/dx t=0=_10 函数 y=x+2cosx 在 上的最大值为_11 设函数 z=z(x，y)由方程 F(x-az，y-bz
4、)=0 所给出，其中 F(u，v)任意可微，则=_12 =_13 y=2x 的麦克劳林公式中 xn 项的系数是_14 设 ，已知 Aa 与 a 线性相关，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求16 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在 (0，3)，使 f()=017 设18 已知连续函数 f(x)满足条件 f(x)=19 假设曲线 1：y=1-x 2(0x1)与 x 轴，y 轴所围成区域被曲线 2：y=ax 2 分为面积相等的两部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值20 设函
5、数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且()验证 f(u)+f(u)/u=0；()若 f(1)=0，f (1)=1，求函数 f(u)的表达式21 设二元函数 f(x，y)= D=(x，y)x+y2 22 设矩阵 A 与 B 相似，其中 ()求 x 与 y 的值；()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B23 设矩阵 ()已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；()求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵考研数学（数学二）模拟试卷 283 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 利用等价无穷小的代换求得 f(x) 由于 x0
6、时，1-cos1/2x 2，所以令 f(x)=x2，则 f(x)符合原题设条件，而 f(x)在 x=0 处可导 f(0)=0，取极小值则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)2 【正确答案】 B【试题解析】 因 故 y=/4 是曲线的水平渐近线，又 故 x=0 是曲线的垂直渐近线故应选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在(a ，b) 内可导， (a，b)则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故 所以应选(B)4 【正确答案】 B【试题解析】 由左、右导数的定义知所以 f_(1)=2，但 f+(1)不存在故应选(B)5 【正确答案】 B【试题解析】 因 ，故应选(B)6
7、【正确答案】 B【试题解析】 由题设可得7 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组()线性相关，所以矩阵 AB 不可逆，即AB= AB=0因此A、B中至少有一个为 0，即 A 与 B 中至少有一个不可逆，亦即向量组()与() 中至少有一个线性相关，所以选(D)8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查A=0 的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D) 都是充分不必要条件以 3 阶矩阵为例，若 A= ，条件(A)、(B)均不成立，但A=0若 A= ，则A=0，但第 3 列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确 这样，用排除法可知应选 (C)二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 10
8、 【正确答案】 【试题解析】 先求出0，/2内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值因为 y=1-2sinx，令 y=0，得0，/2 内的驻点 x=/6又 y(0)=2，11 【正确答案】 1【试题解析】 因 故12 【正确答案】 /12【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由题设，根据麦克劳林公式，x n 的系数为14 【正确答案】 -1【试题解析】 ，由于 Aa 与 a 线性相关，则存在数k0 使 Aa=ka，即 a=ka，2a+3=k ，3a+4=k 三式同时成立 解此关于 a，k 的方程组可得 a=-1，k=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1
9、5 【正确答案】 16 【正确答案】 由题设，f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上也必然连续，则在0， 2 上 f(x)必有最大值 M 和最小值 m，因而 mf(0)M，mf(2)M，从而由连续函数的介值定理，知存在一点 0，2，使由已知条件 f(0)+f(2)=3，可推知 f()=1，因此 f()=f(3)=1，0，2 由罗尔定理，知存在 (，3) 0，3)，使 f()=0证毕17 【正确答案】 由参数方程求导法知18 【正确答案】 方程 f(x)=03xf(t/3)dt+e2x。两边对 x 求导得 f(x)=3f(x)+2e2x，即 f(x)-3f(x)=2e2x，令 x=0，
10、由原方程得 f(0)=1 于是，原问题就转化为求微分方程f(x)-3f(x)=2e2x 满足初始条件 f(0)=1 的特解 由一阶线性微分方程的通解公式，得代入初始条件f(0)=1，得 C=3，从而 f(x)=3e3x-2e2x19 【正确答案】 如图， 由 ，得曲线 1 与曲线 2 的交点为 ，所求平面图形面积为20 【正确答案】 () 用复合函数求导法验证，令 ，则()因为 f(u)+ =0(已证)，所以uf(u)+f(u)=0，即uf (u)=0， 积分得 uf(u)=C1，由 f(1)=1 C1=1，于是 f(u)=1/u，再积分得 f(u)=lnu+C2 由 f(1)=0C2=0，所
11、以 f(u)=lnu21 【正确答案】 设区域 D1=(x，y)x+y1，D2=(x，y) 1x+ y2 则22 【正确答案】 (I)因为 AB，故其特征多项式相同，即 E-A=E-B， (+2)2-(x+1)+(x-2)=(+1)(-2)(-y)，令 =0，得 2(x-2)=2y，即 y=x-2，令=1，得 y=-2，从而 x=0()由()知 对应于 A 和 B 的共同的特征值-1、2、-2 的特征向量分别为 1=(0，2，-1)T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，-1) T，则可逆矩阵 ，满足 P-1AP=B23 【正确答案】 () 因为E-A = =(2-1)2-(y+2)+2y-1=0当 =3 时，代入上式解得 y=2于是 A= (II)由 AT=A，得(AP)T(AP)=pTA2P，而矩阵 A2= 考虑二次型xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x34=x12+x22+ 令y1=x1， y2=x2，y 3=x3+(4/5)x4，y 4=x4，得 取 P=，则有(AP) T(AP)=
