1、考研数学（数学二）模拟试卷 293 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 g(x)= 则 gf(x)=( )2 设 f(x)在(-，+) 内有定义，且 ，则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关3 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f (b)0，则下列结论中错误的是( )（A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得(x 0)f(b)（C）至
2、少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=04 二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的下面 4 条性质： () 连续；()两个偏导数连续；()可微；()两个偏导数存在，则 ( )5 设函数 f(x)连续，则 =( )（A）xf(x 2)（B） -xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）-2xf(x 2)6 设 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，则 F(x)+f(x)在区间(a，6)内( )（A）可导（B）连续（C）存在原函数（D）是初等函数7 设 a1，a 2，a 3 是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解
3、向量，且秩 r(A)=3，a 1=(1，2，3，4) T，a 2+a3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x=( )8 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题9 =_10 设 y=sinx， 0x/2，t 为_时，图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和 S 最小?11 设 f(x)有连续的导数，f(0)=0 且 f(0)=b，若函数 F(x)= 在x=0 处连续，则常数 A=_12 曲线 在 t=2 处的切线方程为 _13 x3
4、ex2dx_14 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4xqx2+4x1x3+4x2x3 经正交变换*=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 a1=2，a n+1=1/2(an+ 1/an)(n=1，2，) ，证明 存在，并求出数列的极限16 求函数 I(x)= 在区间e，e 2上的最大值17 求极限18 试证明函数 f(x)= 在区间(0，+)内单调增加19 设曲线三位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且上，经过点(3/2
5、，3/2)，求 L 的方程20 设 y=sinf(x)2，其中 f 具有二阶导数，求21 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需要定仪器的下沉深度)，(从海平面算起与下沉速度 v 之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉。在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为后(k0)，试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)22 已知线性方程组 ()a，b 为何值时，方程组有解? ()方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系； ()方程组有解时，求出方程组的全部
6、解23 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3，矩阵 A 的属于特征值 1、2 的特征向量分别是 a1=(-1，-1，1) T，a 2=(1，-2，-1) T ()求 A 的属于特征值 3 的特征向量；()求矩阵 A考研数学（数学二）模拟试卷 293 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由已知 gf(x)= 由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=-x；由 f(x)0，知 x0 且 f(x)=x2；从而 gf(x)= 选(D) 2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查连续性及间断点的定义由题设，如果 a=0，则
7、g(x)在 x=0 连续；如果 a0，则 g(x)在 x=0 不连续且 x=0 为第一类间断点，所以选(D) 3 【正确答案】 D【试题解析】 由已知，f (a)0，则 ，从而存在 10，当x(a，a+ 1)时，f(x)f(a)；f (b)0，则 ，从而 20，当x(b-2，b)时，f(x)f(b)至此可知(A)、(B) 正确又由已知 f(x)在a，b 上连续，及 f(a)0，f (b)0，则由连续函数的介值定理，知存在一点 x0(a，b)，使得f(x0)=0，故(C)也正确关于(D)，若令a ，b=-1，1，f(x)=2-x 2，则 f(x)=-2x 且f(-1)=20 及 f(1)=-20
8、，但 f(x)0，所以(D)错误选(D)4 【正确答案】 A【试题解析】 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续，则 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，则 f(x，y)在点 (x0，y 0)处连续，所以() ()()，故(A)为答案5 【正确答案】 A【试题解析】 因 d/dx 0xtf(t2)dt=xf(x2)，故选(A) 6 【正确答案】 C【试题解析】 因 F(x)是 f(x)在区间(a，b)内的一个原函数，故 F(x)=f(x)， 因此F(x)在区间a，b内连续，于是 F(x)在区间a，b内存在原函数， 因此 F(x)+f
9、(x)在区间(a ，b)内存在原函数，选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3， 因此 Ax=0 的基础解系中只含一个解向量，由于已知 Aa1=b，Aa 2=b，Aa 3=b， 从而 A(2a1)-A(a2+a3)=2b-2b=0，则 A(2a1-a2-a3)=0， 即 2a1-a2-a3=(2，3，4，5) 1 是 Ax=0 的解，且(2，3， 4，5) 10，因而可作为 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 ，所以选(C)8 【正确答案】 B【试题解析】 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则一定有 n 个线性无关的特征向量，
10、从而必相似于对角矩阵，但反之不成立因此 n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的充分而非必要条件故应选 (B)二、填空题9 【正确答案】 5/24【试题解析】 原式= 故原式5/2410 【正确答案】 /4【试题解析】 11 【正确答案】 b+a【试题解析】 由于 F(x)在 x=0 连续，故 A=F(0)=12 【正确答案】 0【试题解析】 按照参数方程求导得切线斜率，代入点斜式即得切线方程当 t=2时，x 0=5，y 0=8，且 可知过曲线 上对应于 t=2 处的切线斜率为 3，切点为点(5，8) 因此切线方程为 y-8=3(x-5)，即 3x-y-7=013 【正
11、确答案】 【试题解析】 被积函数为幂函数与指数函数的乘积，因此采用分部积分法，将幂函数看作 u14 【正确答案】 2【试题解析】 因为二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值，又因为a ii=i，所以a+a+a=6+0+0=a=2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为所以a nn=1单调减少，而 an0，即a nn=1是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， 存在设 ，解得 A=116 【正确答案】 知 I(x)在区间e， e2上单调增加，故在 x=e2 处取得最大值，其
12、最大值为17 【正确答案】 原式=18 【正确答案】 由 f(x)=exln(1+1/x)，有 f(x)= 只需证明，对于任意 x(0，+)，方括号中的值大于 0记 ，则对于任意 x(0，+)，有 故函数 g(x)在(0，+)上单调减少，由于 可见，对于任意 x(0，+)，有 g(x)=从而 f(x)0，x(0 ，+)，于是，函数 f(x)在(0，+)上单调增加19 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y (X-x) 令 X=0，则Y=y-xy，故 A 点的坐标为(0，y-xy )，由MA=OA，得y-xy =则所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y=
13、20 【正确答案】 dy/dx=cosf(x 2)f(x2)*2x=2xf(x2)cosf(x2)， d 2/dx2=2f(x2)cosf(x2)+4x2f(x2)cosf(x2)-4x2f(x2)2sinf(x2)21 【正确答案】 由题设，建立坐标系，取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴竖直向下为正，由已知仪器重力为 mg，浮力为-B，阻力为-kV= 根据牛顿第二定律，=mg-B-kV (1) ，此为可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分得由初始条件可求出 所以22 【正确答案】 () 考虑方程组的增广矩阵因此，当 b-3a=0 且 2-2a=0 即 a=1，且 b=3 时，方程组的系数矩
14、阵与增广矩阵的秩相等，故 a=1，b=3 时，方程组有解() 当 a=1，b=3，有因此，原方程组的同解方程组为 得导出组的基础解系为()令 x3=x4=x5=0，得原方程组的特解于是原方程组的全部解为 ，其中 c1、c 2、c 3 为任意常数23 【正确答案】 () 由题设，实对称矩阵 A 的三个特征值不同，则相应的特征向量彼此正交，设 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a3=(x1，x 2，x 3)T，则 a1Ta3=0 且a2Ta3=0，写成线性方程组的形式为 ，其中C 为任意非零常数，所以 A 的属于特征值 3 的特征向量为 a3=C(1，0，1) T()由于实对称阵必可对角化，即存在可逆矩阵 P，使 P-1AP= 且由前述可令因此 先求出 P-1= 则 A=
