1、考研数学（数学二）模拟试卷 301 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知当 x0 时 f(x)=tanx 一 ln(1+sinx)与 kxn 是等价无穷小量，则（A）（B）（C）（D）2 设函数 则 x=0 是 f(x)的（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）连续点3 设函数 f(x)在(一，+)上连续，且分别在(一 ， 0)与(0，+)上二次可导，其导函数f (x)的图像如图(1)所示，则 f(x)在(一 ，+)有 6（A）一个极大值点与两个拐点（B）一个极小值点与两个拐点（C）一个极大值点，一个极小值点与两个拐点（D）一个极大
2、值点，一个极小值点与三个拐点4 反常积分（A）收敛，且取值为零（B）收敛，且取正值（C）发散（D）收敛，且取负值5 设 ，则 f(x)在0 ，+)上（A）既有最大值，也有最小值（B）无最大值，但有最小值（C）有最大值，但无最小值（D）既无最大值，也无最小值6 设函数 f(u)具有连续导数，且方程 x 一 z=yf(z2 一 x2)确定隐函数 z=z(x，y)，则（A）x（B） y（C）一 x（D）一 y7 设 A 是 mn 矩阵，且方程组 Ax=b 有解，则（A）当与 Ax=b 有唯一解时，必有 m=n（B）当 Ax=b 有唯一解时，必有 r(A)=n（C）当 Ax=b 有无穷多解时，必有 m
3、0 时，有于是 不存在 发散原积分发散，故应选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 求导数分析其单调性，由于即又 的增减性如右图，因此 f(x)在0，+)有最大值 ，无最小值故应选 C6 【正确答案】 A【试题解析】 记 u=z2 一 x2，利用一阶全微分形式不变性，将方程两端求全微分得dx 一 dz=f(u)dy+yf(u)du=f(u)dy+yf(u)d(z2 一 x2)=f(u)dy+2yf(u)(zdz 一 xdx)，解出dz，得 从而故应选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 方程组 Ax=b 有唯一解 的列数，所以 B 正确注意方程组有唯一解不要求方程的个数 m 和未知数的个数 n
4、 必须相等，可以有mn例如 方程组 Ax=b 有无穷多解 的列数当方程组有无穷多解时，不要求方程的个数必须少于未知数的个数，也不必求秩r(A)必小于方程的个数，例如8 【正确答案】 C【试题解析】 AA A 有 n 个线性尢关的特征向量记 C 项的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而 那么 nr(EC)=32=1说明齐次线性方程组(EC)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1只有一个线性无关的特征向量，所以C 不能对角化故选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 当 x0时，由 知 是“1 ”型未定式，故 当 x=0 时，应用定积分定义求极限，有 于是10 【正确
5、答案】 【试题解析】 x 轴上方的星形线表达式为11 【正确答案】 【试题解析】 先分解 由归纳法，有于是12 【正确答案】 (一，一 3)【试题解析】 本题主要考查曲线凹凸性的概念以及利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸性不难求得 于是当x(一，一 3)时 y0由此可见曲线的凸区间是(一，一 3)13 【正确答案】 【试题解析】 设累次积分 对应的二重积分为 则积分区域 如图令 x=rcos，y=rsin ，在极坐标系(r， )中，y=x 的极坐标方程是 的极坐标方程是 x=2 的极坐标方程是 从而积分区域 故114 【正确答案】 27【试题解析】 由 可知矩阵 B 的特征值为2，3，一 2又由
6、矩阵 AB 知矩阵 A 的特征值亦为 2，3，一2故A=2.3.(一 2)=一 12那么，A *的特征值为 6，一 6，一 4，从而 A*+3E的特征值为 9，一 3，一 1于是A *+3E=9.(一 3).(一 1)=27三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用拼接法当 x 当x0 时 现令 其中 C0 满足因此其中 C 是一个任意常数16 【正确答案】 其中 C 是一个任意常数17 【正确答案】 在0，上连续，故一定存在原函数由于在 无定义，上述()中实质上只是分别求得 的原函数令 当 x0， 时 F(x)就是 f(x)在0，上的一个原函数由() 知当 时
7、当 时求极限即得 当 时综合即得18 【正确答案】 即证 f(x)g(x) 存(a，b)为常数由f(x)g(x)在(a，b)为常数，即 常数C，使19 【正确答案】 只需证 f(x)=0 若类似于凹函数性质，有当 f(x0)0 时, 当 f(x0)，均与 f(x)0(x(一 ，+)矛盾因此 f(x)=0( x)，即 f(x)为常数( x)20 【正确答案】 (I)假定杆 AB 与质点 C 的位置如图所示，根据对称性，引力 F 是沿 y 轴负方向的由于杆 AB 的线密度为 Ml ，于是，位于x， x+dx上微元的质量即为 ，它与质点 c 的引力在 y 轴方向的分力为因此，引力的大小为其中 k 为
8、引力常数21 【正确答案】 根据(I)中的计算，当质点 C 位于坐标 y 处时，引力的大小为于是所求功为22 【正确答案】 对 u=f(xy)求偏导有 由条件tf (t)+f(t)=(2t2+1)et2这是二阶线性方程，可降阶的直接改写成 (tf(t)=(2t2+1)et2积分得再积分得因此求得23 【正确答案】 作极坐标变换化二重积分为定积分令 x=reos，y=rsin，则D：002， 0r1于是24 【正确答案】 利用单调性证明不等式令 则 f(x)在0，+)内有二阶连续导数，且 因 sinx0)f (x)0(x0)f (x)在0 ，+) 单调上升，f (x)f(0)=0(x0)f(x)
9、在0，+)单调上升，f(x)f(0)=0(x0)，即25 【正确答案】 由题(I)，估计 转化为估计定积分 再利用 sinx 的不等式(题()的不等式及 sinx0)来估计这个定积分由令 x=r3 且两边乘以 r 上式两边在0 ，1 上积分得 又因此26 【正确答案】 设 t 时刻容器中溶液的含盐量为 x=x(t)，依题意 t 时刻容器中的溶液量为 100+(32)tt 时刻容器中溶液的浓度为 因此在t，t+ t时间间隔内，容器中溶液的含盐量改变量=流入溶液的含盐量一流出溶液的含盐量，即当t0 时，得到 (变量分离法求得)又由题设条件当 t=0 时， x=10(kg)，由此确定 C=105，故
10、有27 【正确答案】 不妨设 g(x)0(x(a，b)，g(x) 在 a，b连续g(x)一 g(a)0 考察(柯西中值公式，其中 (a，x)(*)28 【正确答案】 由 g(x)0(0( 在(a，b)单调增加 因此由(*)式即 在(a，b)单调增加29 【正确答案】 由 A1=1，A 2=22，A 3=33，且 1,2,3 非零可知， 1,2,3 是A 的不同特征值的特征向量，故 1,2,3 线性无关又A=1+22+33，A 2=1+42+93，若 k1+k2Aa+k3A2=0，即 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，则(k 1+k2+k3)1+(k1+2k
11、2+4k3)2+(k1+3k2+9k3)3=0由 1,2,3 线性无关，得齐次线性方程组 因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为 0，所以必有 k1=k2=k3=0，即 ，A，A 2 线性无关30 【正确答案】 因为 A3=1+82+273=6 一 11A+6A2，所以AP=A(，A，A 2)=(A，A 2，6 一 11A+6A2) 故31 【正确答案】 由 知，矩阵 B 的列向量是齐次方程组 Ax=0的解向量记 则 A1=0=01，A 2=0=02由此可知 =0 是矩阵A 的特征值(至少是二重) ， 1， 2 是 =0 的线性无关的特征向量根据 i=aii，有 0+0+3=1+4+1，故知矩
12、阵 A 有特征值 =6 因此，矩阵 A 的特征值是0，0，6设 A=6 的特征向量为 3=(x1,x2,x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 对 1， 2 正交化，令 1=(1，0，1) T，则 再对 1， 2， 3 单位化，得那么经坐标变换 x=Qy，即二次型化为标准形 xTAx=yTAy=6y3232 【正确答案】 因为 AA，有 A 一 3EA 一 3E，进而(A 一 3E)6(A 一 3E)6又 A 一 3E= 所以由 Q-1AQ=A 得 Q-1(A 一 3E)6Q=(A 一 3E)6=36E于是(A 一 3E)6=Q(A3E)6Q-1=Q(36E)Q-1=36E
