1、考研数学（数学二）模拟试卷 312 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设x n)与y n)均无界，z n有界，则( )（A）x n+yn)必无界（B） xnyn)必无界（C） xn+zn)必无界（D）x nzn)必无界2 设 其中 xy，且 xy0又设 则 x=0 为 f(x)的( )（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）无穷间断点3 f(x)在 x=a 处可导是 f(x)在 x=a 处可导的( )（A）充分条件但非必要条件（B）必要条件但非充分条件（C）既不充分又非必要条件（D）充分必要条件4 设常数 a0， 则( )（A）当 0（B）
2、当 00 时为正，当 0在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距记为 u，求16 (I)求 在区间0 ，+)上的最大值；()证明当 0x17 已知抛物线 y=ax2+bx+c，在其上的点 P(1，2)的曲率圆的方程为求常数 a，b，c 的值18 设 f(x)在 一 ，上连续，且有 ，求 f(x)19 设 f(x，y)=maxx ，y) ，D=(x，y)10x1 ，0y1求20 求z在约束条件 下的最大值与最小值20 设 f(x)在( 一，+)上存在二阶导数，f (0)(0)=a，f (x)0证明：21 无论 a0，a0 与M10，对一切 n，x 1
3、+znM 与 znM 1由不等式x n=x n+zn 一znx n+zn+ z nM+M 1从而x n有界，与题设矛盾故应选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时， 所以 x=0 为的无穷间断点3 【正确答案】 C【试题解析】 举例说明既不充分又非必要，例如设 f(x)=1 在x=a 处可导，但 f(x)在 x=a 处不连续，不可导，又如，设 f(x)=x-a,在 x=a 处 f(x)可导，f (x)=1但 f(x)= x-a在 x=a 处形成尖点，f(x)在 x=a 处不可导4 【正确答案】 C【试题解析】 f (x)=ax 一 1，f (x)=2ax，当 0 为闭区间 内部的唯
4、一驻点，又因 f(x)0，故 为极小值，也是最小值在两端点处，现在要比较 与 0 的大小，可见，当 时，, 为最大值；当 时， 故 f(0)=0 为最大值，所以 A，B 都小正确当 a1 时，驻点不在闭区间 的内部，故在 内f(x)是严格单渊减少的，所以 为最小值，选 C5 【正确答案】 C【试题解析】 由于区域 D 关于 x 与 y 轮换对称，故 于是，再注意到 f(y)=一 e-y为 y 的奇函数，故 故应选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 将 B 改写为 C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y1)+(y3 一 y2)，因为 y1，y 2，y 3 均是 y+p(x)y+q(x)y=
5、f(x)的解，所以 y1-y3，y 2 一 y1 是 y+p(x)y+q(x,y)=0 的解，并且y1-y3 y2 一 y1 线性无关，事实上，若它们线性相关，则存在 k1 与 k2 不全为零，使得 k1(y1 一 y3)+k2(y2 一 y1)=0，即一 k1y+k3，y 2+(k1-k2)y1=0由于题设 y1，y 2，y 3线性无关，故 k1=0，k 2=0，k 1k 2=0，与 k1，k 2 不全为零矛盾于是推知 C1(y3一 y3)+C2(y2 一 y1)为对应的齐次方程的通解，而 y3 一 y2 也是对应齐次方程的一个解，它包含于 C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中，所以
6、C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y1)+(y3 一 y2)，即 B 也是该非齐方程对应的齐次方程的通解故应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 Ax0 的基础解系为 1， 2，若 i 是 Ax=0 的解向量 i 可由 1， 2线性表出 非齐次线性方程组 1x1+2x2=i 有解逐个 i 判别较麻烦，合在一起作初等行变换判别较方便 显然因 r(1， 2)=，r( 1， 2， 3)=2， 1x1+2x2=3 有解，故 3 是 Ax=0 的解向量，故应选 C而r(1， 2)=2r(1， 2，a i)=3，i=1，2，4故 1， 2， 4 不是 Ax=0 的解向量8 【正确答案】 C【试题解
7、析】 1， 2 是 A 的对应于 1=0 的线性无关的特征向量， 3 是 A 的对应于2=1 的特征向量，且注意下列概念： A 的同一个特征值对应的特征向量，如=0， 1， 2 是特征向量，则 k11+k22 为非零向量时，仍是 A 的特征向量若是=1 对应的特征向量，则 k3 仍是 =1 的特征向量，k 为非零任意常数 对不同特征值 12，则对应的特征向量之和，如 1+3， 2 一 3 等不再是 A 的特征向量 P 中的特征向量排列次序应与对角阵中 的排列次序一致由上述三条知应选三条因 C 中， 1+2，一 2 仍是 =0 的特征向量，2 2 仍是 =1 的特征向量且与对角阵中特征值的排列次
8、序一致，故应选 CA 中 1+3 不是特征向量，D 中 2 一 3 不是特征向量，B 中 3， 1 对应的特征值的排列次序不一致，故都是错误的二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 此为可降价的 y=f(x，y )型令 y=p，y =P，有10 【正确答案】 【试题解析】 曲率半径11 【正确答案】 【试题解析】 令 于是 所以 f(x)=Cex，由 f(0)=a 得 f(x)=aex于是解得 a=0(舍去)， 所以12 【正确答案】 e【试题解析】 所以应填 e【 注】注意归并一些因式，并化简13 【正确答案】 【试题解析】 的奇函数，故14 【正确答案】 =11【试题解析】 因 abc=
9、一 6，故 又=60，故， r(A)=2，r(A *)=1故 A*有特征值三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 f(0)=0 及 f(0)0，故当 x0 时，f (x)0过点(x,f(x)(x0)的切线方程为 Yf(x)=f (z)(X-x)令 Y=0 得截距 从而16 【正确答案】 (I) 令 f(x)=0 得 (不在区间0，+)内) 易知 为 f(x)的极大值因在0，+)内，f(x)有唯一驻点 x2 是极大值点,故 f(x2)为 f(x)在区间0，+) 内的最大值，最大值为 (II)令 (x)=arctan3xln(1+4x)，0x+(0)=0，由(I
10、)知，当 0x+ 时， 且仅在 x=x2 时等号成立，并且 ,所以 (x)0 且仅当 x=x2 时等号成立所以当 0x+时 (x)0 且仅当 x=0 时成立等号，证毕，本题还有多种解法17 【正确答案】 曲线 L：y=ax 2+bx+c 经过点 P(1， 2)，从而 2=a+b+c曲率圆在点 P 处的切线的斜率为 与 L 在此点的切线斜率相等，故 y p=(2ax+b) p=2a+b=1又 L 在点 P 处曲率应与曲率圆的曲率相等，即 所以18 【正确答案】 由于 存在，并记为 A，即 A 于是由条件，有 由于 从而有 作积分变量变换 x=x 一 t，当 x=0 时，t=x；当 x= 时，t=
11、0于是所以从而19 【正确答案】 如图所示， 将 D 划分成三块：D1D2D3，20 【正确答案】 z 的最大值点、最小值点，分别 z2 的最大值点、最小值点一致，用格朗日乘数法，作 F(x，y， ，)=z 2+(x2+9y2 一 2z2)+(x+3y+3z-5)则解之得两组解：所以当 时,z=1 最小，当 x=一 5 z =5 最大21 【正确答案】 若 f(x)有三个或三个以卜零点则由罗尔定理知 f(x)至少有两个零点，对 f(x)再用罗尔定理知，f (x)至少有一个零点与题设 f(x)无零点矛盾所以 f(x)至多有两个零点12 下证 f(x)至少有一个零点设 f(0)=a0，由泰勒公式：
12、 当 x0 时，取 有f(x)0 由介值定理知，在区间(0 ，+)上 f(x)至少有一个零点又因当 x0 时 f(x)f (0)0,故在区间(0，+) 上至多有一个零点，故有仅有一个零点。设 f(0)=a0，类似可证往区间(一 ，0)上有且仅有一个零点设 f(0)=a=0,由连续函数保号性及 f(x)，格单增知存在 0，当 x(0,时,f(x)0)且f ()0在点 x= 处用泰勒公式，有取 ，有 f(x)0由介值定理知，在区间(，一)上,f(x)至少有一个零点又当 x0 时，f(0)f (0)=0故在区间(0，+)上多至多有一个零点，故有一个零点,同理可证，此时在区间(一,0)上也有且仅有一个
13、零点总之，不论，f (0)=a(0 或=0)f(x)，f(x)在(，+)上至少有一个零点(I)证毕22 【正确答案】 有两种解法 法一 由()已证，在区间(一，0)或(0，+)上有仅有一个零点，所以共有两个零点，则必反号。 法二 用反证法，设 f(x)有两个零点x1 与 x2，它们同号，不妨没 0x 1x 2；在区间 x1,x2 上分别用拉格朗日中值定理，有 f(x1)一 f(0)=f(1)x1(*)f(x 2)一 f(x1)=f(2)(x2、x 1)(*)Fj(*) 式有，f (1)0由(*)式有 f(1)=0，得 f(2)f (2)但 1 2，f (x)0 矛盾,所以 x1 与 x2 必反
14、号23 【正确答案】 将 1,2,3 1， 2， 3作初等行变换，有向量组故应取a=1，b=2c=一 2当 a=1,b=2,c=一 2 时，故 1， 2， 31， 2， 3)，从而有 1,2,3 1， 2， 3求 1 由 1,2,3 线性表出的表出式，即解方程组 得通解为 k一 1，一 1，1+1，0，0 T 即 1=(一k+1)1+k2+k3 其中 k 是任意常数求 1 由 1， 2， 3 线性表出的表出式，即解方程组 得通解为 l一 4，1，2 T+1,0，0 T，即 1=(一 41+1)1+l2+2l3，其中 l 是任意常数24 【正确答案】 由特征方程，得当 A 的特征值为1=2， 2=一 2(三重根)当 1=2 时，(2E-A)x=0，即(每行元素之和为 0)，得 (只有一个线性无关特征向量)当 2=一 2 时，(一 2E-A)x=0，即回解放程为 x1+x2+x3+x4=0 对应特征向量(取正交特征向量)为 2=1,一 1，0,0 T， 3=1，1，一 2，0 T， 4=1，1，1，一 3T当有解考2 后，求 1 寸 3 与考 2 正交，且又满足方程，当有解 2， 3，求 4 时，令 4 和2， 3 正交，且满足方程25 【正确答案】 将 1， 2， 3， 1 单位化，合并成正交阵得则
