1、考研数学（数学二）模拟试卷 320 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 设 A 是 3 阶矩阵，其特征值为 1，一 1，一 2，则下列矩阵中属于可逆矩阵的是（A）A+E（B） AE（C） A+2E（D）2A+E5 设 ，则存在函数 u=u(x)，使( )（A）I 1=I2+x（B） I1=I2-x（C） I2=-I1（D）I 2=I16 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，则( )（A）(A *)*=A n-1A（B） (A*)*=A n+1A（C） (A*)*=A n-2A（D）(A *)*=A n+2A7
2、(1999 年试题，二) 设 则当 x0 时，(x)是 (x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小（D）等价无穷小8 下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是 二、填空题9 若 a1，a 2，a 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1=m，a 1，a 2， 2，a 3=n ，则 4 阶行列式a 1，a 2，a 3， 1+2=10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a，b 和 的值16
3、 17 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程17 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕，轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)(注：m 表示长度单位米， min 表示时间单位分 )18 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；19 求曲
4、线 x=(y)的方程.20 设数列x n满足 0x 1 ，x n1 sinx n(n1，2 ，)(1) 证明 存在，并求该极限；(2)计算21 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)0，f(x ，1)0，其中 D(x，y)0x1，0y1，计算二重积分22 求下列不定积分：23 证明：(1)可导的偶函数的导数是奇函数；(2)可导的奇函数的导数是偶函数；(3)可导的周期函数的导数是具有相同周期的周期函数24 设 X 与 Y 独立，证明：对任意实数 x1，x 2，y 1，y 2(x12；y 12)，事件x 12与事件y12独立考研数学（数学二）模拟试卷 320 答案与解析一、选
5、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 故 A 可逆 A 的特征值不为 0由 A 的特征值为1，一 1，一 2，可知 2A+E 的特征值为 3，一 1，一 3所以 2A+E 可逆故选D5 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)6 【正确答案】 C【试题解析】 涉及伴随矩阵 A*，首先联想到公式 AA*=A*A=AE 由题设，矩阵 A 非奇异，故 A 可逆，所以由公式 AA*=A*A=AE 可得 A*=A A -1， 于是(A *)*=
6、( A n-1A)*=AA -1f(AA -1)-1=A nA -11/ A (A-1) -1= A n-2A，故应选 (C)7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设， 因此当x0 时，(x) 是 (x)的同阶但不等价无穷小，选 C评注考查无穷小量的比较及极限的计算【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 n-m【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 3【试题解析】 11 【正确答案】 45【试题解析】 12 【正确答案】 2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
7、演算步骤。15 【正确答案】 a 2， b1，1 或 a2，b2，4【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量16 【正确答案】 17 【正确答案】 根据题意，由面积与弧长的计算公式得将上式两边对 求导，得，此为可分离变量方程，从而 ，此式两边积分，得 即-arcsin(1/r)+C=由已知 r(0)=2，代入上式得 C=/6，故曲线 L 的方程为 ，由于 rcos=x，rsin=y，于是所求直线为【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 设在时刻 t 液面的高度为 y，则南题设知此时液面的面积为 2(y)=4+t，从而 t=2(y)-4【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 【知识模块】 常
8、微分方程20 【正确答案】 (1)因为 0x 1 ，则 0x 2sinx 11 可推得0x n1 sinx n1 ，n1，2，则数列x n有界 于是 (因为当 x0 时，sinxx)，则有 xn1 x n，可见数列x n单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在 设，在 xn1 1sinx n 两边令 n ，得 sin，解得 0，即(2)因 ，由(1)知该极限为“1 ”型，令 tx n，则 n，t0，而又故【试题解析】 题设数列由递推公式给出，一般利用单调有界数列必有极限的准则来证明数【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 用分部积分法交换积分次序再用分部积分法所以【试题
9、解析】 分析 把二重积分化为二次积分，用分部积分法评注注意在计算二次积分的过程中对分部积分法及已知条件的应用【知识模块】 重积分22 【正确答案】 23 【正确答案】 证明：(1)设 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)两边同时对 x 求导数f(x)(1)f(x)，得 f(x)f(x)f(x)为奇函数(2)设 f(x)为奇函数，则应满足 f(x)f(x)两边同时对 x 求导(1)f(x)f(x) ，得 f(x)f(x)f(x)为偶函数(3)设 f(x)是周期为 T 的周期函数，则 f(x+T)f(x)两边对 x 同时求导，得 f(xT) f(x)f(x)也是周期为 T 的函数24 【正确答案】 证明 由于 X 与 Y 独立，故(X，Y)的分布函数 F(x，y)=F X(x)FY(y)，其中 FX(x)，F T(y)分别为 X，Y 的边缘分布函数，注意到 Px 12，y 12 =F(x2，y 2) - F(x1，y 2) - F【知识模块】 综合
