1、考研数学（数学二）模拟试卷 321 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，（1-cosx ）ln（1+x 2）是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比 ex2-1高阶的无穷小，则正整数 n=_.（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 ，则在 xa 处（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0 （B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值 （D）f(x)的导数不存在 3 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程在开区间(a，b) 内的根有（A）0 个 （B） 1 个 （C） 2 个 （D）3 个4
2、设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1 AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT （C） P（D）(P -1 )T5 6 7 8 二、填空题9 10 11 12 设 则 =_。13 14 (2003 年试题，一) 设三阶方阵 A*B 满足 A2B 一 AB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 则B=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3；是线性无关的三维列向量，且满足 A1=1， 2， 3；， A 2=22+3， A 3=22+
3、3315 求矩阵 B，使得 A(1， 2， 3；)=( 1， 2， 3)B；16 求矩阵 A 的特征值；17 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵18 19 20 21 22 ()设有 145 它的反函数是 y=y(x)，求 y=y(x)的拐点23 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb ，证明：24 25 用拉格朗日乘数法计算下列各题： (1)欲围一个面积为 60m2 的矩形场地，正面所用材料每米造价 10 元，其余三面每米造价 5 元求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少? (2)用 a 元购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料
4、费为底面单位面积材料费的 12 倍，求水池长与宽(深)各为多少时，才能使容积最大 (3)设生产某种产品的数量与所用两种原料 A、B 的数量 x，y 间有关系式 P(x，y)0005x 2y欲用 150 元购料，已知 A、B 原料的单价分别为 1元、2 元，问购进两种原料各多少，可使生产的数量最多?考研数学（数学二）模拟试卷 321 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5
5、 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 1/2【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 -1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 由题设所给方程 A2B 一 AB=E，得(A 2 一 e)B=A+E，即(A+E)(AE)B=A+E 又由已知 则 且A 一 E20，于是 B=(A 一 E)-1(A+E)-1(A+E)=(A 一 E)-1，因此【试题解析】 考查了矩阵的运算和行列式的计算，
6、这类题一般用方程的思想来解决，要先化简再计算【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量15 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量16 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，矩阵 C=(1， 2， 3)可逆，所以 C-1AC=B，即 A 与 B 相似由【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量17 【正确答案】 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 由变限积分求导法得 ，又由反函数求导法得 ，再由复合函数求导法得 方法 1。在定义域中考察 y=y(x)：即 再求只有拐点(0，0)方法 2。由 其中，x定义域同样得到只有(0，0) 是拐点23 【正确答案】 因为积分区域关于直线 yx 对称，24 【正确答案】 25 【正确答案】 解(1)设场地的长和宽分别为 x 和 y，则总造价 f(x，y)10x5x10y15x10y 且 g(x，y)xy 600 构造拉格朗日函数 F(x，y)f(x，y)g(x，y) ，则 F(x，y)15x10yxy60F x15y ，F y10x
