1、考研数学（数学二）模拟试卷 359 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 6 等于（A） 12ln2xdx（B） 212lnxdx（C） 212ln(1x)dx（D） 12ln2(1x)dx7 设函数 f(x)在 x0 处可导，且 f(0)0，则（A）2f(0) （B） f(0) （C） f(0) （D）08 （A） （B） （C） （D） 二、填空题9 设 yf(lnx)e f(x)，其中 f 可微，则 dy_10 设区域 D 为 x2y 2R2，则 _。11 12 13 14 函数 f(u， v)由
2、关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S ( )问 p 和 q 何值时，S 达到最大值? ()求出此最大值18 19 证明：当 0a b 时，bsinb 2cosb basina2cosaa20 (2007 年试题，24) 设三阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，又1=(1，一 1， 1)T 是 A 的属于 1 的一个特征
3、向量记 B=A2 一 4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵 (I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B21 22 23 考研数学（数学二）模拟试卷 359 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 分析 将原极限变形，使其对应一函数在一区间上的积分和式作变换后求解详解故应选(B)评注 此题是将无穷和式的极限化为定积分
4、的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换，才能化为四选项之一【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 分析 利用导数的定义，属基本题型详解故应选(B) 评注 导数的定义一直是历年考试的重点内容【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 ；【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【知识模块】 重积分11 【正确答案】 a 0【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 南已知关系式 fxg(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有 f u*g(y)=1
5、， (1) fuug(y)2=0 (2) 由已知 g(y)0，所以 fuu=0，在(1)式两边对 y 求一次偏导，有 f u*g(y)+fuu*x*g(y)+fuv*1g(y)=0? 将 fuu=0 代入上式，得 fu*g(y)+fuv*g(y)=0，从而三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由题设，抛物线与直线的位置关系如图所示抛物线 Y=pxx+qx 与 x 轴的交点为(0，0)及 面积又知抛物线与直线相切，因此二者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知 px2+(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0，即=(q+
6、1) 2+20p=0，可解得 p=-(1/20)(1+q)2由此，则当 0q3 时，S (q)0；当 q3 时，S 2(q)0， 所以 q=3 时，S(g)取极大值，也即最大值，此时，p=-(4/5)，S max=225/3218 【正确答案】 19 【正确答案】 令 f(x)xsinx2cosxx ，则 f(x)在0，上连续，在(0，)内f(x)xcosxsinx，f“(x)xsinx0于是，对 x(0，)，有 f(x)f()0，故 f(x)在a，b上单调增加，所以，对于0ab 有 f(b)f(a)，即bsinb2cosbbasina2cosa【试题解析】 转化为函数不等式进行证明【知识模块
7、】 一元函数微分学20 【正确答案】 (I)容易验证 A1n1=1n1(n=1，2，)，于是 B1=(A5 一 4A3+B)1=(15 一 413+1)1=一 21 于是一 2 是矩阵 B 的特征值，k 11 是 B 属于特征值一 2的全部特征向量(k 1R，非零 )同理可求得矩阵 B 的另外两个特征值 1，1因 A为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵曰属于不同特征值的特征向量正交设 B 的属于 1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则有方程 x1 一 x2+x3=0 于是求得 B的属于 1 的全部特征向量为 =k22+k33，其中 2=(一 1，0，1) T， 3=(1，1，0)T， k2，k 3R，不全为零()令矩阵 P=(1， 2， 3)= 则 P-1BP=diag(一 2，1，1)，于是【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量21 【正确答案】 22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 其余各行都减去第一行，得：【知识模块】 综合
