1、考研数学（数学二）模拟试卷 387 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）1（B）（C）（D）一 12 设 f(x)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得（A）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0+)是凹的（B）曲线 y=f(x)在(x 0，x 0+)是凸的（C）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0单调减少，而在x 0，x 0+)单调增加（D）曲线 y=f(x)在(x 0 一 ，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少3 设方程 的全部解均以 为周期，则常数 a 取值为（A）1（B）一 1 （C）（D）4 下列反常积分中
2、收敛的是（A） （B） （C） （D） 5 设 D 是以点 A(1，1) ，B(一 1，1)，C(一 1，一 1)为顶点的三角形区域，则（A）2（B） 5（C） 8（D）66 下列二元函数在点(0，0)处可微的是（A）（B）（C）（D）7 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 ABC=E，则下列等式中不正确的是（A）A TBTATCT=E（B） BAC=CAB（C） BA2C=E（D）ACAB=CABA8 设 1,2,3,4 都是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（A）如果 4 不能用 1,2,3 线性表示，则 1,2,3 线性相关（B）如果 1,2,3 线性相关， 2,3,4 线性相关
3、，则 1,2,4 线性相关（C）如果 3 不能用 1， 2 线性表示， 4 不能用 2， 3 线性表示，则 1 能用2,3,4 线性表示（D） 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 能用1， 2， 3 线性表示二、填空题9 设 xa 时 (x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小，u0 时 f(u)是 u 的 m 阶无穷小，则 xa时 f(x)是 x 一 a 的_阶无穷小10 设 则 f(x)=_11 设 则 F(x)=_12 已知 则 x(x，y)=_13 设 =_14 已知 ，则 A 一 1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
4、 确定常数 a 与 b 的值，使得16 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出： (I)证明x=tlnt(t1，+) 存在连续的反函数 t=t(x)(x0，+)且该方程确定连续函数y=y(x)，x0，+)；( )求 y(x)的单调区间与极值点；()求 y(x)的凹凸区间及拐点17 从抛物线 y=x21 的任意一点 P(t，t 21)引抛物线 y=x2 的两条切线， (I) 求这两条切线的切线方程； () 证明该两条切线与抛物线 y=x2 所围面积为常数18 设函数 f(x)(x0)连续可微， f(0)=1，已知曲线 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线所围成的图形的
5、面积与曲线 y=f(x)在0，x 上的弧长值相等，求 f(x)19 (I)设 x=x(x，y)，y0 有连续的二阶偏导数且满足()求方程 的解20 求累次积分21 设 f(x)在a，b上有二阶导数，且 f(x)0(I)证明至少存在一点 (a，b)，使()对(I) 中的 (a，b)，求22 设 1=(1， 3，5，一 1)T， 2=(2，7，a，4) T， 3=(5，17，一 1，7) T 若1,2,3 线性相关，求 a 当 a=3 时，求与 1,2,3 都正交的非零向量 4 设 a=3， 4 是与 1,2,3 都正交的非零向量，证明 1,2,3,4 可表示任何一个 4 维向量23 已知三元二次
6、型 xTAx 的平方项系数都为 0，=(1，2，一 1)T 满足 A=2 求 xTAx 的表达式 求作正交变换 x=Qy，把 xTAx 化为标准二次型考研数学（数学二）模拟试卷 387 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 这是一个 型未定式，使用洛必达法则，有故选B2 【正确答案】 C【试题解析】 由极限的不等式性质，当 x(x0，x 0+8)且 xx0 时, 当 x(x0，x 0)时，f(x)0；当 x(x0，x 0+)时，f(x) 0又 f(x)在 x=x0 连续f(x) 在(x 0，x 0单调增加，在x 0， x0+)
7、单调减少故应选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 一阶线性齐次方程 的全部解为它们均以 为周期 a+sin2t以 为周期，则应选 D4 【正确答案】 B【试题解析】 这四个反常积分中有两个收敛，两个发散找出其中两个收敛的5 【正确答案】 C【试题解析】 D 如图所示，连 OB 将 D 分成 D=D1D2，D 1，D 2 分别关于 x，6 【正确答案】 B【试题解析】 本题中的这 4 个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0 ，则因此，B 中的 f(c，y) 在点 (0，0)处可微故应选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B，C 都可逆，因此 BA2C=E=AB
8、AC=BA=AB如果A，B 乘积不可交换 C 就不成立由 ABAC=E 可推出 CABA=E，两边转置得(A)ATBTATCT=E由 ABAC=E 可推出 A-1=BAC 和 A 一 1=CAB，得(B)BAC=CAB由 ABAC=E 可推出 ACAB=E，CABA=E，得(D)ACAB=CABA8 【正确答案】 B【试题解析】 只要 2， 3 线性相关，就有 1， 2， 3 和 2， 3， 4 都线性相关，但推不出 1， 2， 4 线性相关例如 1=(1，0，0) ， 2=3=(0，1，0)，4=(0，0，1)说明 A，C 的正确都可根据同一事实：如果 3 个 3 维向量线性无关，则任何 3
9、 维向量都可以用它们线性表示A 是其逆否命题 C： 2 是非零向量， 3不能用 2 线性表示(因为 3 不能用 1， 2 线性表示)，则 2， 3 线性无关而 4 不能用 2， 3 线性表示， 2， 3， 4 线性无关D：r( 1， 2， 3)=r(1， 1+2， 2+3) =r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(4， 1,2,3)，因此 4 能用1,2,3 线性表示二、填空题9 【正确答案】 mn【试题解析】 由于 因此应填 mn10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 A 是二重积分的一个累
10、次积分，可写为14 【正确答案】 【试题解析】 于是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是求一 型极限，先转化为求 型极限16 【正确答案】 先证明 x=tint 单调，必 反函数，于是 确定 y=y(x)，再用参数求导法求出 然后确定函数的单调性与凹凸性区间等(I)因为 xt=(tint)=1+lnt0(t1)x t=1=0， 在1，+)单调上升，值域是 反函数，记为 t=t(x)，它在 0，+)连续，t(x)1(单调连续函数的反函数连续)再由连续复合函数的连续性 在0，+)连续即该参数方程确定连续函数 y=y(x)(x0，+)因此 y(x)的单调增区间为
11、0，e，单调减区间为e，+) ，极大值点 x=e()17 【正确答案】 (I) 抛物线 y=x2 在点(x 0，x 02)处的切线方程为 y=x02+2x0(x 一 x0)，即 y=2x0x 一 x02若它通过点 P，则 t21=2x0t 一 x02，即 x02 一 2x0t+t21=0，解得 x0 的两个解 t1=t 一 1，t 2=t+1 从而求得从抛物线 y=x21 的任意一点P(t，t 21)引抛物线 y=x2 的两条切线的方程是 L1=y=2x1x 一 xt2；L 2：y=2x 2x 一x22( ) 这两条切线与抛物线 y=x2 所围图形的面积为 S(t)=x11x2 一(2x 1x
12、 一 x12)dx+1x2x2 一(2x 2x 一 x22)dx，下证 S(t)为常数18 【正确答案】 由题设知所围成图形的面积为 因而 将上式两边对 x 求导数，得又 f(0)=1，从而所求函数 f(x)满足19 【正确答案】 20 【正确答案】 将累次积分表为二重积分21 【正确答案】 分子、分母同除 ba 得22 【正确答案】 1,2,3 线性相关，则 r(1,2,3)3得 a=一 3 与1,2,3 都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解，解此方程组： 解得 4=c(19，一6，0，1) T，c0 只用证明 1,2,3,4 线性无关，此时对任何 4 维向量 ，有1,2,3,4， 线性相
13、关，从而 可以用 1,2,3,4 线性表示由 知，a=3 时，1,2,3 线性无关，只用证明 4 不能用 1,2,3 线性表示.用反证法，如果 4 能用1,2,3 线性表示，设 4=c11+c22+c33，则( 4， 4)=(4，c 11+c22+c33)=c1(4， 1)+c2(4， 2)+c3(4， 3)=0，得 4=0，与 4 是非零向量矛盾23 【正确答案】 得 2a一 b=2，a 一 c=4，b+2c= 一 2，解出 a=b=2，c=一 2此二次型为 4x1x2+4x1x34x2x3 先求 A 特征值 于是 A 的特征值就是 2，2，一 4再求单位正交特征向量组属于 2 的特征向量是
14、(A 一 2E)x=0 的非零解 得(A 一 2E)x=0 的同解方程组：x 1一 x2 一 x3=0显然 1=(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2=(1，一 1，c) T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1， 2再把它们单位化：记172 属于一 4 的特征向量是(A+4E)x=0的非零解求出 3=(1，一 1，1) T 是一个解，单位化：记则 1， 2， 3 是 A 的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一 4作正交矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 Q 一 1AQ 是对角矩阵，对角线上的元素为 2，2，一 4作正交变换 X=Qy，它把 f(x1， x2，x 3)化为 2y12+2y22 一 4y32
