1、考研数学（数学二）模拟试卷 398 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且当 x0 时，f(x)与 xm 为同阶无穷小又设x0 时，F(x)= f(t)dt 与 xk 为同阶无穷小，其中 m 与 n 为正整数则 k= ( )（A）mn+n （B） 2n+m（C） m+n（D）mn+n 12 dx= ( )（A）0（B） （C） 1（D） 3 设 ex2 是 f(x)的一个原函数，下述两个反常积分()= x4f(x)dx，( )= x3f(x)dx，正确的结论是 ( )（A）()= 3 ，( )=3 （B） ()=
2、3 ，()=3 （C） ()=3 ，()=3 （D）()=3 ，( )=3 4 设 f(x)在 x=0 处存在 2 阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f(0)0则= ( )（A）（B）（C）（D）5 设 f(x)= 下述命题成立的是 ( )（A）f(x)在1，1上存在原函数（B）存在 g(0)（C） g(x)在1，1上存在原函数（D）F(x)= f(t)dt 在 x=0 处可导6 设 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 F( ，yz)=0 所确定又设题中出现的分母不为零，则 = ( )（A）0（B） z（C） （D）17 设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A2=A
3、，且 AE，则必有 ( )（A）r(A)=1（B） r(AE)=2（C） r(A)1r(AE) 2=0 （D）r(A)1r(AE) 1=0 8 设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，且 AB，则 A 1 B 1 ； A TB T； A* B*； ABBA 其中正确的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题9 设 exsin2x 为某 n 阶常系数线性齐次微分方程的一个解，则该方程的阶数 n 至少是_，该方程为_10 设常数 a 0，由方程组 确定的满足 y(a)=a，z(a)=a 的函数组y=y(x)，z=z(x)的 y(a)=_，z(a)=_ 11 =_12 dy=_13 微分
4、方程 yy+y2=yy满足初始条件 y x=0=1，y x=0= 的特解是_14 设 n 维(n3)向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组l2 1，m 32 2， 13 3 要线性相关，m，l 应满足条件 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 过第一象限中椭圆 =1 上的点(，)作该椭圆的切线，使该切线与两坐标轴的正向围成的三角形的面积为最小，求点(，)的坐标及该三角形的面积16 设 f(x)在区间1，1上存在二阶连续导数， f(0)=0，设 un= ，求un17 ( )叙述并证明费马 (Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件)；()叙述并证明极值的第一充分
5、条件，举例说明此充分条件并非必要条件18 设 f(x)在区间(，+)上连续且满足 f(x)= tf(4xt)dt3 tf(t)dt+e2x，求f(x)19 ()证明 dx0；() 设 是满足 0 的常数，证明dxsin.ln20 设积分区域 D=(x，y)0xy2)，计算二重积分 I= sin(yx)d 21 设 0x1，证明：(1+ 422 设 0=(1，1，1，1) T 是线性方程组的一个解向量，试求()方程组(*)的全部解； ()方程组满足 x2=x3 的全部解23 设 =(1， 2，3，4) T，=(3，2，1，1) T，A= T ()求 A 的特征值，特征向量； () 问 A 能否相
6、似于对角矩阵，说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 398 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，f(x)与 xm 为同阶无穷小，从而知存在常数 A0，当 x0时，f(x)Ax m，从而，f(x n)Ax nm于是由题意可知，上式为不等于零的常数，故 k=nm+n2 【正确答案】 B【试题解析】 设 f(x)= 由于当 x0 时， enx=0，f(x)=x ；当 x=0 时，f(x)= ；当 x0 时，f(x)= =1 所以故应选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知 f(x)=(ex2 )=2xe x2
7、 ，f(x)=2e x2 +4x2ex2 故选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 先作积分变量代换，令 xt=u，则由二阶导数定义， 所以 原式=5 【正确答案】 C【试题解析】 g(x) 在1，1 上连续，故存在原函数 (A)不正确f(x)在点 x=0 处具有跳跃间断点函数在某点具有跳跃间断点，那么在包含此点的区间上，该函数必不存在原函数 (B)不正确按定义容易知道 g(0)不存在 (D)不正确可以具体计算出 F(x)，容易看出 F (0)=0，F +(0)=1，故 F(0)不存在6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 3 阶非零矩阵，则 A0，r(A
8、)1 AE ，A E0r(AE)1， 因 A2=A，即 A(AE)=0，得 r(A)+r(AE)3，且 1r(A)2，1r(AE)2 故矩阵 A 和 AE 的秩 r(A)和 r(AE)或者都是 1，或者一个是 1，另一个是 2(不会是 3，也不会是 0，也不可能两个都是 2故两个中至少有一个的秩为 1) 故(A)、(B)、(C)均是错误的，应选 (D)8 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB，有A=B，且存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B， (*) (*)式两边求逆得 P 1 A1 P=B1 ， (*) 从而 A1 B 1 (成立) (*)式两边转置，得 PTAT(P1 )T=BT，记(
9、P 1 )T=Q，P T=Q1 ，即 Q1 ATQ=BT 从而 ATB T(成立) (*)式两边乘A， P1 AA 1 P=P1 A*P=BB 1 =B*，从而A*B *(成立 ) 因 A 可逆，故 BA=EBA=A1 ABA=A1 (AB)A，即ABBA(成立) 故应选 (D)二、填空题9 【正确答案】 3； 3y+7y 5y=0【试题解析】 由于 e xsin2x= excos2x，所以方程至少有 3 个特征根：1，1+2i，12i特征方程为 (r1)r(1+2i)r (12i)=0，即 r33r 2+7r5=0微分方程为 3y+7y5y=010 【正确答案】 1；0【试题解析】 方程两边
10、对 x 求导，得 yz+xyz+xyz=0 及 x+yy=az将(x，y，z)=(a，a，a)代入得y(a)+z(a)=1，y(a)z(a)=1解得 y(a)=1，z(a)=011 【正确答案】 -1【试题解析】 12 【正确答案】 2【试题解析】 积分区域如图所示，并用极坐标，得13 【正确答案】 y=【试题解析】 此为缺 x 的可降阶二阶方程令 p=y，y= ，方程yy+y2=yy化为 yp +p2=yp，分解成 p=0 与 y =0 不满足初始条件解第二个方程，此为 p 关于 y 的一阶线性方程，变形为 p=1，解得 由初始条件 y x=0=1，y x=0=dx，解得 lny= x+C2
11、再将 y x=0=1 代入，得 C2=0故解得 y= 14 【正确答案】 lm=6【试题解析】 (l 2 1，m 32 2， 13 3)=(1， 2， 3)(1， 2， 3)C 1， 2， 3 线性无关 r(1， 2， 3)=3 l2 1，m 32 2， 13 3 线性相关 r(l2 1，m 32 2， 13 3)2lm=6三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由隐函数微分法知，过椭圆上点(，)处的切线斜率为 y=切线方程为 y= (x)两坐标轴上的截距分别为 X=三角形面积为 求 A 的最小值，等价于求 在条件下的最大值由拉格朗日乘数法，作 F(， ，)=+(
12、 1) ，令 解得时，此三角形面积最小，最小值 A=ab16 【正确答案】 将 f(x)在 x=0 处按带有拉格朗日余项的泰勒公式展开至 n=1，有f(x)=f(0)x+ f()x2 而又由于 f(x)在1，1上连续，故存在 M0，对一切 x1，1，有f(x)M于是所以17 【正确答案】 () 费马定理：设 f(x)在 x=x0 处可导，并且 f(x0)为 f(x)的极值，则必有 f(x0)=0证明：设 f(x)在 x=x0 处可导，故存在 x=x0 的某邻域 U(x0)，f(x)在U(x0)内有定义又设 f(x0)为 f(x)的极值(不妨认为 f(x0)为 f(x)的极大值)，故知又存在 x
13、=x0 的一个去心邻域 U(x0)，有 f(x)f(x 0)，x (x0)从而令 xx 0 取极限，因 f(x)在 x=x0 处可导，即=f(x0) (存在)所以由于 f(x0)存在，f(x 0)=f+(x0)，所以 f(x0)=0，证毕( )第一充分条件：设 f(x)在点 x0 处连续，在 (x0)内可导(1)若在 x0 的左侧邻域内 f(x)0，右侧邻域内 f(x)0，则 f(x0)为极大值(2)若在 x0 的左侧邻域内f(x)0，右侧邻域内 f(x)0，则 f(x0)为极小值证明：只证(1)情形，(2)情形是类似的设 x (x0)且 xx 0，由拉格朗日中值定理，f(x)f(x 0)=f
14、(1)(xx 0)0，x 1x 0若 x (x0)且 xx 0，则有 f(x) f(x 0)=f(2)(xx 0)0，x 2x 0所以当 x (x0)时，有 f(x)f(x 0)0，从而知 f(x0)为 f(x)的一个极大值举例说明定理的条件是充分而非必要的例：取易见，存在 x=0 的去心邻域 6(0)时，f(x)f(0)，故 x=0 是 f(x)的极小值点但当 x0 时，f(x)=2x(1+sin 无论取(0)多么小，当 x0 时，f(x) 的第一项趋于 0，而第二项 cos 在1 与 1 之间振荡，所以 f(x)并不保持确定的符号，并不满足充分条件，f(0)仍可以是极值18 【正确答案】
15、由 f(x)= tf(t)dt+e2x，有 f(0)=1对第一个积分作变量代换 4xt=u，有 f(x)=4 f(u)du+2e2x，f(0)=2 ，f(x)4f(x)=4e 2x，此为二阶常系数线性非齐次微分方程，按常规方法解之，得通解：f(x)=C 1e2x+C2e2x +xe2x再由初始条件 f(0)=1，f(0)=2 得特解： f(x)= e2x +xe2x19 【正确答案】 ()()由()有20 【正确答案】 由于被积函数为sin(yx)，因此要分D 为 D1D2，其中 D1=(x，y)yx2，(x，y)D，D2=(x，y) 0y x，(x，y) D，仅当 yx=(x，y)D) 时
16、D1 与 D2 有公共边，不影响积分的值21 【正确答案】 等价于证明当 0x1 时， F(x)=xln(1+ ln(1+x)2ln20经计算，F(1)=0，从而知，当0x1 时，(x)0，即有 F(x)0因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0又因 F(1)=0，所以当 0x1 时，F(x)0证毕22 【正确答案】 () 将 0 代入方程组，得+=0，即 =，代入增广矩阵，并作初等行变换， 当 2 时，r(A)=r(A b)=3Ax=0 有基础解系 =(2，1，1，2) T，Ax=b 有特解=(1，0，0，1) T，Ax=b 的通解为 k+=k(2，1，1，2) T+(1，0，0，1
17、) T =(2k1，k，k，2k+1) T，其中 k 是任意常数当 =2 时，r(A)=r(A b)=2Ax=0 有基础解系 1=(4，1，0，2) T， 2=(2，0，1，0) T，Ax=b 有特解=(1，0，0，1) T，Ax=b 的通解为 k 11+k22+=k1(4，1，0，2)T+k2(2，0，1，0)+(1 ，0，0，1) T =(4k 12k 21，k 1，k 2，2k 1+1)T，其中k1，k 2 是任意常数() 当 2 时，由 x2=x3，有 k=k，得 k=0故满足 x2=x3 的全部解为(1，0，0，1) T当 =2 时，由 x2=x3，有 k1=k2故满足 x2=x3 的全部解为(6k 11，k 1，k 1，2k 1+1)T，其中 k1 是任意常数23 【正确答案】 ()故 A 有特征值 =0(四重根)当 =0 时，有(EA)x=0 ，即 Ax=0，Ax=0 的同解方程为3x12x 2x 3+x4=0解得对应的特征向量为 1=(2，3，0，0) T， 2=(1，0，3，0)T， 3=(1，0，0，3) TA 的对应于 =0 的全体特征向量为 k11+k22+k33，其中k1，k 2，k 3 为不同时为零的任意常数()因 r(A)=r(T)r()=1(0)，AO，故r(A)=1因此 =0 为四重根时，线性无关的特征向量只有三个，故 A 不能相似于对角阵
