1、考研数学（数学二）模拟试卷 402 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x时， 的( )（A）等价无穷小（B）较低阶无穷小（C）较高阶无穷小（D）同阶但不等价的无穷小2 若函数 f(x)的导函数是 lnx，则f(x)dx 等于( )（A）（B）（C） xlnxlnx+c（D）xlnxlnx+cx3 下列反常积分发散的是( )（A）（B）（C）（D）4 设 f(x，y)为区域 D 内的函数，则下列命题中不正确的是( )（A）若在 D 内，有 ，则 f(x，y) 常数（B）若在 D 内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为 0，则 f(x，y)常数
2、（C）若在 D 内有 df(x，y)0，则 f(x，y)常数（D）若在 D 内有 则 f(x，y) 常数5 在极坐标系内将 75 的积分次序交换正确的是( )（A）（B）（C）（D）6 设 y=f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)0，令y=f(x+x)f(x)，当x0 时，有( )（A）ydy0（B） ydy0（C） dyy0（D）dyy07 设 A 为 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 为 n 阶单位矩阵， AT 为 A 的转置) ，A0，则A+E=( )（A）1（B）一 1（C） 2（D）08 下列叙述正确的是( ) （A）若两个向量组的秩相等，则此两个向量组等价（B）若向量组 1,
3、2 s 可由向量组 12 t 线性表示，则必有 st（C）若齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 同解，则矩阵 A 与 B 的行向量组等价（D）若向量组 1,2 s 与 2， s 均线性相关，则 1 必不可由 2,3 s线性表示二、填空题9 (arcosx)2dx=_10 设 则 f(x)=_11 设 f(x)为可导的以 4 为周期的周期函数，且 则曲线 y=f(x)在点(-4，0)处的法线方程为_12 已知 =_.13 已知 的值等于_14 设 ,B 为三阶非零矩阵，且满足，BA=0，则当 满足_时，B 的秩恰为 1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设 可导，试
4、求 a，b17 证明：当 x0时， 其中 n 为自然数18 设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，) 为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M0、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程19 设函数 f(x)在0，1上连续且非负，证明：在 (0，1) 内存在一点 ，使 f()=1f(x)dx20 证明：方程 3ax2+2bx 一(a+b)=0 在区间(0，1)内至少有一个根21 设 f(x)在a，b上有二阶导数，又 f(A)=f(B)=0，且 f(A)f(B)0证明：至少存在一点 (a，b) ，使得
5、f()=0；又至少存在一点 (a，b)，使得 f()=022 取何值时，方程组 无解、有唯一解或无穷多解? 并在有无穷多解时写出其通解23 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，且 A 的 n 个特征值两两互异若 A 的特征向量恒为B 的特征向量，则 AB=BA考研数学（数学二）模拟试卷 402 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 用分部积分法求之3 【正确答案】 B【试题解析】 A 中反常积分有两个瑕点，要将该积分分解为两个积分讨论：以上 3 个反常积分均收敛因而 B 中反常积分发散仅 B 入选
6、4 【正确答案】 D【试题解析】 在极坐标变换 X=rcox，y=rsiN 下，有这仅能表示 f(x，y)与 r 无关，不能说明 f(x，y)为常数但 f(x，y)在 D 上不恒为常数，因此仅 D 入选5 【正确答案】 C【试题解析】 ，因此仅 C 入选6 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x) 0 及 f(x)0 可知，函数 y=f(x)的图形为单调上升且是凸的值得注意的是当x 0 时，由图可知 y0，且 dy=f(x)x0，由图易看出y1dy，故ydy0，仅 A 入选7 【正确答案】 D【试题解析】 A+E = A+AA T=A(E+A T)=A(A+E)T=AA+E ，则 (1 一A
7、)A+E =0又A0，故 1一A0，所以A+E=0仅 D 入选8 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法解之对于 A，例如 则 1 的秩与 1 的秩相等，但并不等价，可排除 A；又如 可由线性表示，但 32，可排除 B；又如则 1,2,3,4 与 2,3,4 均线性相关，且 1 可由 2,3,4 线性表示，可以排除 D只有 C 为正确答案，仅 C 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 在式两边同乘 cosx，再在0 ，上积分得到11 【正确答案】 因 f(x)为可导的以 4 为周期的周期函数，则 f(x)也是以 4 为周期的可导函数，即 f(一 4)=f(0)而 故 f(一 4)
8、=3，所以法线方程为12 【正确答案】 13 【正确答案】 由分部积分公式得14 【正确答案】 由题设知秩(B)1，又由 BA=0 知，秩 (A)+秩(B)3，即秩(B)3一秩(A)当 一 2 时，秩(A)=2 ，于是有秩(B)321，从而秩(B)=1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 令16 【正确答案】 易求得17 【正确答案】 令 f(x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt，则有 f(x)=(x 一 x2)sin2x=x(1 一 x)sin2nx当 0x1 时，f(x) 0，f(x) 严格单调增加当 x1 时，f(x)0(除去x=k(k=1，2，)，
9、f(x)严格单调递减因此 x=1 为 f(x)的极大值点，且 f(1)是 x0时 f(x)的最大值这说明，只要证明18 【正确答案】 由已知条件得故所求曲线 L 的方程为6 干 =arcsin(1r)， sin(Tr6 干 )=sinarcsin(1r)，19 【正确答案】 由题设知，显然 F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 F(0)=0，F(1)=0 ，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的诸条件由该定理知，存在一点(0， 1)，使 F()=0，即20 【正确答案】 设 f(x)=ax2+bx2 一(a+b)x， 于是 f(x)=3ax 2+2bx 一(a+b) 显然 f(x)在
10、0， 1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0 根据罗尔定理知，在(0，1)内至少存在一点 ，使 f()=0，即方程 3ax 2+2bx 一(a+b)=0 在(0，1)内至少有一个根21 【正确答案】 由 f(A)f(B)0，不妨设 f(A)0，且 f(B)0由导数定义知因此存在 10，使得当 x(a，a+ 1)时，有因为 xa，故有 f(x)f(A) ， 即 f(x)0， x (a，a+ 1)又由于故存在 20，使得当 x(b 一 2，b)时，有因为 xb，所以 f(x)f(B) ，即 f(x)0，x (b2，v)取 1， 2充分小，使 a+1b 一 2再取两点 x1(a，
11、a+ 1)，x 2(b 一 2，b)，考虑区间x1，x 2显然 f(x)在x 1，x 2上连续，且 f(x1)0， f(x2)0因此由连续函数介值定理知，至少存在一点 (x1，x 2)，从而 (a，b)，使得 f()=0再由 f(A)=f()=f(B)及罗尔定理知，至少存在 1(a，)和 2(，b) ，使得 f(1)=f(2)=0又在区间 1， 2上应用罗尔定理，便知至少存在 (1， 2)c(a，b)，使得 f()=022 【正确答案】 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换：于是，当时，原方程组无解，因 当 1且 时，原方程组有唯一解，因 当 =1时，原方程组有无穷多解，因用初等行变换将 进一步化成含有最高阶单位矩阵的矩阵：由特解及基础解系的简便求法得到其特解为 =1，一 1，0 T，基础解系为 =0，1，1 T，因此，其通解为 x=k+，k 为任意常数23 【正确答案】 证设 X1，X 2，X n 是 A 的分别属于其不同特征值1， 2， n 的特征向量，则 X1，X 2，X n 线性无关，且 AXi=iXi，令P=X1，X 2， ，X n，则 AP=AX 1，AX 2，AX n=1X1， 2X2， nXn由题设，可令BXi=iXi(i=1，2，n)，则因 P 可逆，故由 BAP=ABP 得 BAP 一 1=ABPP 一 1，即 AB=BA
