1、考研数学（数学二）模拟试卷 405 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x 一 1)=x2+ax+，且 则 a=( )（A）一(+1)（B） 0（C） （D）取值不唯一2 若 在(一，+) 上连续，且 则( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k03 若 ，则在 x=0 处连续的函数 f(x)( )（A）导数存在，且 f(0)0（B）导数不存在（C）取得极小值（D）取得极大值4 设 其中 f(x)在 x=0 处连续，且 f(0)=0若 F(x)在 x=0 处连续，则 k 等于( ) （A）（B） 0（C）（D）5 设无
2、穷长直线 L 的线密度为 1，引力常数为 k，则 L 对距直线距离为 a 的单位质点 P 沿 y 轴方向的引力大小为( )（A）（B）（C）（D）6 设矩形域 D：0x ，0y，则二重积分 为( )（A）（B）（C）（D）7 设 n 阶方阵 A，B，C ， D 满足关系式 ABCD=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则必有( )（A）ACBD=E（B） BDCA=E（C） CDAB=E（D）DCAR=E8 已知 则秩(AE)+秩(A 一 3E)=( )（A）7（B） 6（C） 5（D）4二、填空题9 =_.10 设 则 f(n)(x)=_.11 设 =_.12 设函数 =_.13 设 z=f(
3、u，v)有二阶连续偏导数，且 f11+f22=1，则函数 f(x2 一 y2，2xy)在x2+y2=1 上满足 =_.14 设 ，则 A 一 1=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)具有二阶导数，且满足 f(x)+f(x)=sinx， f(2)=0，求 f(x)16 试求曲线 115 的拐点，并证明：不论常数 a 取异于零的何数值，这些拐点总是在一条直线上17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，其中 0a b试证：至少存在一点(a， b)，使得18 求曲线 r=asin2(a 为常数)在 ，处的切线方程和法线方程19 一个比重为 1，半径
4、为 R 的球体沉入水中，它与水平面相接，要从水中把球捞出，需做多少功?20 已知 01f(ux)du=2+x 一 2f(x) (x0)，且 f(x)是连续函数，求 f(x)21 设曲线 y=ax2(a0，x0)与 y1x 2 交于 A 点；过坐标原点 0 与点 A 的直线与曲线 y=ax2 围成一平面图形问 a 为何值时，该图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?22 在方程组 中 a1+a2=b1+b2，证明该方程组有解，并求出其通解22 已知 A 是三阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的三维列向量，满足23 求矩阵 A 的特征值；24 求矩阵 A 的特征向量；25 求矩阵
5、 A*一 6E 的秩考研数学（数学二）模拟试卷 405 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 令 x 一 1=t，则 f(t)=(t+1)2+a(x+1)+，即 f(x)=(x+1) 2+a(x+1)+由知，必有 所以f(0)=0，即 1+a+=0，故 a=一(+1)仅 A 入选2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(x)在(一 ，+) 上连续，当然 f(x)在(一 ，+) 上有定义，为此f(x)的分母不能为 0如果 0，而 e-kx0，因而一 ekx0则可能使 f(x)的分母为 0，从而使 f(x)出现无定义的点，故必有
6、0又为保证 x一 时，有必有 k0故仅 D 入选3 【正确答案】 C【试题解析】 由 又 f(x)在 x=0 处连续，故知，存在 x=0 的某空心邻域，在此邻域内有，即 f(x)0=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处取极小值仅 C 入选4 【正确答案】 B【试题解析】 根据连续的定义，有5 【正确答案】 A【试题解析】 取 L 为 x 轴，y 轴过 P 点，如右图所示在 L 上任取一小段x，x+dx ，它对点 P 的引力沿 y 轴方向分量为 其中所以 于是 L 对质点 P 沿 y 轴方向的引力仅 A 入选6 【正确答案】 D【试题解析】 仅 D 入选7 【正确答案】 C【试题解析】 由 A
7、BCD=E 知，AB.CD=CD.AB=E 仅 C 入选8 【正确答案】 B【试题解析】 由 及 AB 知，B 的特征值为 0，3(重根) 与一 2，且它们也是 A 的特征值又因 B 是实对称，必可对角化，因此 A 可对角化，那么 A 对于 =3必有两个线性无关的特征向量，即方程组(3EA)X=0 的一个基础体系只含 2 个解向量由 4 一秩(3EA)=2 得到秩(3EA)=n 一 242=2又因 =1不是 A 的特征值，即EA 0，故秩(EA)=4于是秩(AE)+秩(A 一 3E)=4+2=6 仅 B 入选二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答案】 首先将 xn 的形
8、式改写为积和式的标准形式：12 【正确答案】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 在已知等式两端对 x 求导，得到 f(x)一 f(x)=cosx令u=x，即 x= 一 u，上述方程化为 f( 一 u)一 f(u)=cos( 一 u)=一 cosu，即 f(x)一 f(x)=一 cosx 又 f(x)+f( x)=sinx， 由式一式得到一 f(x)一 f(x)=一 cosxsinx，即 f(x)+f(x)=cosx+sinx 易求得方程对应的齐次方程的通解为 c1cosx+c2sinx；的一个特解为 故方程的通解为由
9、f(2)=0 且 f(x)+f(x)=sinx 易求得 f( 2)=1，代入求得 于是16 【正确答案】 令 y=0，即 2(xa)(x2+4ax+a2)=0，从而得 将 x1，x 2，x 3 分别代入 ，得 对拐点的判断如下：由上表可知拐点分别为可求得过 B，C点的直线的斜率为 且由点斜式可求得过 B，C点的直线方程为 将 代入直线方程，两端相等，可见 A 也在 B，C 的直线上，即三个拐点 A，B ，C 在同一条直线上17 【正确答案】 在待证等式两端除以 ab，待证中值等式化为对其在a，b上使用拉格朗日中值定理易验证 F(x)在区间a，b 上连续，在(a，b)内可导满足拉格朗日中值定理的
10、条件于是由该定理知，存在 (a，b)使得18 【正确答案】 将极坐标方程化为参数方程：19 【正确答案】 取水面为 x 轴，如右图建立坐标系，球与 xOy 平面的交线为x2+(yR)2=R2将球从水中取出，球中介于y，y+dy的小薄片总的行程为 2R，其中在水中行程为 y，由于球与水的比重一样，在水中重力与浮力的合力为零，故做功为零，其余行程为 2Ry，由重力 x2dy 做功，即 dA=(2Ry)x2dy因 x 2=R2一(y R)2，故20 【正确答案】 令 ux=t(x0)，则 于是原方程化为即 0xf(t)dt 一 2x+x22xf(x)两边对 x 求导，得 f(x)=2+2x 一 2f
11、(x)一 2xf(x)，即 此为一阶线性微分方程，其通解21 【正确答案】 当 x0 时，由 y=ax2，y=1 一 x2 求得其交点坐标则直线 OA 的方程为 所求旋转体体积为得唯一驻点 a=4由驻点的唯一性知，此旋转体在 a=4 时取最大值，其最大体积为22 【正确答案】 由易看出 ，故所给方程组有解，且有无穷多组解下求其通解为此用初等行变换将 化为含最高阶单位矩阵的矩阵，从而即可写出其特解和基础解系： 则该方程组的一特解为 =b1 一 a2，b 2，a 2，0 T，且对应齐次方程组的基础解系为a=1，一 1，一 1，1 T因此，该方程组的通解为 X=ka+=k1，一 1，一 1，1T+b
12、1 一 a2，b 2，a 2，0 T，其中 k 为任意常数23 【正确答案】 据已知条件，有 A1,2,3=一1 323 3，4 1+42+3，2 1+33 那么由1,2,3 线性无关知，矩阵 P1=1,2,3可逆，且 P1 一 1AP1=B，即 A 与 B 相似由矩阵 B 的特征多项式 得矩阵 B的特征值为 1，2，3，从而矩阵 A 的特征值也是 1，2，324 【正确答案】 由(E 一 B)x=0 得基础解系 1=1，1，1 T，即为矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量；由(2EB)x=0 得基础解系 2=2，3，3 T，即为矩阵 B 属于特征值 =2 的特征向量；由(3EB)x=0 得基础解系 3=1，3，4 T，即为矩阵 B 属于特征值 =3 的特征向量那么令 P2=1， 2， 3，则有 P2 一 1BP2= 于是令=1+2+3，2 1+32+33， 1+32+43，则有 P 一1AP=(P1P2)一 1A(P1P2)=P2 一 1(P1 一 1AP1)P2 故矩阵 A 属于特征值 1，2，3 的线性无关的特征向量依次为 k1(1+2+3)，k 2(21+32+33)，k3(1+32+43)，其中 k1，k 2，k 3025 【正确答案】 由 及A=6 知，从而所以秩(A *一 6E)=2
