1、考研数学（数学二）模拟试卷 414 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分收敛的是( )（A）（B）（C）（D）2 设 f()连续，且 2，则下列结论正确的是( )（A）f(1)是 f()的极大值（B） f(1)是 f()的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 yf() 的拐点（D）f(1)不是 f()的极值，但(1，f(1)是曲线 yf()的拐点3 设 f()在a，) 内二阶可导，f(a) A0，f(a) 0，f()0( a)，则 f()在a，) 内( ) （A）无根（B）有两个根（C）有无穷多个根（D）有且仅有一个根4 下列结论正确的是(
2、 ) （A）若 f()可导且单调增加，则 f()0（B）若 f()，g()皆可导且 f()g()，则 f()g()（C）若 f()，g()皆可导且 f()g()，则 f()g()（D）若 f()0，则 f()单调增加5 设 t0，则当 t0 时，f(t) 1cos( 2 y2)ddy 是 t 的 n 阶无穷小量，则n 为( )（A）2（B） 4（C） 6（D）86 设 y1()，y 2()是微分方程 yqy0 的解，则由 y1()，y 2()能构成方程通解的充分条件是( ) （A）y 1y2y 1y20（B） y1y2y 1y20（C） y1y2y 1y20（D）y 1y2y 1y207 设
3、A 为三阶矩阵， 为非齐次线性方程组 AX的解，则( )（A）当 t2 时，r(A)1（B）当 t2 时，r(A)2（C）当 t2 时，r(A)1（D）当 t2 时，r(A) 28 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)，B( 1， 2， ， n)，AB( 1， 2， n)，令向量组()： 1， 2， ， n；()： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组() 线性相关，则 ( )（A）向量组() 与向量组 () 都线性相关（B）向量组()线性相关（C）向量组()线性相关（D）向量组() 与()至少有一个线性相关二、填空题9 设 f()在( ，)内可导，且 f()e 2， f()f(
4、1)则 a_10 设 f(，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分_11 xyy 2 的通解为 _12 设 F( )0，且 F(u，v)连续可偏导，则 _13 _14 设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 12， 21， 32，A *是 A 的伴随矩阵，则 A11A 22A 33_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()可导，且 2，计算16 设函数 f()和 g()在区间a ，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)g(b)0，g()0，试证明存在 (a，b)使 017 设 ()用变换 t 2 将原方程化为 y关于 t 的微分方程； ()求原方程的通解18
5、设直线 yab 为曲线 yln(2)的切线，且 yab， 0，4 及曲线yln(2)围成的图形面积最小，求 a，b 的值19 求二重积分 2y 2 ddy，其中 D( ，y) 0y1 ，0120 设 yf(，t)，而 t 是由方程 G(，y，t)0 确定的 ，y 的函数，其中 f(，t)，G(，y，t)为可微函数，求 21 设厂(z)在1，) 上连续且可导，若曲线 yf() ，直线 1，t(t1)与 轴围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t) t2f(t)f(1)，且f(2) ，求函数 yf()的表达式22 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)r( )rn，其中 (A b)
6、()证明方程组AXb 有且仅有 nr1 个线性无关解； ()若有三个线性无关解，求 a，b 的值及方程组的通解23 设二次型 f(1， 2， 3)5 12a 223 322 126 136 23 的矩阵合同于 () 求常数 a 的值； ()用正交变换法化二次型 f(1， 2， 3)为标准形考研数学（数学二）模拟试卷 414 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 1 且 11 ，所以 发散 因为1 且 11，所以 发散； 对任意的 0，由 得 发散 故选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2，所以由极限的保号性，存
7、在 0，当01 时，有 0，即当 (1，1)时 f()0；当(1，1) 时，f() 0 根据极值的定义，f(1) 为 f()的极小值，选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 f()f(a)f(a)( a) (a) 2，其中 介于 a 与 之间 因为 f(a)A0， f() ，所以 f()在a，)上至少有一个根 由 f()0(a) f()单调不增，所以当 a 时，f()f(a) 0 f()在a，)为单调减函数，所以根是唯一的，选 D4 【正确答案】 D【试题解析】 f() 3 为单调增加的函数，f() 33，因为 f(0)0，所以 f()0，A 不对； 令 f()， g()2(1)，显然 f()
8、g()，但 f()g()，B 项不对； 令 f()2，g() (2)，显然 f()g()，但 f，()g()，C 项不对； 由微分中值定理得 f(2)f( 1)f()( 2 1)，因为 f()0，所以 2 1 与 f(2)f( 1)同号，即 f()单调增加，选 D5 【正确答案】 C【试题解析】 f(t) 1cos( 2y 2)ddy 02d0tr(1cosr 2)dr 0t(1cosr 2)d(r2) (1cosr)dr 所以 f(t) t6，即 n6，选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 y 1()，y 2()能构成微分方程 ypy qy0 通解的充分必要条件是 不是常数，即 0，选 B
9、7 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2 时， 1 2 ， 1 3 为 AX0 的两个线性无关的解，从而 3r(A)2，r(A)1，又由 A0 得 r(A)1，即 r(A)1，选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组()线性相关时，r(A)n，由 r(AB)r(A)得 r(Ag)n，即向量组()线性相关；同理，当向量组() 线性相关时，r(B) n ，由 r(AB)r(B)得 r(AB)n ，即向量组()线性相关，选 D二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由微分中值定理得 f()f( 1) f()，其中 1，则 f()f(1) f()e 2，于是 e2ae 2，a110 【正
10、确答案】 【试题解析】 D 1(r，)0 ，0r2sin，11 【正确答案】 【试题解析】 由 yy 2，得 1 或者 1，则 C 1，由y 2C 1，得原方程的通解为 y C 212 【正确答案】 z【试题解析】 0 两边对球偏导，得 0，解得； 0 两边对 y 求偏导，得 0，解得 ，于是13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 4【试题解析】 因为 A 的特征值为 12， 21， 32，所以 A*的特征值为12， 24， 32，于是 A11A 22A 33tr(A *) 1 2 32424三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 arctant
11、t o(t 3)得 tarctant t3，16 【正确答案】 令 ()f() bg(t)dtg() af(t)dt，显然函数 ()在区间a，b上连续，函数 ()在区间(a ，b)内可导，且 ()f() bg(t)dtf()g()g()f()g() af(t)dt f() bg(t)dtg() af(t)dt 另外又有 (a)(b)0 所以根据罗尔定理可知存在 (a，b) 使 ()0，即 f() bg(t)dtg() af(t)dt0， 由于 g(b)0及 g()0，所以区间(a，b)内必有 g()0，从而就有 bg(t)dt0， 于是有17 【正确答案】 代入，得 整理，得6ye 3t (
12、)特征方程为 2 60，特征值为 12， 23， 方程 6y0 的通解为 yC 1e-2tC 2e3t 令 6ye 3t 的特解为 y0Ate 3t 代入得 A ，故原方程的通解为 y18 【正确答案】 设直线 ya b 为曲线 yln( 2)在点( 0，ln( 02) 处的切线，切线为 yln( 02) ( 0)，解得 a ，bln( 22) ， S(0) 04abln(2)d8a4b 04ln(2)d ) 04ln(2)d 令 S(0) 0 得02 当 0(2，2)时，S( 0)0，当 02 时，S( 0)0，则 02 为 S(0)的最小点，从而当 a ，b ln4 时，ya b，0，4
13、及曲线 yln(2)围成的图形面积最小19 【正确答案】 20 【正确答案】 由方程组 确定两个一元函数，其中 为自变量，y，t 为函数， 对 求导得整理得21 【正确答案】 由旋转体的体积公式得 V(t) 1tf(u)du 由已知条件得 1tf2(u)dut2f(t)f(1)，即 31tf2(u)dut 2f(t)f(1) 等式两边对 t 求导得 3f 2(t)2tf(t)t 2f(t)， 于是有 2y3y 22y，变形得 令 u，则有 3u(u 1)，分离变量并两边积分得 C 3，即 y C 3y， 由 f(2)得 C1，故 f() 22 【正确答案】 () 令 1， 2， n-r为 AX
14、0 的基础解系， 0 为 AXb 的特解，显然 0 0， 1 1 0， n-r n-r 0 为 AXb 的一组解，令k00k 11k n-rn-r0，即 k11k 22k n-rn-r(k 0k 1k n-r)00 上式左乘 A 得(k 0k 1k n-r)b0，因为 b0 时，k 0k 1k n-r0，于是k11k 22k n-rn-r0，因为 1， 2， n-r 为 AX0 的基础解系，所以k1k 2k n-r0，于是 k00，故 0， 1， n-r 线性无关 若0， 1， ， n-r+1 为 AXb 的线性无关解，则 1 1 0， n-r+1 0 为 AX0的解，令 k11k 22k n
15、-r+1n-r+10，则 k 11 k22k n-r+1n-r+1 (k1k 2k n-r+1)0 因为 0， 1， n-r+1 线性无关，所以k1k 2k n-r+10，即 1， 2， n-r+1 为 AX0 的线性无关解，矛盾，故方程组 AXb 恰有 nr1 个线性无关解 ()令则化为 AX 因为 AX 有三个非零解，所以AX0 有两个非零解，故 4r(A)2，r(A)2 ，又因为 r(A)2，所以 r(A)r( )2 则a3，b 1 由得原方程组的通解为 X (其中 k1，k 2 为任意常数)23 【正确答案】 () 令 则 f(1， 2， 3)X TAX 因为 A 与 合同，所以 r(A)23，故A 0 由A 3(2a 10)0 得 a5，A ()由EA ( 4)( 9)0 得10， 24， 39 由 (0EA)X0 得 1 ； 由(4EA)X0 得2 ； 由(9E A)X0 得 3 ， 单位化得
