[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷414及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学二)模拟试卷 414 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列反常积分收敛的是( )(A)(B)(C)(D)2 设 f()连续,且 2,则下列结论正确的是( )(A)f(1)是 f()的极大值(B) f(1)是 f()的极小值(C) (1,f(1)不是曲线 yf() 的拐点(D)f(1)不是 f()的极值,但(1,f(1)是曲线 yf()的拐点3 设 f()在a,) 内二阶可导,f(a) A0,f(a) 0,f()0( a),则 f()在a,) 内( ) (A)无根(B)有两个根(C)有无穷多个根(D)有且仅有一个根4 下列结论正确的是(

2、 ) (A)若 f()可导且单调增加,则 f()0(B)若 f(),g()皆可导且 f()g(),则 f()g()(C)若 f(),g()皆可导且 f()g(),则 f()g()(D)若 f()0,则 f()单调增加5 设 t0,则当 t0 时,f(t) 1cos( 2 y2)ddy 是 t 的 n 阶无穷小量,则n 为( )(A)2(B) 4(C) 6(D)86 设 y1(),y 2()是微分方程 yqy0 的解,则由 y1(),y 2()能构成方程通解的充分条件是( ) (A)y 1y2y 1y20(B) y1y2y 1y20(C) y1y2y 1y20(D)y 1y2y 1y207 设

3、A 为三阶矩阵, 为非齐次线性方程组 AX的解,则( )(A)当 t2 时,r(A)1(B)当 t2 时,r(A)2(C)当 t2 时,r(A)1(D)当 t2 时,r(A) 28 设 n 阶矩阵 A( 1, 2, n),B( 1, 2, , n),AB( 1, 2, n),令向量组(): 1, 2, , n;(): 1, 2, n;(): 1, 2, n,若向量组() 线性相关,则 ( )(A)向量组() 与向量组 () 都线性相关(B)向量组()线性相关(C)向量组()线性相关(D)向量组() 与()至少有一个线性相关二、填空题9 设 f()在( ,)内可导,且 f()e 2, f()f(

4、1)则 a_10 设 f(,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分_11 xyy 2 的通解为 _12 设 F( )0,且 F(u,v)连续可偏导,则 _13 _14 设 A 为三阶矩阵,A 的三个特征值为 12, 21, 32,A *是 A 的伴随矩阵,则 A11A 22A 33_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()可导,且 2,计算16 设函数 f()和 g()在区间a ,b上连续,在区间(a,b)内可导,且 f(a)g(b)0,g()0,试证明存在 (a,b)使 017 设 ()用变换 t 2 将原方程化为 y关于 t 的微分方程; ()求原方程的通解18

5、设直线 yab 为曲线 yln(2)的切线,且 yab, 0,4 及曲线yln(2)围成的图形面积最小,求 a,b 的值19 求二重积分 2y 2 ddy,其中 D( ,y) 0y1 ,0120 设 yf(,t),而 t 是由方程 G(,y,t)0 确定的 ,y 的函数,其中 f(,t),G(,y,t)为可微函数,求 21 设厂(z)在1,) 上连续且可导,若曲线 yf() ,直线 1,t(t1)与 轴围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V(t) t2f(t)f(1),且f(2) ,求函数 yf()的表达式22 设 A 为 mn 矩阵,且 r(A)r( )rn,其中 (A b)

6、()证明方程组AXb 有且仅有 nr1 个线性无关解; ()若有三个线性无关解,求 a,b 的值及方程组的通解23 设二次型 f(1, 2, 3)5 12a 223 322 126 136 23 的矩阵合同于 () 求常数 a 的值; ()用正交变换法化二次型 f(1, 2, 3)为标准形考研数学(数学二)模拟试卷 414 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 1 且 11 ,所以 发散 因为1 且 11,所以 发散; 对任意的 0,由 得 发散 故选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2,所以由极限的保号性,存

7、在 0,当01 时,有 0,即当 (1,1)时 f()0;当(1,1) 时,f() 0 根据极值的定义,f(1) 为 f()的极小值,选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 f()f(a)f(a)( a) (a) 2,其中 介于 a 与 之间 因为 f(a)A0, f() ,所以 f()在a,)上至少有一个根 由 f()0(a) f()单调不增,所以当 a 时,f()f(a) 0 f()在a,)为单调减函数,所以根是唯一的,选 D4 【正确答案】 D【试题解析】 f() 3 为单调增加的函数,f() 33,因为 f(0)0,所以 f()0,A 不对; 令 f(), g()2(1),显然 f()

8、g(),但 f()g(),B 项不对; 令 f()2,g() (2),显然 f()g(),但 f,()g(),C 项不对; 由微分中值定理得 f(2)f( 1)f()( 2 1),因为 f()0,所以 2 1 与 f(2)f( 1)同号,即 f()单调增加,选 D5 【正确答案】 C【试题解析】 f(t) 1cos( 2y 2)ddy 02d0tr(1cosr 2)dr 0t(1cosr 2)d(r2) (1cosr)dr 所以 f(t) t6,即 n6,选 C6 【正确答案】 B【试题解析】 y 1(),y 2()能构成微分方程 ypy qy0 通解的充分必要条件是 不是常数,即 0,选 B

9、7 【正确答案】 A【试题解析】 当 t2 时, 1 2 , 1 3 为 AX0 的两个线性无关的解,从而 3r(A)2,r(A)1,又由 A0 得 r(A)1,即 r(A)1,选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 当向量组()线性相关时,r(A)n,由 r(AB)r(A)得 r(Ag)n,即向量组()线性相关;同理,当向量组() 线性相关时,r(B) n ,由 r(AB)r(B)得 r(AB)n ,即向量组()线性相关,选 D二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由微分中值定理得 f()f( 1) f(),其中 1,则 f()f(1) f()e 2,于是 e2ae 2,a110 【正

10、确答案】 【试题解析】 D 1(r,)0 ,0r2sin,11 【正确答案】 【试题解析】 由 yy 2,得 1 或者 1,则 C 1,由y 2C 1,得原方程的通解为 y C 212 【正确答案】 z【试题解析】 0 两边对球偏导,得 0,解得; 0 两边对 y 求偏导,得 0,解得 ,于是13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 4【试题解析】 因为 A 的特征值为 12, 21, 32,所以 A*的特征值为12, 24, 32,于是 A11A 22A 33tr(A *) 1 2 32424三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 arctant

11、t o(t 3)得 tarctant t3,16 【正确答案】 令 ()f() bg(t)dtg() af(t)dt,显然函数 ()在区间a,b上连续,函数 ()在区间(a ,b)内可导,且 ()f() bg(t)dtf()g()g()f()g() af(t)dt f() bg(t)dtg() af(t)dt 另外又有 (a)(b)0 所以根据罗尔定理可知存在 (a,b) 使 ()0,即 f() bg(t)dtg() af(t)dt0, 由于 g(b)0及 g()0,所以区间(a,b)内必有 g()0,从而就有 bg(t)dt0, 于是有17 【正确答案】 代入,得 整理,得6ye 3t (

12、)特征方程为 2 60,特征值为 12, 23, 方程 6y0 的通解为 yC 1e-2tC 2e3t 令 6ye 3t 的特解为 y0Ate 3t 代入得 A ,故原方程的通解为 y18 【正确答案】 设直线 ya b 为曲线 yln( 2)在点( 0,ln( 02) 处的切线,切线为 yln( 02) ( 0),解得 a ,bln( 22) , S(0) 04abln(2)d8a4b 04ln(2)d ) 04ln(2)d 令 S(0) 0 得02 当 0(2,2)时,S( 0)0,当 02 时,S( 0)0,则 02 为 S(0)的最小点,从而当 a ,b ln4 时,ya b,0,4

13、及曲线 yln(2)围成的图形面积最小19 【正确答案】 20 【正确答案】 由方程组 确定两个一元函数,其中 为自变量,y,t 为函数, 对 求导得整理得21 【正确答案】 由旋转体的体积公式得 V(t) 1tf(u)du 由已知条件得 1tf2(u)dut2f(t)f(1),即 31tf2(u)dut 2f(t)f(1) 等式两边对 t 求导得 3f 2(t)2tf(t)t 2f(t), 于是有 2y3y 22y,变形得 令 u,则有 3u(u 1),分离变量并两边积分得 C 3,即 y C 3y, 由 f(2)得 C1,故 f() 22 【正确答案】 () 令 1, 2, n-r为 AX

14、0 的基础解系, 0 为 AXb 的特解,显然 0 0, 1 1 0, n-r n-r 0 为 AXb 的一组解,令k00k 11k n-rn-r0,即 k11k 22k n-rn-r(k 0k 1k n-r)00 上式左乘 A 得(k 0k 1k n-r)b0,因为 b0 时,k 0k 1k n-r0,于是k11k 22k n-rn-r0,因为 1, 2, n-r 为 AX0 的基础解系,所以k1k 2k n-r0,于是 k00,故 0, 1, n-r 线性无关 若0, 1, , n-r+1 为 AXb 的线性无关解,则 1 1 0, n-r+1 0 为 AX0的解,令 k11k 22k n

15、-r+1n-r+10,则 k 11 k22k n-r+1n-r+1 (k1k 2k n-r+1)0 因为 0, 1, n-r+1 线性无关,所以k1k 2k n-r+10,即 1, 2, n-r+1 为 AX0 的线性无关解,矛盾,故方程组 AXb 恰有 nr1 个线性无关解 ()令则化为 AX 因为 AX 有三个非零解,所以AX0 有两个非零解,故 4r(A)2,r(A)2 ,又因为 r(A)2,所以 r(A)r( )2 则a3,b 1 由得原方程组的通解为 X (其中 k1,k 2 为任意常数)23 【正确答案】 () 令 则 f(1, 2, 3)X TAX 因为 A 与 合同,所以 r(A)23,故A 0 由A 3(2a 10)0 得 a5,A ()由EA ( 4)( 9)0 得10, 24, 39 由 (0EA)X0 得 1 ; 由(4EA)X0 得2 ; 由(9E A)X0 得 3 , 单位化得

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