1、考研数学（数学二）模拟试卷 415 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列无穷小中阶数最高的是( )（A）e e tan（B） ln(12t)dt（C） ln(1)sin（D） 12 下列命题正确的是( ) （A）若 f()在 0 处可导，则一定存在 0，在 0 内 f()可导（B）若 f()在 0 处连续，则一定存在 0，在 0 内 f()连续（C）若 存在，则 f()在 0 处可导（D）若 f()在 0 的去心邻域内可导，f()在 0 处连续，且 f()存在，则 f()在0 处可导，且 f(0) f()3 下列说法中正确的是( )（A）若 f(0
2、)0，则 f()在 0 的邻域内单调减少（B）若 f()在 0 取极大值，则当 (0， 0)时，f()单调增加，当(0， 0)时，f() 单调减少（C） f()在 0 取极值，则 f()在 0 连续（D）f()为偶函数， f(0)0，则 f()在 0 处一定取到极值4 设 0，f()在( ，) 内恒有 f()0，且f() 2，记 I-f()d，则有( )（A）I0（B） I0（C） I0（D）不能确定5 设厂有一阶连续的偏导数，且 f(y，y)4( 2yy 2)，则 f(，y)yf y(，y) 为 ( )（A）2 28y2y 2（B） 228y 2y 2（C） 228y 2y 2（D）2 2
3、8y2y 26 设 f() 33k 只有一个零点，则 k 的取值范围是( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k27 设，则 B 等于( )（A）P 1P2-1A（B） AP1P2-1（C） P1AP2-1（D）P 2-1AP18 设 A( 1， 2， 3， 4)为四阶方阵，且 1， 2， 3， 4 为非零向量组，设AX0 的一个基础解系为(1，0，4，0) T，则方程组 A*X0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1 3， 3， 4（C） 1， 3， 4（D） 1 2， 22 4， 4二、填空题9 _10 设 yy()由 确定，则 _11 曲线 y 的斜渐近线为_12 _
4、13 y2y3ye -的通解为_14 设 A 为三阶实对称矩阵， 1(m，m，1) T 是方程组 AX0 的解，2 (m，1， 1m) T 是方程组(AE)X0 的解，则 m_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f()在0，1上连续可导，f(1)0， 01f()d2，证明：存在 0，1，使得 f()416 设 uf( )满足 ，且 f()0 () 求 f() () 若 f(0)0，求 17 设 连续，且 2y 2z 2 y(yt)dt，求 2z 18 设 f()，g()满足 f()g()，g()2e f()，又 f(0)0，g(0)2，求19 设 f()为 a，a上的连
5、续的偶函数且 f()0，令 F() -aa t f(t)dt ()证明：F()单调增加 () 当 取何值时，F()取最小值? ()当 F()的最小值为f(a)a 21 时，求函数 f()20 计算 (sin2cosy2 )如，其中 D： 2y 2a221 现有两只桶分别盛有 10L 浓度为 15gL 的盐水，现同时以 2Lmin 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2Lmin 的速度注入第二只桶中，然后以2Lmin 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克 ?22 设 A 为三阶实对称矩阵，其特征值为 10， 2 31， 1， 2 为 A 的两个不同特征向量，且 A(
6、1 2) 2 ()证明： 1， 2 正交 ()求 AX 2 的通解23 设 (1 ， 1，1) T 是 A 的一个特征向量 ()确定参数口，b 的值及特征向量口所对应的特征值， ()问 A 是否可以对角化 ?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 415 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 e e tane tan(e-tan1) tan， 因为，所以 ee tan 3因此选 B2 【正确答案】 D【试题解析】 令得f()在 0 处可导 (也连续) 对任意的 a0，因为 f()不存在，所以 f()在 a处不连续，当然也不可导，即
7、 0 是 f()唯一的连续点和可导点，选项 A、B 不对； 令 f() 显然 2，因为 f()0f(0) ，所以 f()在 0 处不连续，当然也不可导，选项 C 不对； 因为 f()在0 处连续且在 0 的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有 f()f( 0)f()( 0)或者 f()，其中 介于 0 与 之间，两边取极限得存在，即 f()在 0 处可导，且f(0) f()，选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 f() f(0)10，f() 12sin， 当 (kN)时，f() 0 f()在 0 的任意邻域内都不单调减少，A 项对； f() f()在 0 处取得极大值，但其在 0 的任一邻域
8、内皆不单调，B 项不对；f()在 1 处取得极大值，但 f()在 1 处不连续； 由 f(0)存在，得 f(0)存在，又 f()为偶函数，所以 f(0)0，所以 0 一定为 f()的极值点，选 D4 【正确答案】 B【试题解析】 因为f() 2，所以 f(0)0，由f() 2，得0 ，由迫敛定理得 f(0)0 由泰勒公式得 f()f(0) f(0) ，其中 介于 0 与 之间， 因为在(，) 内恒有 f()0，所以 I f() 2d0，选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 令 yu，yv，则 (u v)，y (uv)， 于是由f(y，y)4( 2yy 2)，得 f(u，v)4uv u 2v
9、2， 故 f(，y)4y 2y 2， f (，y)yf y(，y)(4y2)y(42y)2 28y2y 2，选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 f()为三次函数，至少有一个零点，因为函数不单调，故要使函数只有一个零点，必须极小值大于零或极大值小于零由 f()3( 21)0，得驻点1，且由图形可知，1 为极大点，1 为极小点故 f(1)2k0 k2，f(1)2k0 2，所以选 C7 【正确答案】 C【试题解析】 故选C8 【正确答案】 D【试题解析】 由 r(A)3 得 r(A*)1，则 A*X0 的基础解系由 3 个线性无关的解向量构成 由 14 30 得 1， 3 成比例，显然选项 A、
10、B、C 不对，选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 当 t0 时，1 y 01ln(1u)duuln(1u) 01 01 du2ln2 1 e sint10 两边对 t 求导，得esin. e cost 0，于是 e ； y 0t+1ln(1u)du 两边对 t 求导，得ln(t2)，于是 ln2 故11 【正确答案】 y2 1【试题解析】 故曲线 y 的斜渐近线为 y2112 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得13 【正确答案】 yC 1e-C 2e3 e-【试题解析】 特征方程为 22 30，特征值为 11， 23，则方程 y2y3y0
11、的通解为 yC 1e-C 2e3 令原方程的特解为 y0()Ae -，代入原方程得 A ，于是原方程的通解为 yC 1e-C 2e3 e-14 【正确答案】 1【试题解析】 由 AX0 有非零解得 r(A)3，从而 0 为 A 的特征值，1 (m，m，1) T 为其对应的特征向量； 由(A E)X0 有非零解得 r(AE)3，AE0， 1 为 A 的另一个特征值，其对应的特征向量为2 (m，1， 1m) T，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 的不同特征值对应的特征向量正交，于是有 m1三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由分部积分，得 01f()df() 01
12、 01f()d 0-1f()d2， 于是 01f()d2 由拉格朗日中值定理，得 f()f()f(1)f()(1)，其中(， 1)， f()f()(1)两边对 从 0 到 1 积分，得 0-1f()d 0-1f()(1)d2 因为 f()在0，1上连续，所以 f()在0，1上取到最小值 m 和最大值M， 由 M(1)f()(1)m(1)两边对 z 从 0 到 1 积分， 得 f()(1)d ，即 m4M， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()416 【正确答案】 () 令 r ，则由已知条件得 f(r)f (r)ln(1r 2)，解得：得 C ， 于是 f() ()17 【正确答案】 y(y
13、t)dt 1y(u)(du) 1y(u)du， 2y 2z 2 1y(u)du 两边对 求偏导得 22z () ，解得； 2y 2z 2 1y(u)du 两边对 y 求偏导得 2y2z (y)，解得 ， 则 2z( )(y)() 2(y)18 【正确答案】 由 f()g() 2e f()得 f()f()2e ，解得 f()C 1cosC 2sine ， 由 f(0)0，f(0)g(0)2 得 ，解得C1 1，C 21， 故 f()cos sine 19 【正确答案】 ()F() -aatf(t)dt -a(t)f(t)dt a(t)f(t)dt -af(t)dt -atf(t)dt atf(t
14、)dt af(t)dt -af(t)dt -atf(t)dt atf(t)dt a(t)dt， F() -af(t)dtf()f()f() a(t)dtf() -af(t)dt af(t)dt， 因为 F()2f()0，所以 F()为单调增加的函数 () 因为 F(0) -a0f()d 0af()d 且 f()为偶函数，所以 F(0)0，又因为 F(0)0，所以 0 为 F()的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 F(0) -aatf(t)dt2 0atf(t)dt ()由 20atf(t)dtf(a)a 21两边求导得 2af(a)f(a)2a， 于是 f()2f() 2 ， 解得 f()1
15、， 在 2tf(t)dtf(a)a 21 中令a0 得 f(0) 1，则 C2，于是 f()2 120 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称， 所以 I又因为区域 D 关于直线y 对称，21 【正确答案】 设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有由0 得 m1(t)C 1 ， 再由 m1(0)150 得 C1150，故 m1(t)150 再由 则 m2(t)，由 m2(0)150 得 C2150，于是，5 分钟后第二只桶含盐 m2(5) 克22 【正确答案】 () 若 1， 2 是属于特征值 10 的特征向量，则 A(1 2)A 1A 20 2，矛盾
16、； 若 1， 2 是属于特征值 2 31 的特征向量，则A(1 2)A 1 2 1 22，矛盾， 从而 1， 2 是分属于两个不同特征值对应的特征向量， 因为 A 是实对称矩阵，所以 1， 2 正交 ()因为 A 相似于，所以 r(A)2 ，方程组 AX0 基础解系含一个线性无关的解向量 若1 是属于特征值 1 的特征向量， 2 为属于特征值 0 的特征向量， 此时 A(1 2)A 1A 2 12，矛盾， 从而 1 是属于特征值 0 的特征向量， 2 是属于特征值1 的特征向量， 由 A10，A 2 2 得 AX 2 的通解为 Xk 1 223 【正确答案】 () 由 A，得 ，解得a3，b 0，1 ()由EA( 1) 30，得 1 是三重特征值 因为 r( EA)2，所以 1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A 不可以对角化
