1、一元函数微分学模拟试卷 1 及答案与解析一、数学部分单项选择题1 设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设函数 f(x)连续，f(0)0，则存存 0，使得（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)存(-，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(-，0)有 f(x)f(0)3 设函数 f(x)=(x-1)(ex-2)(enx-n)，其中
2、n 为正整数，则 f(0)=（A）(-1) n-1(n-1)!（B） (-1)n(n-1)!（C） (-1)n-1n!（D）(-1) nn!4 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+丨 sinx 丨)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件5 设 f(x)，g(x) 是恒大于零的可导函数， f(x)g(x)-f(x)g(x)f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x)f(a)g(a)6 曲线 y=(x-1)
3、(x-2)(x-3)2(x-4)4 的拐点是（A）(1 ，0)（B） (2，0) （C） (3，0) （D）(4 ，0).7 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=x，且 f(0)=0，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点8 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dy y
4、（B） 0ydy（C） ydy0（D）dy y09 曲线 y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）310 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)11 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=
5、1/2.（B） =-1/2,=-1/2.（C） =2/3,=1/3.（D）=2/3,=2/3.二、填空题12 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，则 y“(0)=_.13 设函数 y=1/(2x+3)，则 y(n)(0)=_.14 曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为_.15 曲线 sin(xy)+ln(y-x)=x 在点（0,1）处的切线方程是_.16 对数螺线 P=e在点(，)=(e /2，/2)处的切线的直角坐标方程为_.17 已知一个长方形的长 2 以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加则当 l=12cm，=5cm 时，它
6、的对角线增加的速率为_.18 曲线 y=x2/(2x+1)的斜渐近线方程为_.19 曲线 y=1/x+ln(1+ex)渐近线的条数为_.20 曲线 y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为_条.三、解答题20 设函数 y=y(x)在(- ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数21 试将 x=x(y)所满足的微分方程 (d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；22 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)=3/2 的解23 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n
7、)(0)(n3)23 设 F(x)=F(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x) ，g(x)=f(x)且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x24 求 F(x)所满足的一阶微分方程；25 求 F(x)的表达式一元函数微分学模拟试卷 1 答案与解析一、数学部分单项选择题1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【知识模块】 一
8、元函数微分学7 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 -2.【试题解析】 方程两边对 x 两次求导得 e yy+6xy+6y+2x=0， eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0 以 x=0 代入原方程得 y=0， 以 x=y=0 代人 得y=0， 再以 x=y=y=0 代人 得 y“(0)=-2【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 (-1) n(2/
9、3)n1/3n!.【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 y=x-1.【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y=x+1.【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 x+y=e /2.【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 3(cm/s)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 y=1/2x-1/4【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 3 条.【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 2【知识模块】 一元函数微分学三、解答题【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 实质上是求反函数的一、二阶导数的问题由反函数求导公式知 dx/dy=1/y
10、,(d2x)/(dy2)=(dx/dy)=(1/y)y=(1/y)xdx/dy=-y“/y3=-y“(dx/dy)3 代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 y“-y=sinx (*)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1.2=1； 由于非齐次项 f(x)=sinx=eaxsinx，=0，=1，=i 不是特征根，则设 (*)的特解 y*=acosx+bsinx， 代入(*)求得 a=0，b=-1/2， 故 y *=-1/2sinx，于是(*) 的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x-1/2si【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案
11、】 f(x)=x 2x-xn+1/2+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1) =x3-x4/2+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n3) 可得 f (n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2). f(n)(0【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g 2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)， 可知 F(x)所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2x【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 e 2x 同乘方程两边，可得 e2xF(x)=4e4x，积分即得 e2xF(x)=e4x+C， 于是方程的通解是 F(x)=e2x+Ce-2x 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，可确定常数 C=-1故所求函数的表达式为 F(x)=e 2x-e 2x.【知识模块】 一元函数微分学
