1、考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y=f(x)可微，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2-x 垂直，则（A）一 1（B） 0（C） 1（D）不存在2 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，其中 a，b 是常数，则（A）a=0 ，b=2（B） a=1，b=一 3（C） a=一 3，b=1（D）a= 一 1，b=一 13 设 f(x0)0， f(x)在 x=x0 连续，则 f(x)在 x0 可导是|f(x)|在 x
2、0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要4 设 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=0，则 f(x0)=0 是|f(x)|在 x0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要5 设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在x=a 可导的( )条件（A）充分必要（B）充分非必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要6 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)|x3 一 x|的不可导点有（A）3 个（B） 2 个（C） 1 个（D
3、）0 个7 设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）可导且 f(1)=ab二、填空题8 请用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x0 可微，f(x 0)0，则x0 时 f(x)在 x=x0 处的微分与 x 比较是( )无穷小，y=f(x 0+x)一 f(x0)与x 比较是( )无穷小，与x 比较是 ( )无穷小9 设 y=f(lnx)eef(x)，其中 f(x)可微，则 dy=_10 设函数 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f2(x)，则 f(n)(x)
4、=_(n2)11 对数螺线 r=e 在点(r ，)= 处的切线的直角坐标方程为_12 设有长为 12cm 的非均匀杆 AB，AM 部分的质量与动点 M 到端点 A 的距离 x的平方成正比，杆的全部质量为 360(g)，则杆的质量表达式 m(x)=_，杆在任一点 M 处的线密度 (x)=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 判断下列结论是否正确?为什么? (I)若函数 f(x)，g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)； ()若 x(x0，x 0+)，xx 0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x0 处有相同的
5、可导性； () 若存在 x0 的一个邻域(x 0，x 0+，使得 x(x0，x 0+)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x0 处有相同的可导性若可导，则 f(x0)=g(x0)14 说明下列事实的几何意义：(I)函数 f(x)，g(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)； ()函数 y=f(x)在点 x=x0 处连续，且有15 设函数 f(x)在 x=x0 处存在 f+(x0)与 f-(x0)，但 f+(x0)f-(x0)，说明这一事实的几何意义16 设 f(x)存在，求极限 其中 a，b 为非零常数17 设 f(x)在 x=a 可导，
6、且 f(a)=1，f(a)=3，求数列极限18 求下列函数的导数 y：19 设 y=(1+x2)arctanx，求 y20 设 y=f(x)可导，且 y0(I)若已知 y=f(x)的反函数 x=(y)可导，试由复合函数求导法则导出反函数求导公式；()若又设 y=f(x)二阶可导，则21 22 (I)设函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+exxy2=0 所确定，求 ()设 ex+y=y 确定y=y(x)，求 y，y”；() 设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求23 设 f(x)= 求 f(x)在点 x=0 处的导数24 设 f(x)= 求 f(1)与 f(一
7、 1)25 设 f(x)= 求 f(x)26 求下列 y(n)：27 设 y=sin4x，求 y(n)28 设 y=x2e2x，求 y(n)29 求下列函数的导数与微分：30 设 y= ，求它的反函数 x=(y)的二阶导数 及 ”(1)31 32 求下列隐函数的微分或导数：(I)设 ysinxcos(xy)=0，求 dy；()设方程确定 y=y(x)，求 y与 y“33 设 f(x)= (I)求 f(x)；()f(x)在点 x=0 处是否可导?34 确定常数 a 和 b，使得函数 f(x)= 处处可导35 设 y=y(x)由方程组 确定，求36 设 y=ln(3+7x 一 6x2)，求 y(n
8、)37 讨论函数 f(x)= 在 x=0 处的连续性与可导性38 设 f(x)在( 一，+)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f”(0)存在若求 F(x)，并证明 F(x)在(一，+)连续39 给定曲线 y=x2+5x+4， (I)确定 b 的值，使直线 为曲线的法线；()求过点(0 ，3)的切线考研数学一（一元函数的导数与微分概念及其计算）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，又 ydy=o(x)，dy=f(x 0)x=x，于是故应选(B)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计
9、算2 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=x2+ax+b 在点(1，一 1)处的斜率 y = (x 2+ax+b)|x=1 =2+a 将方程 2y=一 1+xy2 对 x 求导得 2y=y 3+3xy2y由此知，该曲线在(1，一 1)处的斜率 y(1)为 2y(1)=(一 1)3+3y(1)，y(1)=1 因这两条曲线在(1，一 1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即 2+a=1，a= 一 1又曲线 y=x2+ax+b 过点(1，一 1)，所以 1+a+b=一 1，b= 一 2 一 a=一 1因此选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算3 【正确答案】 B【试题解析】 由
10、f(x0)0,f(x0)0 或 f(x0)0，因 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x)在 x0 某邻域是保号的，即 ，当|x 一 x0| 时，因此应选(B) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算4 【正确答案】 B【试题解析】 按定义|f(x)|在 x0 可导 存在，因此应选(B) 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当g(a)0 时，若 F(x)在 x=a 可导，可对 用商的求导法则(I)若 g(a)=0，按定义考察 即 F(a)=g(a)(a) ( )再用反证法证明：若
11、 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，由商的求导法则即知 (x)= 在 x=a 可导，与假设条件 (a)在 x=a 处不可导矛盾因此应选(A)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(x 2 一 x 一 2)|x|x 一 1|x+1|，只需考察 x=0，1，一 1 是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x2 一 x-2)|x21|，则 f(x)=g(x)|x|，g(0)存在，g(0)0，(x)=|x|在 x=0 连续但不可导，故 f(x)在 x=0 不可导 考察 x=1，令 g(x)=(x2 一 x 一 2)|x2+x|，(x)
12、=|x 一 1|，则 g(1)存在，g(1)0，(x)在 x=1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=1 不可导 考察 x=一 1，令 g(x)=(x2 一 x 一 2)|x2 一 x|，(x)=|x+1|，则 g(一 1)存在，g(一 1)=0，(x) 在 x=一 1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=一1 可导因此选(B)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算7 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察 =af(0)=ab，aba，abb因此，应选(D)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算二、填空题8 【正确答案】 同阶，同阶，高阶【试题解析
13、】 (I) =f(x0)0 知这时与x 是同阶无穷小量；按定义 故 y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知差 是比x 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算9 【正确答案】 利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)ef(x)=ef(x)df(lnx)+f(lnx)def(x) =ef(x)f(lnx)dlnx+f(lnx)ef(x)df(x) =ef(x) f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算10 【正确答案】 n!f n+1(x)【试题解析】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f”(x)=2f(x)f(x)=
14、2f3(x)，再求导得 f“(x)=3!f2(x)f(x)=3!f4(x) 由此可归纳证明 f(n)(x)=n!fn+1(x)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算11 【正确答案】 对数螺线的参数方程为 于是它在点处切线的斜率为【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算12 【正确答案】 ,5x【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (I)不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x0)=g(x0)不能保证 f(x0)=g(x0)正如曲线 y=f(x)与 y=g(x
15、)可在某处相交但并不相切()不正确例如 f(x)=x 2，显然，当 x0 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在 x=0 处可导，而 g(x)在x=0 处不可导(因为 g(x)在 x=0 不连续)() 正确由假设可得当 x(x0 一 ，x 0+)，xx0 时 故当 xx 0 时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义即可得出结论【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算14 【正确答案】 (I)曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切( )点 x=x0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M0(x
16、0，f(x 0)处有垂直于 x 轴的切线 x=x0(见图 21)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算15 【正确答案】 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M0(x0，f(x 0)处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算16 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算17 【正确答案】 这是指数型数列极限，先转化成 其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知 因此 =e6【知识模块】 一元函数的导数与
17、微分概念及其计算18 【正确答案】 ()当 x0 时，由求导法则得 当 x=0 时，由导数定义得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算19 【正确答案】 将函数化为 y= 然后对 x 求导即得 y=(1+x2)arctanxarctanxln(1+x2)=(1+x2)arctanx【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算20 【正确答案】 (I)设 y=f(x)的反函数是 x=(y)，则反函数的导数可由复合函数求导法则求出：由 y=f(y)，两边对 y 求导得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算21 【正确答案】 继续对 x 求导，并注意 t 是 x 的函数，得【知识模
18、块】 一元函数的导数与微分概念及其计算22 【正确答案】 (I)将原方程两边直接对 x 求导数，并注意 y 是 x 的函数，然后解出 y即可由(2x+2y.y)cos(x 2+y2)+ex 一 y2 一 2xy.y=0，得()注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得ex+y(1+y)=y，即 再将 y的表达式对 x 求导得()y=y(x)由方程 f(x+y)一 y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，而u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意， f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数 将 y=f(x+y)两边对 x 求导
19、，并注意 y 是 x 的函数，f 是关于 x 的复合函数，有 y=f.(1+y)， 即 (其中 f=f(x+y)又由 y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y是 x 的函数，f 即 f(x+y)仍然是关于 x 的复合函数，有 y”=(1+y)f+(1+y)(f)x =y“f+(1+y)f”?(1+y)=y“f+(1+y)2f“，将 代入并解出 y”即得 (其中 f=f(x+y)，f”=f”(x+y)或直接由 再对 x 求导，同样可求得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算23 【正确答案】 其中用到了等价无穷小因子替换：【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算24 【正确答案】
20、 由题设知 f(1+0)= =f(1)，f( 一 10)= =f(一 1)，故 f(x)又可以写成【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算25 【正确答案】 当 x0 时，由求导法则得 当 x=0 时，按定义求：【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算26 【正确答案】 (I)当 n 为奇数时，x n+1 可被 x+1 整除，x n+1=(x+1)(xn-1 一 xn-2+一 x+1) 当 n 为偶数时，xn 除 x+1 得 xn=(x+1)(xn-1 一 xn-2+x 一 1)+1,【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算27 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微
21、分概念及其计算28 【正确答案】 用莱布尼兹法则并注意(x 2)(k)=0(k=3，4，) ， (e 2x)(k)=2ke2x，得y(n)= Cnk(x2)(k)(e2x)(n-k)=x2(e2x)(n)+n(x2)(e2x)(n-1)+ (x2)n(e2x)(n-2)【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算29 【正确答案】 ()这是求连乘积的导数，用对数求导法方便因函数可取负值，先取绝对值后再取对数得若只求 y(1)，用定义最简单利用 y(1)=0 可得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算30 【正确答案】 由变限积分求导法先求得 ，再由反函数求导法得最后由复合函数求导法得
22、【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算32 【正确答案】 (I)利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)一 dcos(x 一 y)=0，即 sinxdy+ycosxdx+sin(x 一 y)(dx 一 dy)=0整理得 sin(xy)一 sinxdy=ycosx+sin(x一 y)dx，故 () 将原方程两边取对数，得等价方程现将方程两边求微分得化简得 xdx+ydy=xdyydx，即 (x 一 y)dy=(x+y)dx，由此解得 为求 y”，将 y满足的方程 (x 一 y)y=x+y 两边再对 x求导，即得(1 一
23、 y)y+(x 一 y)y”=1+y 代入 y表达式即得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算33 【正确答案】 (I)这是分段函数，分界点 x=0，其中左边一段的表达式包括分界点，即 x0，于是可得当 x0 时，f(x)= +2cos2x，x=0 处是左导数：f -(0)=2；又 =0=f(0)，即 f(x)在 x=0 右连续,f +(0)=2于是 f(0)=2因此 ()f(x) 也是分段函数，x=0 是分界点为讨论 f(x)在 x=0 处的可导性，要分别求 f“+(0)与 f“-(0)同前可得因f“+(0)f“-(0)，所以 f”(0)不存在，即 f(x)在点 x=0 处不可导【知
24、识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算34 【正确答案】 由 f(x)在 x=0 处可导，得 f(x)在 x=0 处连续由表达式知，f(x)在x=0 右连续于是，f(x)在 x=0 连续 =2a=f(0),2a=一2b，即 a+b=0又 f(x)在 x=0 可导,f +(0)=f-(0)在 a+b=0 条件下，f(x)可改写成f-(0)=(sinx+2aex)|x=0=1+2a故仅当 a=1，b=一 1 时f(x)处处可导【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算35 【正确答案】 由方程组的第一个方程式对 t 求导得 xt=6t+2=2(3t+1)将第二个方程对 t 求导并注意 y=
25、y(t)得 yteysint+eyostyt=0，整理并由方程式化简得因此，有【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算36 【正确答案】 先分解 y=ln(3 2x)(1+3x)=ln(32x)+ln(1+3x) y(n)=1n(32x)(n)+ln(1+3x)(n)然后利用ln(ax+b) (n)的公式得【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算37 【正确答案】 按定义因此，f +(0)=f-(0)=0因此 f(x)在 x=0 可导，因而也必连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算38 【正确答案】 首先求 F(x)当 x0 时，由求导法则易求 F(x)，而 F(0)需
26、按定义计算然后讨论 F(x)的连续性，当 x0 时由连续性的运算法则得到 F(x)连续，当 x=0 时可按定义证明 型极限问题，可用洛必达法则即 F(x)在x=0 也连续 ,因此， F(x)在(一 ，+) 连续【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算39 【正确答案】 (I)曲线过任意点(x 0，y 0)(y0=x02+5x0+4)不垂直于 x 轴的法线方程是 要使 为此曲线的法线，则解得 x0=一 1，b= ()曲线上任意点(x0，y 0)(y0=x02+4)处的切线方程是 y=y0+(2x0+5)(x 一 x0)， (*) 点(0，3)不在给定的曲线上，在(*)式中令 x=0， y=3 得 x02=1，x 0=1，即曲线上点(1，10)，(一 1，0)处的切线 y=7x+3，y=3x+3 ，通过点(0 ，3)，也就是过点(0，3) 的切线方程是 y=7x+3 与y=3x+3【知识模块】 一元函数的导数与微分概念及其计算
