1、考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1987 年) 设 f(x)为已知连续函数， 其中 s0，t0，则，的值（A）依赖于 s 和 t（B）依赖于 s，t，x（C）依赖于 t 和 x，不依赖于 s（D）依赖于 s，不依赖于 t2 (1990 年) 设 f(x)是连续函数，且 则 F(x)等于（A）一 e-xf(e-x)一 f(x)（B）一 e-xf(e-x)+f(x)（C） e-xf(e-x)一 f(x)（D）e -xf(e-x)+f(x)3 (1993 年) 设 则当 x0 时，f(x)是g(x)的（
2、A）等价无穷小（B）同阶但非等价的无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小4 (1993 年) 双纽线 (x2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )5 (1994 年) 设则有（A）NPM （B） MPN（C） NM P （D）PM N6 (1996 年) 设 f(x)有连续导数， f(0)=0，f(0)0 ，且当 x0 时，f(x)与 xk 是同阶无穷小，则 k 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 (1997 年) 设在区间 a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x)0令S2=f(b)(b 一 a)，S 3= f(a)+f(b)(b 一 a)，则（
3、A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 18 (1997 年) 设 则 F(x)（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数9 (1998 年) 设 f(x)连续，则（A）xf(x 2)（B）一 xf(x2)（C） 2xf(x2)（D）一 2xf(x2)10 (1999 年)设 f(x)是连续函数， F(x)是 f(x)的原函数，则（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增
4、函数11 (2004 年) 把 x0 +时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ，（C） ， （D）， 12 (2005 年) 没 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，“M N”表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数（B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数（D）F(x)是单调函数 f(x)是单调奇函数二、填空题13 (1987 年)由曲线 y=lnx 与两直线 y=(e+1)x 及 y=0 所围成的平面图形的面积是_14 (1988 年) 设 f(x
5、)是连续函数，且 则 f(7)=_15 (1989 年) 设 f(x)是连续函数，且 则 f(x)=_16 (1993 年) 函数 的单调减少区间为_17 (1995 年)18 (1999 年)19 (2000 年)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 (1987 年) 求正的常数 a 与 b，使等式 21 (1988 年) 设函数 f(x)在区间 a，b上连续，且在(a，b)内有 f(x)0证明：在(a， b)内存在唯一的 ，使曲线 y=f(x)与两直线 y=f()，x=a 所围平面图形面积 S1 是曲线 y=f(x)与两直线 y=f()，x=b 所围平面图形面积 S2 的
6、 3 倍22 (1989 年) 证明方程 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根23 (1990 年) 求24 (199l 年)设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且证明在(01)内存在一点 c，使 f(c)=025 (1992 年) 设 求26 (1993 年) 求27 (1994 年) 设 求 在 的值28 (1994 年) 求29 (1996 年)求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数30 (1997 年) 设 f(x)连续， 且 (A 为常数)，求 (x)并讨论 (x)在 x=0 处的连续性31 (1998 年) 求32 (1998 年) 设 y=f(x
7、)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积等于在区间 x0，1 上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 证明(1)中的 x0 是唯一的33 (1999 年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口，已知井深 30m，抓斗自重 400 N，缆绳每米重 50 N，抓斗抓起的污泥重 2000N提升速度为 3 m/s，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明： l N1 m=1 J；m
8、，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由此可见，I 的值只与 s 有关，所以应选 D. 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由 可知 F(x)=一 e-xf(e-x)一 f(x)故应选 A【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为所以，当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价的无穷小【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题
9、解析】 设双纽线在第一象限围成的面积为 S1，则 所求面积为 所以应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由被积函数的奇偶性可知 M=0 因此 PMN，故应选(D) 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 C【试题解析】 解 1 由于 而上式右端极限存在且为非零常数，则 k=3，所以应选(C) 解 2 由原题知当 x0 时，F(x) 与 xk 为同阶无穷小，换句话说，当 x0时，F(x)是 x 的 k 阶无穷小，本题要决定 k，即要决定当 x0 时，F(x)是 x 的几阶无穷小，如果能决定 F(x)是 x 的几阶无穷小，降一阶就应是 F(x)的阶数下面来
10、决定 F(x)是 x 的几阶无穷小由于 f(t)=f(0)+f(0)t+o(t)=f(0)t+o(t) 由于上式中第二项 o(t)是高阶：无穷小，略去它不影响 F(x)的阶数，则 x0 时，与 F(x)的阶数相同，而 显然它是 x 的四阶无穷小，则 x0 时 F(x)是 x 的四阶无穷小， F(x)应是 x 的三阶无穷小，故应选(C) 解 3 与解 2 前面的分析一样，本题只要能确定 F(x)是 x 的几阶无穷小，问题就得到解决在 F(x)= 的表达式中有一个一般函数 f(t)，这样一个一般的 f(x)它都能决定 F(x)的阶数，那么取一个具体的 f(t)，比如取 f(t)=t，当然同样也可以
11、决定结果将 f(t)=t 代入 得 显然它是 x 的四阶无穷小，从而 F(x)是x 的三阶无穷小，所以应选(C)【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 在0，ln2上考虑 f(x)=e-x，显然 f(x)满足原题设条件，而 则 S 2S 1S 3 解 2 由题设条件对 f(x)的图形进行分析，易知 f(x)在 x 轴上方、单调下降且向上凹，如图所示，S 2 表示长方形 ABCE 的面积，S 3 等于梯形 ABCD 的面积，S 1 等于曲边梯形 ABCD 的面积，从而有 S 2S 1S 3 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 解 2
12、 考察 被积函数中 sint 在(0，)上为正，( ，2)上为负，且在这两个区间上 sint 的值完全对应且仅仅相差一个负号，而当 t(0，)时e sint1，当 t(，2)时，e sint1，则积分 一定为正，故应选(A) 解 3 又 则 而当 t(0，)时，(e sint 一 e-sint)sint0，则 F(0)0 解 4 考察 有 则 上式积分中 sint 的奇次幂项为奇函数，该项积分为零，而 sint 的偶次幂项的积分显然为正，则 F(一 )0【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 令 x2 一 t2=u，则 解 2 令 f(x)1，则显然(B)(C)(
13、D)均不正确，故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 排除法(B)，(C)，(D) 分别举反例如下 (B)的反例：f(x)=cosx，F(x)=sinx+1 不是奇函数 (C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是周期函数 (D)的反例： f(x)=x，F(x)= x2 不是单调增的所以应选 (A) 解 2 直接说明(A)正确 f(x)的原函数 F(x)可表示为 则 故(A)是正确选项【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 B【试题解析】 解 1 由于 则当x0 +时 是 的高阶无穷小，又 则当x0 +时 是 的高阶无穷
14、小故应选(B) 解 2 由于 则 x0 +时 是 x 的一阶无穷小；而则当 x0 +时 是 x 的 3 阶无穷小；则当 x0 +时， 是 x 的一阶无穷小，故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 A【试题解析】 解 1 直接法 若 F(x)是连续函数 f(x)的原函数，且(x)是偶函数则 F(-x)=F(x)，式两端对 x 求导得 一 F(x)=F(x) 即 一 f(一 x)=f(x) 故 f(x) 为奇函数 反之，若 f(x)为奇函数，则 是 f(x)的一个原函数又 则 G(x)是偶函数，由于 F(x)也是 f(x)的原函数则 F(x)=G(x)+C F(x)亦是偶函数，
15、故应选(A) 解 2 排除法 令 f(x)=cosx，F(x)=sinx+1显然 f(x)是偶函数但 F(x)不是奇函数所以(B)不正确； 令 F(x)=sinx+x，f(x)=cosx+1显然 f(x)是周期函数但 F(x)不是周期函数故 C 不正确； 令 F(x)=x2，f(x)=2x 显然 f(x)是单调函数，但 F(x)不是单调函数，则(D)不正确故应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 解 1 令 lnx=0，得 x=1；令 e+1 一 x=0，得 x=e+1；令 lnx=e+1 一x，得 x=e则所求面积为 解 2 对 y 积分，则所求面
16、积为 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 等式 两边对 x 求导，得 3x 2f(x3 一 1)=1令x=2，得 12f(7)=1，f(7)=【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 x 一 1【试题解析】 解 1 令 则 f(x)=x+2a将 f(x)=x+2a 代入得 即 由此可得则 f(x)=x 一 1 解 2 等式 两端从 0 到 1 对x 积分得 即 由此可知 从而可知 f(x)=x 一 1【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 令 解得 则 F(x)单调减少区间为【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 由于
17、 所以 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 令 xt=u，则 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由洛必达法则知 由于上式右端分子极限为零，而原式极限为 1，则 b=1从而有 则 a=4【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令其中 xa，b，显然 F(x)在a，b上连续又由 f(x)0 知 f(a)f(x)f(b) x(a，b)于是 由连续函数的介值定理知，至少存在一点 (a，b) ，使 F()=0，即 的唯一性可由 F(x)的单调性得到
18、 F(x)=f(x)+f(x)(x 一 a)一 f(x)一 3一 f(x)+f(x)一 f(x)(b 一 x) =f(x)x 一a+3(bx)0 所以，F(x)在a，b 上单调增加，故在 (a，b)上只有一个 ，使 F()=0，即 S1=3S2【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由于 原方程转化为 令 则令 F(x)=0，得 x0=e 当 0xe 时，F(x)0，F(x)严格单调减小；当 ex+ 时， F(x)0，F(x)严格单调增加，因此，F(x) 在区间(0 ，e)和(e ，+)内分别至多有一个零点又 由闭区间上连续函数的零点定理知，F(x)在(e -3，e)和(e， e4)内
19、分别至少有一个零点综上所述，方程 在(0，+)内有且仅有两个不同的实根【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 解【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由积分中值定理可知，存在 使 又即 f()=f(0) 显然 f(x)在0，上满足罗尔中值定理的条件，从而可知，存在 c(0，) ，使 f(c)=0原题得证【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 解 l 由 可知 则 解2 令 x 一 2=t，则 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 解 1 解 2 令 则 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 则 【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 解 1
20、 解 2 由半角公式可得 解 3 用万能代换，令 则 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由对称性可知，所求心形线全长为 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由题设知 f(0)=0，(0)=0令 xt=u，得 从而 由导数定义可知 由于 从而可知 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 由于 所以 而 由夹逼原理可知，原式=【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 令 则 (x)在0，1上满足罗尔定理条件，存在 x0(0，1)，使 (x0)=0，即 又 “(x)=xf(x)+2f(x)0，上式中的 x0 是唯一的【知识模块】 一元函
21、数积分学33 【正确答案】 解 1 作 x 轴如图 26将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 =1+2+3 其中 1 是克服抓斗自重作的功，2 是克服缆绳重量所作的功； 3 是提出污泥所作的功由题设可知 1=40030=12 000 d2=50(30x)dx 从而 在时间间隔t，t+dt内提升污泥所作的功为 d 3=3(2 00020t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 所以 则共需作功 =1 2 000+22 500+57 000=91 500 (J) 解 2 以时间 t 为积分变量，在时间间隔t，t+dt内克服重力所作的功为 d=400+(30 3t)50+(2 00020t)=3dt 【知识模块】 一元函数积分学
