1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数2 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及 k 都有关3 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )4 下列反常积分收敛的是 ( )5 以下 4 个命题正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题6 设 f(x)是连续
2、函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_7 设 =_8 设 ，则 a=_9 设 =_10 =_11 =_12 设 f(sinx2)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_13 设 y=y(x)，若 ，且 x+时，y0，则y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0 ，1) 内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ (a 为常数)，又曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围的图形 S 的面积值为 2求函数 y=f(x)，并问 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小15 设函数 y(x
3、)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 z 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1-S2 恒为1，求此曲线 y=y(x)的方程16 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角的平面截此柱体，得一楔形体(如图 13-2)，求此楔形体的体积 V17 计算曲线 y=ln(1-x2)上相应于 的一端弧的长度18 求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数19 求极限20 设 f(x
4、)在(-，+) 内连续，以 T 为周期，则21 计算不定积分22 计算不定积分23 求定积分的值24 设常数 0a 1，求25 已知26 设 a，b 均为常数， a -2，a0，求 a，b 为何值时，使27 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 的值28 设 f(x)= ，求曲线 y=f(x)与直线 y= 所围成平面图形绕Ox 轴所旋转成旋转体的体积28 设29 证明：y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；30 求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 Oy 轴围成图形的面积考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选
5、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2 为周期的周期函数，所以又 esinxcos2x0，故选(A)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因为因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅是以 T 为周期的函数【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析
6、】 选项(A) 中，【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 设 f(x)=x，则 f(x)是 (-，+)上连续的奇函数，且 .但是故 f(x)dx发散，这表明命题，都不是真命题设 f(x)=x，g(x)=-x ，由上面讨论可知 g(x)dx 收敛，这表明命题是真命题故应选(A) 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(x3-1).3x2=1，f(x 3-1)= 令 x=2，即得 f(7)=【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 令 3x+1=t，x=【
7、知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 ln3【试题解析】 因【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 -ln(1-x)-x 2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得，分离变量，两边积分，再由已知条件得结果 y=e-x【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14
8、【正确答案】 由题设，当 x0 时， 据此并由f(x)在点 x=0 处的连续性，得 又由已知条件旋转体的体积为 令 V(a)=，故当 a=-5 时，旋转体体积最小【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 y-y=y(X-x)它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2令 p=y，则上述方程可化为注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 方法一 底面椭圆的方程
9、为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为，楔形体的体积 方法二 底面椭圆方程为以垂直于 x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其边长分别为 ，楔形体的体积【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 r()=-asin，由对称性得【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 (1)方法一【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 设，于是【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】
10、一元函数积分学24 【正确答案】 对后者作积分变换【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 令 I(a)= 上式两边对 a 求导得 I(a)=令 y=2ax，则 dy=2adx，所以由于 I(0)=0，所以C=0，令 a=1，得到【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 若 b-a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么所以，解得 a=b=8e2-2【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， ，则【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在 x+与 x 的极限，可知当 x0 时，y=y(x)与 y= 的交点横坐标为 x=1，且显然 0x1 时 所以所求旋转体体积其中，令 x=tant 得【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为其中，由洛必达法则得【知识模块】 一元函数积分学
