1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 18 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 m，n 均是正整数，则反常积分 的敛散性( )（A）仅与 m 的取值有关。（B）仅与 n 的取值有关。（C）与 m，n 的取值都有关。（D）与 m，n 的取值都无关。2 设 I1= ，则( )（A）I 1I 2 1。（B） 1I 1I 2。（C） I2I 11。（D）1I 2I 1。3 如图 3 一 15 所示，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设
2、F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )4 设函数 f(x)= ln(2+t)dt，则 f(x)的零点个数( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。5 设 Ik=0k sinxdx，其中 k=1，2，3，则有( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 2I 1。（C） I2I 3I 1。（D）I 2I 1 I3。二、填空题6 =_7 已知 -+ekx dx=1，则 k=_。8 反常积分 =_。9 设 F(x)= ，其中 x0，则 F(x)=_。10 设 =_。11 设 f(x)连续可导，导数不为 0，且 f(x)存在反函数 f-1(x)，又 F(x)是 f(x)的一个原
3、函数，则不定积分f -1(x)dx=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求 02f(x)dx，其中 f(x)=13 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x+ x)，证明： abf(x)dx=2f(x)dx。14 设 f(x)在0，1上有二阶连续导数，证明： 01f(x)dx= 01x(1 一 x)f“(x)dx。15 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 。16 设 f(x)连续，F(x)= 0sinxf(tx2)dt。 () 求 F(x)； ()试讨论函数 F(x)的连续性。17 设 f(x)在1，+)上连续，且 f(x)0，求 F(x)= 1x( +ln
4、t)f(t)dt(x1)的最小值。18 设直线 y=ax(0a1)与抛物线 y=x2 所围封闭图形的面积记为 S，它们与直线x=1 所围成的图形面积为 S2。试求 a 的值，使 S1+S2 最小，并求此最小面积。19 求曲线 r=3cos，r=1+cos 所围成的图形含于曲线 r=3cos 内部的公共部分的面积。20 计算对数曲线 y=lnx 上相应于 的一段弧的弧长。21 求直线 L： 绕 z 轴旋转所得旋转面与两平面 z=0，z=1 所围成的立体体积。22 设平面图形 A 由 x2+y22x 与 yx 所确定，求图形 A 绕 x=2 旋转一周所得旋转体的体积。23 设抛物线 y=ax2+b
5、x+c 过原点，当 0x1 时 y0，又已知该抛物线与 x 轴及直线x=1 所围图形的面积为 。试确定使此图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积 V最小的 a，b， c 的值。24 曲线 y=(x 一 1)(x 一 2)和 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y 轴旋转一周所成的旋转体体积。25 求圆弧 x2+y2=a2( ya)绕 y 轴旋转一周所得球冠的面积。26 一容器的内侧是由曲线 y=x2 绕 y 轴旋转而成的曲面，其容积为 72m3，其中盛满水，若将容器中的水从容器的顶部抽出 64m3，至少需做多少功? (长度单位：m，重力加速度为 g ms 2，水的密度为 103 kgm 3
6、。)27 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水。设桶的底半径为 R，水的密度为，计算桶的一个端面上所受的压力。28 设有一长度为 l、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点 M。试计算该棒对质点 M 的引力。考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 18 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由被积函数的形式知 x=0，x=1 是反常积分的两个瑕点，于是上式等价于 收敛(因 m，n 是正整数，则收敛；对于 的瑕点 x=1，当 x(1， 1)(0 )时 而收敛。所以选 D。【知识模块】 一元函数
7、积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 0x 时，有 sinxxtanx。故应选 B。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积，即 F(2)= ， F(3)是两个半圆面积 (半径分别为 1 和 )差，即 且 F(一 3)=03f(t)dt=一 -30f(t)dt=03f(t)dt=F(3)，因此应选 C。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，则 f(x)=2xln(2+x2)。 显然 f(x)在区间(一，+)上连续，且 f(一 1)f(1)=(一 2ln3)(2ln3)0，由零
8、点定理知， f(x)至少有一个零点。 又f“(x)=2ln(2+x2)+ 0，所以 f(x)在(一 ，+)上是单调递增的，因此 f(x)至多有一个零点。 所以 f(x)有且只有一个零点，故应选 B。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于当 x(，2)时 sinx0，可知 2 sinxdx0，也即 I2 一I10，可知 I1I 2。 又由于作变量代换 t=x 一 ，得 故sinxdx，由于当 x(，2)时 sinx0，又0，可知 3 sinxdx0，也即 I3 一 I10，可知 I3I 1。 综上所述，有 I2I 1I 3，故选 D。【知识模块】 一元函数积分学二、填
9、空题6 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 2【试题解析】 -+ekx dx=20+ekxdx=2 0bekxdx=1，因为极限存在，所以 k0。因此，解得 k=一 2。【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 【试题解析】 因为 F(x)= =0，所以 F(x)为常数。所以F(x)=F(1)= 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 xf -1(x)一 Ff-1(x)+C【试题解析】 由分部积分得 f -1(x)dx
10、=xf-1(x)一xdf -1(x)=xf-1(x)一ff -1(x)df-1(x) =xf-1(x)一 Ff-1(x)+C， 即不定积分f -1(x)dx=xf-1(x)一 Ff-1(x)+C。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由定积分区间的可加性并根据牛顿一莱布尼茨公式，有 02f(x)dx=01f(x)dx+12f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 由 f(x+ x)可知， f(x)的对称轴为 x= ，所以 f(x)=f(a+b 一 x)。【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 01x(1 一
11、x)f“(x)dx=x(1 一 x)f(x) 01 一 01(12x)f(x)dx =一(12x)f(x) 01 一 01(一 2)f(x)dx =f(0)+f(1)一 201f(x)dx，因此可得 01f(x)dx=01x(1 一 x)f“(x)dx。【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 令 x 一 t=u，则 0xf(x 一 t)dt=0xf(u)du，从而【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 () 设 u=tx2，则 dt= du。当 x0 时，有当 x=0 时，由题设 F(0)=0，根据导数定义，并结合洛必达法则及等价无穷小代换()当 x0 时，可知 F(x)连续。
12、由( )中求解过程可知又 (x2sinx)(2sinx+xcosx)=f(0)(2+1)=3f(0)，于是 F(x)=一 2f(0)+3f(0)=f(0)=F(0)。 即 F(x)在 x=0 处连续，从而 F(x)是连续函数。【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 由于 f(x)0，故 1xf(t)dt0，令 F(x)=0，则有 ，解得 x=2。当 1x2 时，F(x)= 1xf(t)dt0；当 x2 时，F(x)= 1xf(t)dt0。 所以 x=2 为 F(x)的极小值点，也是 F(x)的最小值点，故 F(2)= 12(1+ln2)一( +lnt)f(t)dt 为 F(x)的最小值
13、。【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 如图 38 所示，直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a， a2)。因此 S=S 1+S2=0a(axx2)dx+r(x2 一 ax)dxS1+S2 取得极小值，也是最小值，其值为。【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 曲线 r=3cos 是圆心为( ，0)，直径为 3 的圆；r=1+cos 是心形线，两曲线的交点为( )，如图 39)所示。 由于所求图形关于极轴对称，而上半部分又由 S1，S 2 两部分组成，且因此所求面积为 2(S1+S2)= 。 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 y= ，根据弧
14、长公式，弧长为【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 将直线方程 转化为关于 z 的表示形式，即用截距为 z 的水平截面截此旋转体所得截面为一个圆，半径为【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0。 由题设有 01(ax2+bx)dx=(1 一。)，又根据题意，旋转体的体积为 V= 01(ax2+bx)2dx= (1 一 a)2。令 Va=，代入 b 的表达式得 b=0，因此 a=一 时，V 取极小值，根据实际情况知当 a=一，c=0 时，体积最小。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 在1，2
15、上取积分元，得 dV=2xydx， V= 122xydx=一212x(x 一 1)(x 一 2)dx =一 212(x33x2+2x)dx= 。 即旋转体的体积为 。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 如图 311 所示，由对称性只需考虑 y 轴右半部分的圆弧。此部分 x0，因此可表示为 x= ya)，则 由旋转面的侧面积计算公式得【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 建立如图 312 所示的直角坐标系，当容器中的水深为 h 时，先求出容器中水的体积 V 和其深度 h 之间的关系，其体积微元为 dV=x2dy=ydy，体积为 V= 0hydy= h2。 当 V=72 时，
16、72= h2，则 h=12。 当 V=72 一 64=8时，8= h2，则 h=4。 根据功的计算公式，功的微元为 dW=10 3g(12 一 y)ydy W=103g412y(12 一 y)dy = g(J)，即所求的功为 gJ。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 桶的一个端面是圆形，根据题意，要计算的是当水平面通过圆心时，竖直放置的一个半圆的一侧所受到的水压力。 如图 3 一 13 所示，在这个圆片上取过圆心且垂直向下的直线为 x 轴，过圆心的水平线为 y 轴。此时半圆的方程为x2+y2=R2(0xR)。以 x 为积分变量，它的变化区间为0，R。设x，x+dx为0，R 上的任一
17、小区间，半圆上相应于x，x+dx 的位置上各点处的压强近似于gx，x，x+dx微元的面积近似于 。因此，x，x+dx微元所受水压力的近似值，即压力微元为【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 取坐标系如图 314 所示，使棒位于 y 轴上，质点 M 位于 x 轴上，棒的中点为原点 O。取 y 为积分变量，它的变化区间为上任一小区间，把细直棒上相应于y，y+dy 的一小段近似地看成质点，其质量为 dy，与 M 相距 r= 。因此按照两质点间的引力计算公式求出这小段细直棒对质点 M 的引力F 的大小为由图象可知 cos= ，从而求出 F 在水平方向分力Fx 的近似值，即细直棒对质点 M 的引力在水平方向分力 Fx 的元素为 dFx=Fcos=一 于是得引力在水平方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy=00 因此该棒对质点 M 的引力为一 。【知识模块】 一元函数积分学
