1、考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则有 ( )（A）I 123（B） I321（C） I231（D）I 2132 积分 ( )（A）（B）（C）（D）3 积分 ( )（A）（B）（C）（D）4 积分 ( )（A）（B）（C）（D）5 ( )（A）（B）（C） arctan(-cox2x)+C（D）6 积分 ( )（A）（B）（C）（D）7 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f(x)0，f(x)0,则I1、I 3、I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1
2、I3I2（D）I 3I2I18 设函数 f(x)在a，b上可积， ，则下列说法正确的是 ( )（A）(x)在a，b上可导（B） (x)在a ，b 上连续（C） (x)在a ，b 上不可导（D）(x)在a，b上不连续9 设 则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ10 设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题11 12 xx(1+Inx)的全体原函数为=_ 13 (arcsinx)2dx=_.14 15 若f(x)dxF(x)+C,且 x=atb(a0), 则f(t)dt=_.16 积分17 设 f(ex)=1+x，则
3、 f(x)=_18 积分19 将 分解为部分分式的形式为_20 设 f(x)的一个原函数为 lnx，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 求 f(x)dx22 求不定积分23 求不定积分24 已知 f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx，求xf(x)dx25 计算26 求27 求28 设 f(x)连续，且 f(0)1，令 F(t) f(x2y 2)dxdy(t0)，求 F“(0)29 计算二重积分30 考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首
4、先，由 可得 I2I 1其次，其中 故I3I 1，从而 I2I 1I 3，故选 D【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 设 x=t6，则 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，I 1 是梯形 AabB 的面积，I 2 是曲边梯形 AabB 的面积，I 3是长方形 A1abB 的面积由于 f(x
5、)0，f(x)0 ，y=f(x) 单调减少且图形为凹由图 131 可知 I3I2I1【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 B【试题解析】 当 f(x)在a，b 上连续时 在a，b上可导如果 f(x)只在a，b上可积，则只能保证 (x)在a，b上连续【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故 N=0，x 3e2 是奇函数，故所以 PNQ.【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 A【试题解析】 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一
6、个非零常数后就不再是奇函数了)，选项 A 中被积函数为奇函数，选项B，C 被积函数都是偶函数选项 D 中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数，应选 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题11 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 x x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 因为(x x)=(exlnx)=xz(1+lnx)，所以x x(1+lnx)dx=xx+C.【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 其中 C 为任意常
7、数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 F(t)+C ，其中 C 为任意常数【试题解析】 因 F(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+C.【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 xlnx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 设 u=ex，则 x=Inu，由 f(ex)=1+x，得 f(u)=1+lnu，f(u)=(1+lnu)du一 ulnu+C，因此 f(x)=xlnx+C【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试
8、题解析】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【试题解析】 由题设【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 因为 f(x)在(一，1)内连续，所以f(x)如在(一 ，1)内存在，因而f(x)dx 在 x=0 处连续可导，因此又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故此处的 C1 和 C2 是两个相互独立的常数【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由于xf(x)fx=xf(x)f(x)dx ，又由于(1+sinx)lnx 为 f(x)的一个原函数，【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 借助图 133，可得【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 因为 x4+1=(x2+1)2 一 2x2= 所以可令比较系数得，【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
