1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 4 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 己知 是 f(x)的一个原函数，求x 3f(x)dx2 求 dx3 求4 求5 求6 求 dx7 求8 求 (x+1)ln2(x+1)dx9 求定积分：()J= min2，x 2dx；()J= (1t )dt ，x110 设 n 为正整数，利用已知公式，I n= ，其中求下列积分：()J n= sinnxcosnxdx； ()J n= (x2)ndx11 求无穷积分 J= dx12 设 求 f(x)的原函数 F(x)13 设 f(x)=arcsin(x1) 2，f(0)=0
2、 ，求 f(x)dx14 设 a0， f(x)在( ， +)上有连续导数，求极限 f(t+a)f(ta)dt15 求 (x)tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数，(x) 为已知的可微函数16 设 f(x)在( ，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令()试求 A 的值，使 F(x)在(，+)上连续；()求 F(x)并讨论其连续性17 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= ，求f(x)18 求函数 f(x)= dt 在区间e，e 2上的最大值19 求星形线 L： (a0)所围区域的面积 A20 求下列旋转体的体积 V： ()由曲线
3、y=x2，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体； ( )由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体21 求双组线 r2=a2cos2(a0) 绕极轴旋转所成的旋转面的面积22 求功：()设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?23 求引力：() 在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a 处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为F= (M 为杆的质量)()设
4、有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环，垂直圆面， =b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式 F=k24 过曲线 y=x2(x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 ，求：( )切点 A 的坐标： () 过切点 A 的切线方程； ()由上述图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积25 设常数 ab，曲线 ：y= (x，) 的弧长为 l()求证：；()求定积分 J=26 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) f(xt)dt=sin 4x,求 f(x)在0， 上的平均值27 设 a0， f(x)在(0 ，+) 连续，求证：( ) dx； ()又
5、设f( )=f(x)(x 0)，则 dx28 设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 f(x)dx=0，求证：在a ，b上 f(x)=029 证明 In ，其中 n 为自然数30 证明定积分 I= sinx2dx031 证明：() lnsinxdx= lncosxdx；() lnsin2xdx= lnsinxdx；()lnsinxdx= ln232 证明 其中 p033 证明 dx=034 设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)f(y) Mxy，M为正的常数，求证：考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 4 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程
6、或演算步骤。1 【正确答案】 按题意：f(x)= x3f(x)dx x3df(x)=x3f(x)3x 2f(x)dx=x2cosxxsinx3(xcosxsinx)dx=x 2cosx 一 xsinx 一 3xdsinx一 3cosx=x2cosxxsinx 一(3xsinx+3cosx) 一 3cosx+C=x2cosx 一 4xsinx 一 6cosx+C【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 注意分解 1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1 一 x2+x4)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 先作恒等变形，然后凑微分即得【知识模块】 一元函
7、数积分概念、计算及应用4 【正确答案】 记 sgnx= 则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用5 【正确答案】 令 x=asint(t )，则【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得【试题解析】 先用凑微分法求或用变量替换令 t=tanx，则x=arctant，dx= 于是现用牛顿莱布尼茨公式即得 注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为由函数 0，上的原函数，它在积分区间0， 上也不连续，故不符合牛顿-莱布尼茨公式及其推广的条件用换元法令
8、t=tanx，则 a=tan0=0，=tan =1于是这当然也是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间0， 上【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 ()min2，x 2= 于是()当一 1x0 时，J=(1+x)2当 x0 时，J=(1 一 x)2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 ()J n=2n sinnudu，而()【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 因此【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案
9、】 当 x0 时，f(x)=sin2xdx= cos2x+C1；当 x0 时，f(x)=ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一 dx=xln(2x+1)一dx+ =xln(2x+1)一x+ ln(2x+1)+C2，为了保证 F(x)在 x=0 点连续，必须 C2= +C1 (*)特别，若取C1=0，C 2= 就是 f(x)的一个原函数若 C1 任意取值，C 2 满足(*)，即就是 f(x)的不定积分【试题解析】 本题的被积函数是分段定义的连续函数，则 f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义然而按照原函数的定义，F(x)=f(x)，即 F(x)必须是可导的，而且导数是 f(x)这样，
10、F(x) 首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数粘合在一起，构成一个整体的原函数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用13 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用14 【正确答案】 记 I(a)= f(t+a)一 f(t 一 a)dt，由积分中值定理可得 I(a)= f(+a)f(a).2a= f(+a)一 f(a)， 一 a a 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)= f().2a=f()，a+a于是f()=f(0)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及
11、应用16 【正确答案】 () 由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要 F(x)=A而 故令 A=0即可() 当 x0 时 F(x)= tf(t)dt在 x=0处，由导数定义和洛必达法则可得(*)所以又(*)故 F(x)在(一，+)上连续【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 因 f(x)= dt， (*)由 f(x)连续及 x2可导知 f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x).2x f(x)=x在(*) 式中令 x=0 可得 f(0)=
12、0于是(*)式两边积分 得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：0xa，0y【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 () 如图 32，交点(0，0) ，(1， 1)，则所求体积为()
13、如图33，所求体积为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0， 面积S=2.2 d由 r2=a2cos2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 ()(微元法) 以球心为原点，x 轴垂直向上，建立坐标系(如图35) 取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx一 1，0 ，相应的球体小薄片，其重量(即体积) 为 (1 一 x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功 dw1=(1+x)(1 一x2)dx因此，对下半球做的功 w1= (1+x)(1 一 x2)dx
14、取上半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx 0，1，相应的小薄片，其重量为 (1 一 x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功 dw2=(1 一 x2)dx因此，对上半球做的功 w2= (1 一 x2)dx于是，对整个球做的功为()建立坐标系如图36取 x 为积分变量，x0，R x，x+dx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R2x 2)dx，又比重 =1，于是把这层水抽出需做功dw=x(R2 一 x2)dx因此，所求的功【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 () 如图 37 建立坐标系，取杆的右端为原点，x 轴正向指向质点 P 任
15、取杆的一段x，x+dx ，它对质点 P 的引力为因此，杆与质点 P 间的引力大小为其中 M 是杆的质量( )如图 38，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s 到 s+ds 的一段微元 与方向的分力为 dF=k，于是整个圆环对 P 点的引力为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 如图 39()设点 A(x0， )，点 A 处的切线方程令y=0 按题意 解得 x0=1 A(1，1)( )过 A 点的切线 y=2x 一 1( )旋转体体积 V=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 ()：y 2=(x 一 a)(b 一 x)=
16、x 2+(a+b)x 一 ab，两边对 x 求导得()曲线：y= ，0)为圆心，半径为的半圆周由题()：=a，= ，则对应的 长 l=圆周长的【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 令 xt=u，则 f(u)du于是两边积分故 f(x)在0，【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 () 按要证的等式，将等式左端改写可得()按题设，对左端作变换 t=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用28 【正确答案】 由定积分的性质【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用29 【正确答案】 利用被积函数的结合性，原式改写成 In= cosn1 xcosxsi
17、nnxdx，两式相加得 现得递推公式 2I n=+2n1 Jn1 令 Jn=2nJn，得 Jn= +Jn1 由此进一步得注意J0=0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用30 【正确答案】 先作变量替换 t=x2(x= dt被积函数在0，2上变号，t(0，)时取正值，t(，2) 时取负值，于是把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 被积函数，若补充定义 f(0)=0，则 f(t)在0，连续，且 f(t)0(t(0，)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用31 【正确答案】 ()J= lncostdt()()由题()与题() 得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用32 【正确答案】 【试题解析】 要将积分作恒等变形，可供考虑的方法是分部积分法【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用33 【正确答案】 使用换元积分法令 x= +t，则这是由于被积函数是奇函数，积分区间是对称的【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用34 【正确答案】 将 分别表成代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
