1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 F(x)=xx+2f(t)dt,其中 f(t)= cos2t 则 F(x)（A）为正数（B）为负数（C）恒为零（D）不是常数2 设 f(x)为( 一，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= 0x(2tx)f(x 一 t)dt，则F(x)是（A）单调增加的奇函数（B）单调增加的偶函数（C）单调减小的奇函数（D）单调减小的偶函数3 下列可表示由双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 围成平面区域的面积是二、填空题4 由曲线 x=a(t 一 sint)，y
2、=a(1 一 cost)(0t2)(摆线)及 x 轴围成平面图形的面积S=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 比较定积分 的大小6 证明下列不等式：7 设 f(x)在(a，b)上有定义，c (a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问 f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么 ?8 已知 f(x)= 在(一，+)存在原函数，求常数 A 以及f(x)的原函数9 计算下列不定积分：10 求下列积分：(I)设 f(x)= ()设函数 f(x)在0，1连续且01f(x1)dx=A，求 01dxx)f(x)f(y)dy11 计算下列反常积分：12 假
3、定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明：13 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，求证： abf(x)dx= (b 一 a)f(a)+f(b)+ abf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx14 设 f(x)与 g(x)在a，b 上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明： (b一 a)abf(x)g(x)dxabf(x)dxabg(x)dx (*)15 设 f(x)在a，b有二阶连续导数，M= 证明：16 设 f(x)= ，求 f(x)17 设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求18 求曲线 的全长19 求曲线 r=a(1+cos)的曲率20
4、 求下列旋转体的体积 V： (I)由曲线 x2+y22x 与 yx 确定的平面图形绕直线 x=2旋转而成的旋转体； ()由曲线 y=3 一|x 2 一 1|与 x 轴围成封闭图形绕直线 y=3 旋转而成的旋转体21 求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积22 求曲线 x=acos3t，y=asin 3t 绕直线 y=x 旋转一周所得曲面的面积23 边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深h 处，设 a b，液体的比重为 y，求薄板受的液体压力24 设有一半径为 R，长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中
5、(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?25 求星形线 的质心，其中 a0 为常数26 求由曲线 x2=ay 与 y2=ax(a0)所围平面图形的质心 (形心)( 如图 332)27 设函数 f(x)在0，上连续，且 0f(x)sinxdx=0， 0f(x)cosxdx=0证明：在(0，)内 f(x)至少有两个零点28 设 f(x)在( 一，+)连续，以 T 为周期，令 F(x)=0xf(t)dt，求证：(I)F(x)一定能表成：F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数；()()若又有 f(x)0(x(一，
6、+)，n 为自然数，则当 nTx(n+1)T 时，有 n 0Tf(x)dx0xf(t)dt(n+1) 0Tf(x)dx考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故 F(x)=F(0)=02f(t)dt=20f(t)dt，即 F(x)为常数 ?由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 2 0f(t)dt= (1+sin2t)d(sin2t)=0一 (2+sin2t)dt 0，故应选(B)【
7、知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用2 【正确答案】 C【试题解析】 对被积函数作变量替换 u=xt，就有 F(x)= 0x(2tx)f(x-t)dt=0x(x 一2u)f(u)du=x0xf(u)du 一 20xuf(u)du 由于 f(x)为奇函数，故 0xf(u)du 为偶函数，于是 x0xf(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 0xuf(u)du 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 F(x)= 0xf(u)du+xf(x)-2xf(x)=0xf(u)duxf(x)， 由积分中值定理知在0 与 x 之间存在 使得 0xf(u)du=xf()从而 F(x)=xf()一
8、f(x)，无论 x0，还是x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0，从而应选(C) 其实，由 F(x)=0xf(u)du一 xf(x)=0xf(u)一 f(x)du 及 f(x)单调增加也可得 F(x)0【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用3 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线的极坐标方程是：r 4=r2(cos2 一 sin2)即 r2=cos2当 一，时，仅当 时才有 r0(图 324) 由于曲线关于极轴与 Y 轴均对称，如图 324，只需考虑 部分由对称性及广义扇形面积计算公式得 故应选(A)【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用二、填空题4 【正确答案】 3a 2【试题
9、解析】 当 t0，2时，曲线与 x 轴的交点是 x=0，2a( 相应于 t=02)，曲线在 x 轴上方，见图 325于是图形的面积=02a2(1-cost)2dt=a202(1-2cost+cos2t)dt=3a2【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小这里被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用6 【正确答案】 (I)设 f(x)= 则 f(x
10、)在区间0，1上连续，且可见函数 f(x)在点 处取得它在区间0， 1上的最小值 又因 f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用7 【正确答案】 设 F(x)是 f(x)在(a ，b)的原函数考察由于 x=c 是 f(x)的第一类间断点，故 存在，但不相等，即 F+(c)F-(c)即 F(c)f(c)这都与 F(x)是 f(x)在(a， b)的原函数相矛盾因此 f(x)在(a，b) 不存在原函数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用8 【正确答案】 易求得仅当 A=0 时f(x)在 x=0 连续于是
11、 f(x)在(一 ，+)连续，从而存在原函数当 A0 时 x=0 是f(x)的第一类间断点，从而 f(x)在(一 ，+)不存在原函数因此求得 A=0下求f(x)的原函数 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数 当 x0 时，当 x0 时，取 C1=0，随之取 C2=1，于是当 x0 -时与 x0 +时f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的一个原函数 因此 f(x)dx=F(x)+C，其中C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用9 【正确答案】 (I)采
12、用凑微分法，并将被积函数变形，则有()如果令计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 而第二个积分可使用代换 x=sint，则()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)=acosxbsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosxbsinx)()记原式为 J，先分项：()记原积分为 J【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用10 【正确答案】 ()令(x)=x1f(y)dy，则 (x)=一 f(x)，于是 01dxx1f(x)f(y)
13、dy=01x1f(y)dyf(x)dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用11 【正确答案】 (I)这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为即 ，代入即得【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用12 【正确答案】 令 ，则当 x+ 时，t+，x0+时，t 一 ；x0-时，t+；x一时，t一，故应以 0 为分界点将(*)式左端分成两部分，即即(*)式成立【知识模块】 一元函数积分概念、计算
14、及应用13 【正确答案】 连续利用分邵积分有 abf(x)dx=abf(x)d(x 一 b)=f(a)(b 一 a)一 abf(x)(x 一 b)d(x 一 a) =f(a)(b 一 a)+ab(x-a)df(x)(x 一 b) =f(a)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)+abf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx =f(a)(b 一 a)+f(b)(b 一 a)一 abf(x)dx+abf“(x)(xa)(x 一 b)dx，移项后得 abf(x)dx= (b 一 a)f(a)+f(b)+ abf“(x)(x 一 a)(x 一 b)dx【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
15、14 【正确答案】 引进辅助函数 F(x)=(x 一 a)axf(t)g(t)dt 一 axf(t)dtaxg(t)dt 转化为证明 F(x)0(xa，b) 由 F(a)=0， F(x)= axf(t)g(t)dt+(x 一 a)f(x)g(x)一 f(x)axg(t)dtg(x)axf(t)dt =axf(t)g(t)一 g(x)dtaxf(x)g(t)一 g(x)dt =axf(t)一 f(x)g(t)一 g(x)dt0(xa，b) 其中(x 一 a)f(x)g(x)=axf(x)g(x)dt，我们可得 F(x)在a，b单调不减,F(x)F(a)=0(xa，b) ，特别有 F(b)0 即原
16、式成立。【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用17 【正确答案】 本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 与 g(xt)不含 x 才可以求导令由积分中值定理，在0 与 x 之间存在 ，使 0xg(u)du=xg()，于是有【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用19 【正确答案】 曲线的参数方程为 x=rcos=a(1+cos)cos，y=rsin=a(1+c
17、os)sin， x=一 asin(1+2cos)=一 a(sin+sin2)，y=a(cos+cos2)， x 2+y2=a22(1+cos)=2ar，x”= 一 a(cos+2cos2)，y”=一 a(sin+2sin2) xy”一 x“y=a2(sin+sin2)(sin+2sin2)+(cos+cos2)(cos+2cos2) =3a2(1+cos)=3ar因此，曲率【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用20 【正确答案】 (I)对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割作水平分割该平面图形如图 326上半圆方程写成 (0y1)任取 y 轴上0， 1区间内的小区间 y，y+dy
18、，相应的微元绕 x=2 旋转而成的立体体积为()曲线 y=3一|x 21|与 x 轴的交点是(一 2，0)，(2，0) 曲线 y=f(x)=3 一|x 21|与 x 轴围成的平面图形，如图 327 所示 显然作垂直分割方便任取x，x+dx 一 2，2，相应的小竖条绕 y=3 旋转而成的立体体积为 dV=3 2 一(3 一 f(x)2dx=(9 一|x 2 一1|2)dx，于是 V= -229 一(x 2 一 1)2dx=2029 一(x 42x2+1)dx=【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用21 【正确答案】 取底圆所在平面为 Oxy 平面，圆心 O 为原点，并使 x 轴与劈锥的顶平行
19、，底圆方程为 x2+y2=R2过 x 轴上的点 x(一 RxR)作垂直于 x 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形，底边长即 高为 h，该截面的面积为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用22 【正确答案】 如图 329，曲线关于 y=x 对称，只需考察 一段曲线现在没有现成的公式可用用微元法导出旋转面的面积公式任取曲线的小微元，端点坐标为(x(t)，y(t)=(acos 3t，asin 3t)，它到直线 y=x 的距离为 l(t)=曲线微元的弧长 =3a|sintcost|dt，它绕 y=x 旋转所得曲面微元的面积为 dS=2l(t)ds= 3a|sintcost|dt，因此整个旋转面的面积
20、为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用23 【正确答案】 建立坐标系如图 330 所示，x 轴铅直向下一长边的深度为 h，另一长边的深度为 h+bsin，在h ，h+bsin 中任取x，x+dx，相应的薄板上一小横条，长 a，宽 ，于是所受的压力为【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用24 【正确答案】 任取小区间x，x+dx 一 R，R相应的柱体薄片，其体积为移至水面时薄片移动的距离为 R 一 x，所受的力(重力与浮力之差)为 ，因而移至水面时做的功为整个移出水面时，此薄片离水面距离为 R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为 (R+x)2l. ，于是对薄片做的功为【知识模块】
21、一元函数积分概念、计算及应用25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用26 【正确答案】 两曲线的交点是(0，0)，(a ，a)设该平面图形的质心(形心)为(x，y)，则由质心 (形心)公式有 同样计算或由对称性可知【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用27 【正确答案】 反证法如果 f(x)在(0 ，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x) 0(或0)，由于在(0，)内，亦有 sinx0，因此，必有0f(x)sinxdx0(或0) 这与假设相矛盾。 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0
22、，a)与(a，) 内 f(x)sin(x 一 a)同号，因此 0f(x)sin(x 一 a)dx0但是，另一方面 0f(x)sin(x 一 a)dx=0f(x)(sinxcosacosxsina)dx =cosa0f(x)sinxdx 一 sina0f(x)cosxdx=0. 这个矛盾说明 f(x)也不能在(0，) 内只有一个零点，因此它至少有两个零点【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用28 【正确答案】 (I)即确定常数 k，使得 (x)=F(x)一 kx 以 T 为周期由于 (x+T)=F(x+T)一 k(x+T)=0xf(t)dt-kx+xx+Tf(t)dt 一 kT=(x)+0Tf(t)dt 一 kT，因此，取，(x)=F(x)一 kx，则 (x)是以 T 为周期的周期函数此时()不能用洛必达法则因为不存在，也不为但 0xf(t)dt 可表示成(x)在(一，+) 连续且以 T 为周期，于是，(x)在0，T有界，在(一，+) 也有界因此()因 f(x)0，所以当nTx(n+1)T 时，n 0Tf(t)dt=0nTf(t)dt0xf(t)dt 0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)0Tf(t)dt【知识模块】 一元函数积分概念、计算及应用
