1、考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 直线 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面方程为 ( )（A）4x 2+4y2+z2=4（B） 4x2+4y2-z2=4（C） z2+y2+4z2=4（D）x 2+y2-4z2=42 已知曲面 z=x2+y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是 ( )（A）(1 ，-1，2)（B） (-1，1，2)（C） (1，1，2)（D）(-1，-1，2)3 设平面方程为 Ax+CxZ+D=0，其中 A，C ，D 均不为零，则平面 ( )（A）
2、平行于 x 轴（B）平行于 y 轴（C）经过 x 轴（D）经过 y 轴4 已知向量，则 B 的坐标为 ( )（A）(10 ，-2，1)（B） (-10，-2，1)（C） (10，2，1)（D）(10 ，-2，-1)5 已知等边三角形ABC 的边长为 1，且 ，则a.b+b.c+c.a= ( )6 过点 P(2，0，3)且与直线 垂直的平面的方程是 ( )（A）(x-2)-2(y-0)+4(z-3)=0（B） 3(x-2)+5(y-0)-2(z-3)=0（C） -16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=0（D）-16(x+2)+14(y-0)+11(z-3)=07 已知 ，且 a 与 b
3、 不平行，则以 OA、OB 为邻边的平行四边形OACB 的对角线 OC 上的一个单位向量为 ( )8 已知a=1，b= ，则a+b= ( )9 曲线 x2+y2+z2=a 与 x2+y2=2az(a0)的交线是 ( )（A）抛物线（B）双曲线（C）圆（D）椭圆10 设直线 L 为 平面 为 4x-2y+z-2=0，则 ( )（A）L 平行于 （B） L 在 上（C） L 垂直于 （D）L 与 相交但不垂直二、填空题11 设 A=2a+b，B=ka+b，其中a=1 ，b=2，且 ab若 AB，则 k=_12 点(-1，2， 0)在平面 x+2y-z+1=0 上的投影为_13 点(1 ，2，1)
4、到平面 x+2y+2z-13=0 的距离是_14 已知a 2，b=2， ，则 u=2a-3b 的模u=_15 过三点 A(1，1，-1)， B(-2，-2，2)和 C(1，-1，2)的平面方程是_16 三平面 x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=3 的交点是_17 xOz 坐标面上的抛物线 z2=-x-2 绕 x 轴旋转而成的旋转抛物面的方程是_18 设 a=(3，-5，8)，b=(-1，1，z)，a+b=a-b，则 z=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 求直线 在平面 ：x-y+3z+8=0 的投影方程20 求直线 旋转一周所产生的曲面方程20 设曲
5、线 L 是抛物柱面 x=2y2 与平面 x+z=1 的交线21 求曲线 L 在各个坐标平面上的投影曲线；22 求曲线 L 分别绕各个坐标轴旋转一周的曲面方程22 设有曲面 S：2x 2+4y2+z2=4 与平面 ：2x+2y+z+5=0，试求23 曲面 S 上的点及其上的切平面与法线方程，使该切平面与平面 平行；24 曲面 S 与平面 的最短距离25 设 n 是曲面 2x2+3y2+z2=6 在点 P(1，1，1)处的指向外侧的法向量，求函数 u=在此处沿方向 n 的方向导数考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
6、。1 【正确答案】 B【试题解析】 设旋转曲面上点 P(x，y，z) 是由直线 L 上的点(x 1，y 1，z 1)绕 z 轴旋转得到，则有 因为 x1=1，z 1=2y1，所以有 x2+y2=1+ ，故所求曲面方程为 4(x 2+y2)-z2=4，故应选(B) 【知识模块】 向量代数与空问解析几何2 【正确答案】 D【试题解析】 切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，可知切平面的法向量为(2，2， 1) 又由 z=x2+y2 可得曲线切平面的法向量 (zx，z y，-1)=(2x，2y，-1) 令(2x， 2y，-1)(2，2，1)，解得 x=-1，y=-1，代入 z=x2+y2，解得
7、z=2所以，P点坐标为(-1， -1，2)【知识模块】 向量代数与空问解析几何3 【正确答案】 B【试题解析】 平面 Ax+Cz+D=0 的法向量 n=(A，0，C) ，易见 nj而 j 是 xOz平面的法向量，故该平面与 xOz 平面垂直又因为 D0，它不过原点，从而与 y轴平行(但不经过 y 轴) 应选(B)【知识模块】 向量代数与空问解析几何4 【正确答案】 C【试题解析】 设 B(x，y，z)，则 cos=，所以 x-4=6，y=2，z-5=-4，即知 x=10，y=2，z=1【知识模块】 向量代数与空问解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 a.b=ab cos 而a=1 ，b=1
8、， (如图14-1 所示)，从而 a.b=- ；类似地可得， 所以应选(D)【知识模块】 向量代数与空问解析几何6 【正确答案】 C【试题解析】 所求平面 的法向量 n 可取为已知直线的方向向量 s=(1，-2 ，4)(3，5，-2)=(-16，14，11)故 的方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(z-3)=0 【知识模块】 向量代数与空问解析几何7 【正确答案】 A【试题解析】 由向量加法运算的几何意义，以 a、b 为邻边的平行四边形对应的对角线向量为 a+b，故它的单位向量为 应选(A) 【知识模块】 向量代数与空问解析几何8 【正确答案】 D【试题解析】 a+b 2=(a+b)
9、.(a+b)=a 2+2a.b+b=1+2abcos，应选(D)【知识模块】 向量代数与空问解析几何9 【正确答案】 C【试题解析】 x 4+y2+z2=a2 表示球心在原点、半径为 a 的球面，而 x2+y2=2ax 表示顶点在原点、开口向上的旋转抛物面，即可知它们的交线是圆应选(C)【知识模块】 向量代数与空问解析几何10 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s= =(-28，14，-7)，平面 的法向量为 n=(4，-2 ，1)，因此 s 与 n 平行，从而直线 L 与平面丌垂直故选(C) 【知识模块】 向量代数与空问解析几何二、填空题11 【正确答案】 -2【试题解析
10、】 由于 AB，故有(2a+b).(ka+b)=0，又因 ab，所以即可得2ka 2+b 2=0，2k+4=0，k=-2 【知识模块】 向量代数与空问解析几何12 【正确答案】 【试题解析】 过点(-1，2，0)且与平面 x+2y-z+1=0 垂直的直线为 L：它和平面的交点应满足方程组【知识模块】 向量代数与空问解析几何13 【正确答案】 2【试题解析】 点(1，2，1)到平面 x+2y+2z-13=0 的距离【知识模块】 向量代数与空问解析几何14 【正确答案】 【试题解析】 u 2=u.u=(2a-3b).(2a-3b)=4a 2-6b.a-6a.b+9b 2 =4a 2-12a.b+9
11、b 2=44-12abcos +94=16-1222 +36=28，所以u=【知识模块】 向量代数与空问解析几何15 【正确答案】 x-3y-2z=0【试题解析】 所求平面法向量可取为 n= =(-3，-3，3)(0，-2，3)=(-3，9，6) ，或取 n=(1，-3，-2)又平面过点(1，1，-1)，从而所求平面方程为(x-1)-3(y-1)-2(z+1)=0，即 x-3y-2z=0【知识模块】 向量代数与空问解析几何16 【正确答案】 (1，-1 ，3)【试题解析】 只需求解三元一次方程组 容易解得：x=1，y=-1，z=3【知识模块】 向量代数与空问解析几何17 【正确答案】 y 2+
12、z2=x-2【试题解析】 xOz 面上曲线 f(x，z)=0 绕 x 轴旋转而得的旋转曲面方程为【知识模块】 向量代数与空问解析几何18 【正确答案】 1【试题解析】 a+b=(2，-4，8+z)，ab=(4，-6，8-z)a+b= ，a-b= 由a+b=a-b知，20+(8+z)2=52+(8-z)2，得 z=1或者由a+b =a-b知 ab(其几何意义是，a+b表示以 a，b 为邻边的平行四边形的一条对角线向量，而 a-b 则表示另一条对角线向量两对角线长度相等的平行四边形必是矩形，故可知 ab)，a.b=0，由此可得-3-5+8z=0，亦得 z=1【知识模块】 向量代数与空问解析几何三、
13、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 先求出一平面 1，使它过直线 L 垂直于平面 设直线 L 的方向向量为 s，平面 1 的法向量为 n1，平面丌的法向量为 n，则 n1s，n 1n，而下面再求出 L 上的某点坐标为此，在方程 中令 x=0，得 y=4，z=-1，则平面 1 过点(0，4，-1)于是其方程 1 为 x-0-2(y-4)-(z+1)=0，即 x-2y-z+7=0因直线 L 在平面 上的投影既在平面 上，又在平面 1 上，因而其方程为【知识模块】 向量代数与空问解析几何20 【正确答案】 设点 M0(x0，y 0，z 0)为直线 L 上一点，当直线 L
14、 绕 L1 旋转时，点M0 旋转到点 M(x，y，z)，此时有将式代入式 ，得到(x-2) 2+(y-3)2=(2z+3)2+(3z+1)2，即 x 2+y2-13z2-4x-6y-18z+3=0【知识模块】 向量代数与空问解析几何【知识模块】 向量代数与空问解析几何21 【正确答案】 因抛物柱面 x=2y2 的母线平行于 z 轴，故 x=2y2 就是该交线 L 关于 xOy 坐标平面的投影柱面，因此，交线 L 在 xOy 平面上的投影是一条抛物线平面 x+z=1 可以看成母线平行于 y 轴的柱面，故 x+z=1 就是该交线 L 关于 xOz 坐标平面的投影柱面，因此，交线 L 在 xOz 平
15、面上的投影是一条射线从方程 x=2y2 与 x+z=1 中消去变量 x，得 2y2+z=1，它就是该交线 L 关于 yOz 平面的投影柱面，因此，交线 L 在 yOz 平面上的投影是一条抛物线【知识模块】 向量代数与空问解析几何22 【正确答案】 因曲线，则曲线 L绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为 y2+z2= x+(1-x)2因曲线 L 的以 y 为参数的参数方程为 (-y+) ，则曲线 L 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 x2+z2=4y2+(1-2y2)2因曲线 L 的以 z 为参数的参数方程为 ，(z1)，则曲线 L 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为 x2+y2=(1-z)2+
16、 (1-z)【知识模块】 向量代数与空问解析几何【知识模块】 向量代数与空问解析几何23 【正确答案】 在曲面 S 上任取一点 P(，)，记 F(x，y，z)=2x 2+4y2+z2-4，则于是，曲面 S 在点 P 处的切平面为 4(x-)+8(y-)+2(z-)=0，即 2x+4y+z-4=0 因该切平面与平面 平行，即其法向量n1=2i+4j+k 与 n=2i+2j+k 平行， 把它们代入曲面 S 的方程得 2=1，=1 ，于是，所求的点为，且它们所对应的切平面方程分别为2x+2y+z-4=0 与 2x+2y+z+4=0，它们所对应的法线方程分别为【知识模块】 向量代数与空问解析几何24
17、【正确答案】 曲面 S 上点 (x，y，z)到平面丌的距离 d= 2x+2y+z+5，现欲求曲面 S 与平面 的最短距离，它等价于求函数 f(x，y，z)=(2x+2y+z+5) 2 在条件2x2+4y2+z2=4 约束下的最小值的条件极值问题构造辅助函数 F(x，y，z ，)=(2x+2y+z+5)2+(2x2+4y2+z2-4)，令【知识模块】 向量代数与空问解析几何25 【正确答案】 令 F(x，y，z)=2x 2+3y2+z2-6，则 Fx P=4x P=4，F y P=6y P=6，F z P=2z P=2，故 n=(Fx，F y，F z)=(4，6，2)，n= 方向余弦为【知识模块】 向量代数与空问解析几何
