1、考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲面 x2+4y2+z2=4 与平面 x+z=a 的交线在 yOz 平面上的投影方程是 ( )2 在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在3 直线 ，之间的关系是 ( )（A）垂直（B）平行（C）相交但不垂直（D）为异面直线4 两条平行直线 之间的距离为 ( )5 曲线 在点(1，-1，0)处的切线方程为 ( )6 曲面 上任一点的切平面在三个
2、坐标轴上的截距的平方和为 ( )（A）48（B） 64（C） 36（D）167 设 a，b，c 为非零向量，则与 a 不垂直的向量是 ( )（A）(a.c)b-(a.b)c（B）（C） ab（D）a+(ab)a8 与直线 都平行，且过原点的平面 的方程为 ( )（A）x+y+z=0（B） x-y+2=0（C） x+y-z=0（D）x-y+z+2=09 直线 与平面 ：x-y+2z+4=0 的夹角为 ( )10 曲线 在平面 xOy 上的投影柱面方程是 ( )11 曲面 上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为 ( )二、填空题12 过直线 的平面方程是_13 曲面 z-ez+2xy=3
3、在点(1，2，0)处的切平面方程为_14 两平面 x-2y+2z-4=0 与 2x-y-2z-5=0 的交角 =_，它们的二面角的平分面方程为_15 经过点 M0(1，-1，1) 并且与两直线都相交的直线 L 的方程为_16 经过点 A(1，0，0) 与点 B(0，1，1)的直线绕 z 轴旋转一周生成的曲面方程是_17 函数 u=ez-z+xy 在点(2，1，0)处沿曲面 ez-z+xy=3 的法线方向的方向导数为_18 设向量 a=(3，-4，2)，轴 u 的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量 a 在轴 u 上的投影为 _；(2) 向量 a 与轴 u 正向的夹角 =_19 点
4、(1 ，2，3) 到直线 的距离为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求过两点 A(0，1，0) ， B(-1，2，1) 且与直线 x=-2+t，y=1-4t，z=2+3t 平行的平面方程21 求函数 f(x，y)=x 2-xy+y2 在点 M(1，1)沿与 z 轴的正向组成 角的方向 l 上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于 022 设有方程 试证：gradu=2 A.gradu ，其中 A=(x，y，z)23 记曲面 z=x2+y2-2x-y 在区域 D：x0，y0，2x+y4 上的最低点 P 处的切平面为，曲线 在点 Q(
5、1，1，-2)处的切线为 l，求点 P 到直线 l 在平面 上的投影 l的距离 d24 设在平面区域 D 上数量场 u(x，y)=50-x 2-4y2，试问在点 P0(1，-2) D 处沿什么方向时 u(x，y) 升高最快，并求一条路径，使从点 P0(1，-2)处出发沿这条路径u(x，y)升高最快考研数学一（向量代数与空问解析几何）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，曲面与平面的交线在 yOz 平面上的投影应在 yOz 平面上，故=0，因而选项(B)和(D)不对又曲面与平面的交线在 yOz 平面上的投
6、影柱面方程应不含变量 x，故选项(C)也不对应选(A)【知识模块】 向量代数与空问解析几何2 【正确答案】 B【试题解析】 对应于 t0 处曲线切线的方向向量为 =(1，-2t 0，3t 02)，该切线与平面x+2y+z=4 平行 与该平面的法向量 n=(1，2，1)垂直【知识模块】 向量代数与空问解析几何3 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 与直线 L2 的方向向量分别为 1=(2，3，4)， 2=(1，1，2)，显然既不平行也不垂直直线 L1 与直线 L2 分别过点 M1(0，-3，0)和 M2(1，-2，2)混合积 直线L1 与直线 L2 相交但不垂直【知识模块】 向量代数与空问
7、解析几何4 【正确答案】 B【试题解析】 连接直线 L1 上点 M1(1，-1，0) 与直线 L2 上点 M2(2，-1，1) 的向量为 (1，0，1) ，L 1 的方向向量 =(1，2，1)，则 d=【知识模块】 向量代数与空问解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，-1，0)处的法向量为 n1=(2，-2，0)，平面z+y+z=0 的法向量为 n2=(1，1，1)，于是，曲线 S： 在点(1，-1，0)处的切向量为 =n 1n2=(-2，-2，4)，故所求切线方程为【知识模块】 向量代数与空问解析几何6 【正确答案】 B【试题解析】 曲面 上任一点
8、P(x，y，z) 处的法向量为，在点 P(x，y，z) 处的切平面方程为【知识模块】 向量代数与空问解析几何7 【正确答案】 D【试题解析】 因 ab a.b=0对于(A) ，a.(a.c)b-(a.b)c=0；对于(B)，a.=0；对于(C)，a.(ab)=0；对于(D)，a.a+(ab)a=a 20，所以答案选择(D) 【知识模块】 向量代数与空问解析几何8 【正确答案】 B【试题解析】 设 L1 的方向向量为 s1，L 2 的方向向量为 s2，平面丌的法向量为 n，则 ns1，ns 2，故 n=s1s2= =-(i-j+k)又因平面过原点，故答案选择(B)【知识模块】 向量代数与空问解析
9、几何9 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知直线 L 的方向向量为 s=(2，1，1)，平面丌的法向量为n=(1，-1 ，2)设直线 L 与平面 的夹角为 ，则 sin=，选(C)【知识模块】 向量代数与空问解析几何10 【正确答案】 A【试题解析】 投影柱面方程是一个关于 x，y 的二元方程，仅(A)入选事实上，(B)中方程中含 z 不可能是 L 在平面 xOy 上的投影的柱面方程，而(C)，(D) 中方程表示曲线【知识模块】 向量代数与空问解析几何11 【正确答案】 A【试题解析】 令 曲面上任意一点P0(x0，y 0，z 0)处的切平面方程为【知识模块】 向量代数与空问解析几何二、填空
10、题12 【正确答案】 5x-y-z-3=0 或 x+y-z-1=0【试题解析】 已知直线 的一般式方程为显然平面 3x-z-2=0 不符合题意，可设过该直线的平面束方程为 ：(2+3)x-y-z-(1+2)=0，由点(2，2，2)到 的距离为，得 化简得 2=1，=1 当 =1 时，对应一个平面 1：5x-y-z-3=0； 当 =-1 时，对应另一个平面 2：x+y-z-1=0 【知识模块】 向量代数与空问解析几何13 【正确答案】 2x+y-4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=z-ez+2xy-3，则 F x(x，y，z) (1,2,0)=4， Fy(x，y，z) (1，2，0) =
11、2，F z(x，y，z) (1，2， 0)=0，所以，切平面的法向量为(4，2， 0)，由点法式得出切平面的方程为 2x+y-4=0【知识模块】 向量代数与空问解析几何14 【正确答案】 ；x+y-4z-1=0 及 x-y-3=0【试题解析】 x-2y+2z-4=0 的法向量可写为 n1=(1，-2 ，2)，2x-y-2z-5=0 的法向量n2=(2，-1 ，-2)求二面角的角平分面方程的方法有多种 方法一 用平面束方程： x-2y+2z-4+(2x-y-2z-5)=0，即(2+1)z-(+2)y+(2-2)z-4-5=0它与平面 x-2y+2z-4=0 的二面角等于它与平面 2x-y-2z-
12、5=0 的二面角由夹角公式可得 2+1+2(2+)+2(2-2)=2(2+1)+(2+)-2(2-2)，即 9= 9，所以 =1，相应的两个平面如上所填 方法二 设点 P(x，y， z)为要求的平分面上任意一点，则该点到两平面的距离相等，即即 x-2y+2z-4=(2x-y-2z-5)，化简即得如上所填【知识模块】 向量代数与空问解析几何15 【正确答案】 【试题解析】 方法一 L 1 的方向向量取 1=(1，-2，1)L 1 上取一点，例如取点M1(0，-2，3)M 0 与 M1 连线的方向向量可取 2=(1，1，-2)由 M0 与 L1 决定的平面 P1 的法向量既与 1 垂直，又与 2
13、垂直，所以 P1 的法向量可取 n1=12=(3，3，3)=3(1 ， 1，1)所以 P1 的方程为 1(x-1)+1(y+1)+1(z-1)=0，即 P1：x+y+z-1=0 类似地可得由 M1 与 L2 决定的平面 P 2：2x+z-3=0P 1 与 P2 不平行，它们的交线就是要求的 L： 方法二 由 M0 与 L1 决定的平面 P1 如式L 2 与 P1 的交点由联立方程 解得点M1(2，0，-1) 点 M0 与 M1 连接的直线方程为【知识模块】 向量代数与空问解析几何16 【正确答案】 x 2+y2-2z2+2z-1=0【试题解析】 由直线方程的两点式得直线 AB 的方程： 写成参
14、数式： x=1+t，y=-t，z=-t，得旋转曲面 S 的方程： x 2+y2=(1-z)2+z2，即为所填【知识模块】 向量代数与空问解析几何17 【正确答案】 【试题解析】 曲面 ez-z+xy=3 的法线方向为 n=(y，x，e z-1) (1，2，0) =(1，2，0)，n0=(1，2，0) ，故 cos= ，cos=0.又【知识模块】 向量代数与空问解析几何18 【正确答案】 【试题解析】 设 u 轴上的单位向量为 u0，则 u0=(cos，cos，cos) 由题设知coa2=cos2=cos2，且 cos2+cos2+cos2=1，故 3cos2=1，又因 为锐角，故cos= ，则
15、【知识模块】 向量代数与空问解析几何19 【正确答案】 【试题解析】 记点 M0(1， 2，3) ，M(0，4，3)，s=(1，-3 ，-2)，【知识模块】 向量代数与空问解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而直线的方向向量为s=(1，-4，3)，A，B 两点连线 =(-1，1，1)，所以有解方程得 a：b：c=7 ：4：3，因此可取平面的法向量为 n=(7，4，3)，由点法式得平面方程为 7(x-0)+4(y-1)+3(z-0)=0，即7x+4y+3z-4=0【知识模块】 向量代数与空问解析几何21 【正确答
16、案】 【知识模块】 向量代数与空问解析几何22 【正确答案】 欲证结论等价于 将式对x 求导得由轮换对称性，有式平方后相加，并在等式两端约去公因子，得式分别乘以 x，y，z 后相加，结合式，得将式联立，即得证【知识模块】 向量代数与空问解析几何23 【正确答案】 由 zx=2x-2=0，z y=2y-1=0，得驻点为 ，在驻点处A=zxx=2，B=z xy=0，C=z yy=2，=B 2-AC=-40，且 A0，所以为极小值，而驻点唯一，故 为曲面的最低点，曲面在 P 处的切平面 的方程为 z= 曲面 x2+y2+z2=6 在点 Q(1，1，-2)处的法向量为 n1=(2，2，-4)；平面 x
17、+y+z=0 在点 Q(1，1，-2)处的法向量为 n2=(1，1，1)；其交线在点 Q(1，1，-2)处的切向量为 n=n1n2=(2，2，-4)(1 ，1，1)=6(1，-1，0)，于是直线 l 的方程为 ，其一般式方程为 设过直线 l 的平面束方程为(x+y-2)+(z+2)=0 ，法向量 n=(1，1，)，而切平面的法向量 n=(0，0，1)，令 n垂直 n，得 =0即直线 l 在平面 上的投影 l的方程为到直线 l的距离为【知识模块】 向量代数与空问解析几何24 【正确答案】 因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑故u(x，y)在点 P0(1，-2)处沿 gradu (1，-2) =-2i+16j 方向升高最快 设所求的路径为y=y(x)，其上任一点 P(x，y)处的切向量 =(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向 gradu=-2xi-8yj 一致，则有 求解此微分方程初值问题可知，沿着 y=-2x4 时 u(x，y)升高最快【知识模块】 向量代数与空问解析几何
