1、考研数学一（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a 与 b 为非零向量，则 ab=0 是 ( )（A）a=b 的充要条件（B） ab 的充要条件（C） ab 的充要条件（D）ab 的必要但不充分条件2 若非零向量 a，b 满足关系式 ab=a+b ，则必有 ( )（A）a 一 b=a+b（B） a=b（C） a.b=0（D）ab=03 已知向量 ，且 a 与 b 不平行，则 角平分线上的一个单位向量为 ( )（A）（B）（C）（D）4 两条平行直线 之间的距离为 ( )（A）（B）（C）（D）5 若 ab，a，
2、b 均为非零向量， x 是非零实数，则有 ( )（A）a+xba + xb（B） a一 xba（D）a 一 xb a6 已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 互相垂直，则向量 r=xa+yb+zc 的模为 ( )（A）r=xa+y b+zc（B） r=xa +yb+zc （C）（D）7 设 c=a+b，a ，b 为非零向量，且 a 与 b 不平行若这些向量起点相同，且a，b，c 的终点在同一直线上，则必有 ( )（A）0（B） 0（C） +=1（D） 2+2=18 设 y(x)是微分方程 y“(x 一 1)yx 2ye x 满足初始条件 y(0)0，y(0)1 的解，则 ( )（A）等于 1
3、（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在9 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y一 3y(2x1)e x 的特解形式为( )（A）(axb)e x（B） x2ex（C） x2(ax b)ex（D）x(axb)e x10 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y“a 1(x)ya 2(x)yf(x) 的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x) 2(x)C 23(x)（B） C11(x)一 2(x)C 23(x)（C） C11(x) 2(x)C 21(x)一 3(x)（D）C 11(x)C 22(x) C33(x)，其中 C1C 2C 3111 曲面 x
4、2+4y2 一 z2=4 与平面 x+z=a 的交线在 yOz 平面上的投影方程是 ( )（A）（B）（C）（D）(a 一 z)2+4y2+z2=412 在曲线 x=t，y= 一 t2， z=t3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在13 直线 与直线 ，之间的关系是 ( )（A）垂直（B）平行（C）相交但不垂直（D）为异面直线14 两条平行直线*，之间的距离为 ( )（A）（B）（C） 1（D）215 曲线 在点(1，一 1，0)处的切线方程为 ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题16 已知直线 则过
5、直线 l1 和 l2 的平面是_17 设 x=2a+b，y=ka+b，其中a=1 ，b=2，且 ab若以 x 和 y 为邻边的平行四边形面积为 6，则 k 的值为_18 若直线 与直线 L2：x+1=y-1=z 相交，则=_19 设 a，b 是非零向量，且b=1 及=_.20 两平面 x 一 2y+2z 一 4=0 与 2xy 一 2z 一 5=0 的交角 =_，它们的二面角的平分面方程为_21 经过点 M0(1，一 1，1)并且与两直线都相交的直线 L 的方程为_22 经过点 A(1，0，0) 与点 B(0，1，1)的直线绕 z 轴旋转一周生成的曲面方程是_23 函数 u=exz+xy 在点
6、(2，1，0) 处沿曲面 ex 一 z+xy=3 的法线方向的方向导数为_24 设向量 =(3，一 4，2)，轴 u 的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量 a 在轴 u 上的投影为_；(2)向量 a 与轴 u 正向的夹角(a,u)=_25 点(1 ，2，3) 到直线 的距离为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 求过两点 A(0，1，0) ， B(一 1，2，1)且与直线 x=一 2+t，y=14t ，z=2+3t 平行的平面方程26 求下列曲面的方程：27 以曲线 为母线，绕 z 轴旋转一周而生成的曲面；28 以曲线 为母线，绕 x 轴旋转一周而生成的曲面
7、和绕 z 轴旋转一周生成的曲面；29 以 为准线，母线平行于 z 轴的柱面方程；30 以 为准线，顶点在原点的锥面方程31 求函数 f(x，y)=x 2 一 xy+y2 在点 M(1，1)沿与 x 轴的正向组成 a 角的方向 1 上的方向导数，在怎样的方向上此导数有：(1)最大的值；(2)最小的值；(3)等于 032 设有方程 试证：gradu 2=2 A.gradu，其中 A=(x，y，z)33 记曲面 z=x2+y2 一 2x-y 在区域 D：x0，y0，2x+y4 上的最低点 P 处的切平面为 ，曲线 在点 Q(1，1，一 2)处的切线为 l，求点 P 到直线 l 在平面 上的投影 l的
8、距离 d.34 设在平面区域 D 上数量场 u(x，y)=50 一 x2 一 4y2，试问在点 P0(1，一 2)D 处沿什么方向时 u(x，y) 升高最快，并求一条路径，使从点 P0(1，一 2)处出发沿这条路径 u(x，y)升高最快考研数学一（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中 a=b 只是 ab=0 的充分条件，不是必要的；选项 B 中ab 是 a.b=0 的充要条件；选项 D 显然是错误的(只要 ab，必有 ab=0)；选项 C是正确的：如果 ab，显然 ab=0如
9、果 ab=0，当 a，b 有一个为零向量，零向量可以平行于任何向量，故 ab 正确，当 n，b 都为非零向量时，由于0= ab=absm(ab) ，而a0，b0，从而 sin(ab)=0，ab.【知识模块】 向量代数与空间解析几何2 【正确答案】 C【试题解析】 ab 2=(a 一 b).(a 一 b)=a 2+b 2 一 2a.b，a+b 2=(a+b).(a+b)=a 2+b 2+2a.b，从ab= a+b即知一 2a.b=2a.b，4a.b=0 ，所以 a.b=0或者由向量加减运算的几何意义，a 一 b 与 a+b 分别表示以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的两
10、对角线长度相等时，必是矩形，即知 ab，a.b=0应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 D【试题解析】 先把 a、b 单位化 则易知，a 0+b0 是 a、b 为边的角平分线上的向量，它的单位向量是 应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 D【试题解析】 两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在L1 上取点 M1(x1，y 1，z 1)，则 M1 到 L2 的距离(如图 142 所示)其中 M2(x2，y 2，x 2)是 L2 上的点， s2 是 L2 的方向向量所以应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 C
11、【试题解析】 a+xb 2=(a+xb).(a+xb)=a 2+2xa.b+x2b 2=a 2+x2b 2a 2，所以a+bxba应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何6 【正确答案】 D【试题解析】 r 2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc)=x2a 2+y2b 2+z2c 2，所以 应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何7 【正确答案】 C【试题解析】 依题意，a+b 一 b 与 a+b 一 a 平行，从而有(a+bb)(a+b 一 )=0，即 ab+baba 一 aba+ba=0因为 ab=一 ba，所以从上式可得(+)ba=ba又 a 与 b 不平行，ab0
12、，故得 +=1应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何8 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y“(x 一 1)yx 2ye x 中，令 x0，则 y“(0)2，【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y“一 2y一 3y(2x1)e x 的特征方程为 2 一 2 一 30，特征值为 1一 1， 23，故方程 y“一 2y一 3y(2x 1)e x 的特解形式为 x(axb)ex ，选(D)【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)， 3(x)为方程 y“a 1(x)ya 2(x)yf(x) 的三个线性无关解，所以
13、 1(x)一 3(x)， 2(x)一 3(x)为方程 y“a 1(x)ya 2(x)y0 的两个线性无关解，于是方程 y“a 1(x)ya 2(x)yf(x)的通解为 C11(x)一 3(x)C 22(x)一 3(x) 3(x) 即 C11(x)C 22(x)C 33(x)，其中 C31 一 C1 一 C2或 C1C 2C 31，选(D)【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 A【试题解析】 根据题意，曲面与平面的交线在 yOz 平面上的投影应在 yOz 平面上，故 x=0，因而选项 B 和 D 不对又曲面与平面的交线在 yOz 平面上的投影柱面方程应不含变量 x，故选项 C 也不对应选
14、 A【知识模块】 向量代数与空间解析几何12 【正确答案】 B【试题解析】 对应于 t0 处曲线切线的方向向量为 =(1，一 2t0，3t 02)，该切线与平面 x+2y+z=4 平行 与该平面的法向量 n=(1，2， 1)垂直【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L1 与直线 L2 的方向向量分别为 1=(2，3，4)， 2=(1，1，2)，显然既不平行也不垂直直线 L1 与直线 L2 分别过点 M1(0，一 3，0)和 M2(1，一2，2)混合积 直线 L1 与直线 L2 共面直线 L1 与直线L2 相交但不垂直【知识模块】 向量代数与空间解析几何1
15、4 【正确答案】 B【试题解析】 连接直线 L1 上点 M1(1，一 1，0)与直线 L2 上点 M2(2，一 1，1)的向量为 (1，0，1) ，L 1 的方向向量 =(1，2，1)，则【知识模块】 向量代数与空间解析几何15 【正确答案】 D【试题解析】 曲面 x2+y2+z2=2 在点(1，一 1，0)处的法向量为 n1=(2，一 2，0)，平面 x+y+z=0 的法向量为 n2=(1，1，1) ，于是，曲线 在点(1，一1，0)处的切向量为 =n1n2=(一 2，一 2，4)，故所求切线方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何二、填空题16 【正确答案】 5x+3y-z-1=0【试题
16、解析】 l 1，l 2 的方向向量分别为 s1=(1，一 1，2)，s 2=(-1，2，1)，过直线l1，l 2 的平面的法向量可取为 在 l2 上取点(1 ，一 1，1) ，故所求平面为一 5(x-1)一 3(y+1)+(z-1)=0即 5x+3y-z-1=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何17 【正确答案】 一 1 或 5【试题解析】 以 x，y 为邻边的平行四边形的面积【知识模块】 向量代数与空间解析几何18 【正确答案】 【试题解析】 L 1 的方向向量 S1=(1，2，)，L 2 的方向向量 s2=(1，1，1)，L 1 上的点 A(1，一 1，1) ，L 2 上的点 B(一 1
17、，10)因 L1 与 L2 相交，故 s1，s 2 与=(一 2，2，一 1)三向量共面，(s 1s2). 因为【知识模块】 向量代数与空间解析几何19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何20 【正确答案】 【试题解析】 x-2y+2z-4=0 的法向量可写为，n 1=(1，一 2，2) ，2xy-2z-5=0 的法向量，n 2=(2，一 1，一 2) 所以 求二面角的角平分面方程的方法有多种用平面束方程：x-2y+2z-4+(2xy-2z-5)=0 即 (2+1)x 一(+2)y+(2-2)z-4-5=0 它与平面 x-2y+2z-4=0 的二面角等于它与平面2
18、xy-2z 一 5=0 的二面角由夹角公式可得2+1+2(2+)+2(22)=2(2+1)+(2+)-2(2-2)，即 9= 9，所以 =1，相应的两个平面如上所填【知识模块】 向量代数与空间解析几何21 【正确答案】 【试题解析】 L 1 的方向向量取 1=(1，一 2，1)L 1 上取一点，例如取点 M1(0，一2，3) M0 与 M1 连线的方向向量可取 2=(1，1，一 2)由 M0 与 L1 决定的平面 P1的法向量既与 2 垂直，又与 2 垂直，所以 P1 的法向量可取 n1=12=(3，3，3)=3(1，1，1)所以 P1 的方程为 1(x 一 1)+1(y+1)+1(z 一 1
19、)=0，即 P1：x+y+z 一1=0 类似地可得由 M1 与 L2 决定的平面 P2：2x+z 一 3=0P 1 与 P2 不平行，它们的交线就是要求的 L：【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 x 2+y2 一 2z2 一 2z 一 1=0【试题解析】 由直线方程的两点式得直线 AB 的方程： 写成参数式：x=1+t, y= 一 t,z=一 t，得旋转曲面 S 的方程：x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即为所填【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 【试题解析】 曲面 ez 一 z+xy=3 的法线方向为【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确
20、答案】 【试题解析】 设 u 轴上的单位向量为 u0，则 u0=(cos，cos，cos) 由题设知cos2=cos2=cos2，且 cos2+cos2+cos2=1，故 3cos2=1，又因 为锐角，故，则 (2)【知识模块】 向量代数与空间解析几何25 【正确答案】 【试题解析】 记点 M0(1， 2，3) ，M(0，4，3)，s=(1，一 3，一 2)，【知识模块】 向量代数与空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而直线的方向向量为 s=(1，一 4，3) ，A，B 两点连线 ，所以有 解方程得 a：b
21、：c=7：4：3，因此可取平面的法向量为 n=(7，4，3)，由点法式得平面方程为 7(x 一 0)+4(y 一 1)+3(z 一 0)=0，即 7x+4y+3z 一 4=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何【知识模块】 向量代数与空间解析几何27 【正确答案】 1 一 z=x2+y2，即 x2+y2+z=1，是旋转抛物面，是椭圆抛物面的特例【知识模块】 向量代数与空间解析几何28 【正确答案】 绕 z 轴曲面方程为 x2 一 y2 一 z2=3，是旋转双曲面，是双叶双曲面的特例；绕 z 轴曲面方程为： x2+y2 一 z2=3，是单叶双曲面的特例【知识模块】 向量代数与空间解析几何29 【
22、正确答案】 方程为 x2 一 2y+xy 一 x 一 2=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何30 【正确答案】 方程为 y2+z2 一 4z2=0，是圆锥面【知识模块】 向量代数与空间解析几何31 【正确答案】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何32 【正确答案】 欲证结论等价于 ux2+uy2+uz2=2(xux+xux+yuy，zu z)将 式对 x求导得式分别乘以 x，y，z 后相加，结合 式，得将式联立，即得证【知识模块】 向量代数与空间解析几何33 【正确答案】 由 zx=2x 一 2=0，z y=2y 一 1=0，得驻点为 ，在驻点处A=zxx=2，B=z xy=0，C=z
23、yy=2，=B 2 一 AC=一 40，且 A0，所以为极小值，而驻点唯一，故 为曲面的最低点，曲面在 P处的切平面 的方程为 曲面 x2+y2+z2=6 在点 Q(1，1，一 2)处的法向量为n1=(2，2，一 4)；平面 x+y+z=0 在点 Q(1，1，一 2)处的法向量为 n2=(1，1，1)；其交线在点 Q(1，1，一 2)处的切向量为 n=n1n2=(2，2，一 4)(1，1，1)=6(1，一1，0)，于是直线 l 的方程为 ，其一般式方程为 设过直线 l 的平面束方程为(x+y 一 2)+(z+2)=0，法向量 n2=(1，1，)，而切平面的法向量 n=(0，0，1)，令 垂直 n，得 =0即直线 l 在平面 上的投影 l的方程为到直线 l的距离为【知识模块】 向量代数与空间解析几何34 【正确答案】 因为方向导数沿其梯度方向取得最大值，则考虑故 u(x，y)在点 P0(1，一 2)处沿 gradu (1,-2)=一 2i+16j 方向升高最快设所求的路径为 y=y(x)，其上任一点 P(x，y)处的切向量 =(dx)i+(dy)j，由题意知，它应与它的梯度方向 gradu=一 2xi一 82j 一致，则有 求解此微分方程初值问题可知，沿着 y=一 2x4 时 u(x，y) 升高最快【知识模块】 向量代数与空间解析几何
