1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x，y ，z)=x 2+y2+z2 在点(1，一 1，1)处沿曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 在该点指向 x 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )（A）一 12（B） 12（C） （D） 2 在曲线 y=x2+x+1 上横坐标为 x1=0，x 2=一 1，x 3=一 三点处的法线的交点个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）03 已知 a，b 为非零向量，且 ab，则必有( )（A）a+b =a + b（B） a 一 b=a b（C） a+
2、b=a 一 b（D）a+b=a 一 b4 已知( )（A）重合（B）相交于一点（C）平行但不重合（D）异面直线5 已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（A）a，b， c 两两相互平行（B） a，b，C 两两相互垂直（C） a，b，c 中至少有一个为零向量（D）a，b， C 共面6 函数 u=x2y3z4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A 到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于( )（A）20（B）一 20（C） （D）一 7 已知向量 a，b 相互平行但方向相反，且 a b0，则必有( )（A）a+b ab（B） a+b=ab（C） a+b=a+ b（D）a+b ab8 函数 f(x
3、，y)=arctan 在点(1，0)处的梯度向量为( )（A）一 i（B） i（C）一 j（D）j9 设 a，b，c 均为单位向量，且 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a 等于( )（A）1（B）一 （C） （D）一 110 设有直线 L： 及平面： 4x 一 2y+z 一 2=0，则直线 L( )（A）平行于（B）在 上（C）垂直于 （D）与斜交二、填空题11 点(2 ，1，0) 到平面 3x+4y+5z=0 的距离 d=_12 直线 L： 的夹角为_。13 直线 ，与平面 x 一 yz+1=0 的夹角为_14 过点 P(一 1，0，4)且与平面 3x 一 4y+z+10=0 平行，
4、又与直线 L：相交的直线方程是_15 点 M1(1，2，3)到直线 L： 的距离为_16 两个平行平面 1：2xy 一 3z+2=0， 2：2x y 一 3z 一 5=0 之间的距离是_17 点 A(4，一 3，1) 在平面 II：x+2yz 一 3=0 的投影是_18 直线 L： 一在平面：x 一 y+3z+8=0 上的投影方程为_19 曲线 ，在 yOz 平面上的投影方程为_20 设一平面经过原点及点(6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8 垂直，则此平面方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设直线 l： 在平面上，而平面与曲面 z=x2+y2 相切于点(1
5、，一 2，5)，求 a，b 之值22 求直线 l： 在平面：x 一 y+2z 一 1=0 上的投影直线 l0 的方程，并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 x=t，y=一 t2，z=t 3 在点(1，一 1，1)处切线向量为 t=(1，一2，3)，而指向 x 轴负向一侧的切向量为(一 1，2，一 3)，则所求的方向导数为故选 C【知识模块】 向量代数和空间解析几何2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 向量代数和空间解析
6、几何3 【正确答案】 C【试题解析】 a+b与a 一 b在几何上分别表示以 a，b 向量为邻边的矩形的两条对角线的长度，则必有a+b= ab，故选 C【知识模块】 向量代数和空间解析几何4 【正确答案】 B【试题解析】 设 M1(a1， b1，c 1)，M 3(a3，b 3，c 3)，显然点 M1 和 M3 分别在两条直线上 =(a3 一 a1，b 3 一 b1，c 3 一 c1)，由于则第二个行列式的前两行不成比例，因此题干所给直线不平行，故选 B【知识模块】 向量代数和空间解析几何5 【正确答案】 D【试题解析】 由 ab+bc+ca=0，知(ab).c+(bc).c+(ca).c=0而(
7、bc).c+(ca).c=0，则(ab).c=0故 a，b ，c 共面，应选 D【知识模块】 向量代数和空间解析几何6 【正确答案】 C【试题解析】 故选 C【知识模块】 向量代数和空间解析几何7 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 a，b 相互平行且方向相反，ab 0，则故选 B【知识模块】 向量代数和空间解析几何8 【正确答案】 D【试题解析】 则 gradf (1,0)=j，故选 D【知识模块】 向量代数和空间解析几何9 【正确答案】 B【试题解析】 由于 a+b+c=0，则 (a+b+c).(a+b+c)=0 ， 即 a 2+b2+c2+2(a.b+b.c+c.a)=0其中，a 2=
8、b2=c2=1因此 a.b+b.c+c.c=一 ，故选 B【知识模块】 向量代数和空间解析几何10 【正确答案】 C【试题解析】 由已知可得，直线 L 的方向向量为 s= =一 28i+14j一 7k=一 74，一 2，1 平面的法向量 n=4，一 2，1，显然 s 与 n 平行，因此直线 L 与平面 垂直，故选 C。【知识模块】 向量代数和空间解析几何二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 利用点到平面的距离公式可得：【知识模块】 向量代数和空间解析几何12 【正确答案】 【试题解析】 两条直线方向向量的夹角即为所求， L 1 的方向向量 S1=1，一 2，1；【知识模块】 向量代数和空
9、间解析几何13 【正确答案】 =0【试题解析】 设直线与平面的夹角为 ，直线与平面法向量的夹角为 ，直线的方向向量是 因此 =0【知识模块】 向量代数和空间解析几何14 【正确答案】 【试题解析】 过点 P(一 1，0，4)且平行于平面 3x 一 4y+z+10=0 的平面方程为 3x一 4y+z 一 1=0 过直线 的平面束方程为 2x 一 z+2+(2y 一 z 一6)=0，把点 P(一 1，0，4)的坐标代入上式可得，=一 因此过点 P 和直线 L 的平面方程为 10x 一 4y 一 3z+22=0，则。【知识模块】 向量代数和空间解析几何15 【正确答案】 【试题解析】 点 M0(0，
10、4 ，3) 为 L 上的点，以 l=1，一 3，一 2为方向向量，=1，一 2，0，则点 M1 到直线 L 的距离为【知识模块】 向量代数和空间解析几何16 【正确答案】 【试题解析】 在平面上任取一点 P0(一 1，0，0)，则平行平面 1 到 2 的距离转化为点 P0 到平面 2 的距离，利用点到平面的距离公式，则有【知识模块】 向量代数和空间解析几何17 【正确答案】 (5，一 1，0)【试题解析】 根据题意，由点 A 向平面作垂线 L，其参数方程为：x=t+4，y=2t 一 3，z=一 t+1，代入到平面的方程得(t+4)+2(2t 一 3)一(一 t+1)一 3=0，解得 t=1故
11、L 与平面的交点是(5，一 1，0)，即投影点是 (5，一 1，0)【知识模块】 向量代数和空间解析几何18 【正确答案】 【试题解析】 假设平面 1 过 L 且垂直于平面，设 L 的方向向量为 s， 1 的法向量为 n1，的法向量为 n，则 n1s，n 1n，而【知识模块】 向量代数和空间解析几何19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量代数和空间解析几何20 【正确答案】 2x+2y 一 3z=0【试题解析】 原点和点(6，一 3，2)连线的方向向量为 s=(6，一 3，2)；平面 4x一 y+2z=8 的法向量为 n=4，一 1，2 根据已知条件，所求平面的法向量为因此所求平面
12、的方程为 2(x 一 0)+2(y 一 0)一3(z 一 0)=0， 即 2x+2y 一 3z=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 令 F(x，y，z)=x 2+y2z，则有 Fx=2x，F y=2y，F z=一 1，在点(1，一 2，5)处曲面的法向 量为 n=2，一 4，一 1，于是切平面的方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0， 化简为 2x 一 4yz 一 5=0 根据 l：得到 y=一 x 一 6，z=x 一 3+a(一 x 一 6)，将其代入平面方程有 2x+4x+4b 一 x+3+ax+ab 一 5=0， 因此有 5+a=0 ， 4b+ab2=0， 解得 a=一 5，b= 一2【知识模块】 向量代数和空间解析几何22 【正确答案】 过直线 l 作一垂直于平面的平面 1，其法向量既垂直于 f 的方向向量 s=1，1，一 1，又垂直于平面的法向量 n=1，一 1，2 ，由向量积求得又因为(1，0，1)是直线 l 上的点，所以这个点也在平面 1 上，根据点法式得到 1 的方程为(x 一 1)一 3y 一 2(z1)=0，即 x 一 3y 一 2z+1=0 因此 l0 的方程为即 4x 217y2+4z2+2y1=0【知识模块】 向量代数和空间解析几何
