1、考研数学一（常微分方程）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知微分方程 y“+by+y=0 的每个解都在区间(0，+) 上有界，则实数 b 的取值范围是( )（A）0 ，+) （B） (一，0（C） (一，4（D）(一， +)2 具有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=03 方程 xxy“+2xy一 2y=0 的通解为 ( )（A）y=C 1e
2、x+C2e2x（B） y=(C1+C2x)ex（C） y=C1x+C2x2（D）y= +C2x4 设 y= 的表达式为( )。5 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2=1 的特解为( )（A）xy 2=4（B） xy：4（C） x2y=4（D）一 xy=46 已知 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（A）y=Cy 1(x)（B） y=Cy2(x)（C） y=C1y1(x)+C2y2(x)（D）y=C 1(y1(x)y2(x)7 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3，都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y
3、=f(x)的解，C 1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3二、填空题8 微分方程 y“一 2y+2y=ex 的通解为_9 二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_10 微分方程 满足初始条件 y=1 的特解是_11 欧拉方程 +2y=0(x0) 的通解为_ 12 已知 y1=e3xxe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性
4、微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_13 设 y=ex(asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_14 方程(xy 2+x)dx+(y 一 x2y)dy=0 的通解是_15 微分方程 xy“+3y=0 的通解为 _16 微分方程 y= 的通解是_17 微分方程 y=1+x+y2+xy2 的通解为_18 已知函数 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，则 y“(0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f u(u，v)=sin(u+v)e
5、，求 y(x)=e2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解20 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)21 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成
6、的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程22 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数 (1)试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y(0)= 的解23 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh，经测试，
7、减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6)，问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?( 注：kg 表示千克，kmh 表示千米小时)考研数学一（常微分方程）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 方程 y“+by+y=0 的特征方程为 r2+br+1=0，特征根为由以上解的形式可知当 b0 时，每个解都在 0，+) 上有界，故选 A【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 是所求方程的三个特解知，r=一 1，一1
8、，1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r 一1)(r+1)2=0，即 r3+r2 一 r 一 1=0，对应的微分方程为 y“+y“一 y一 y=0，故选 B【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 这是一个欧拉方程，令 x=et，D= 原方程化为 D(D 一 1)y+2Dy 一2y=0，即 一 2y=0， 特征方程为 r2+r 一 2=0，特征根为 r1=一 2，r 2=1，则通解 y=C1e2t+C2et，即 y= +C2x【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 原微分
9、方程分离变量得 ，两端积分得 lny=一2lnx+lnC，x 2y=C， 将 y x=2=1 代入得 C=4，故所求特解为 x2y=4应选 C【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1(x)和 yx(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则 y=C(y1(x)一 y2(x)为该方程的解【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y3)，(y 2 一 y3)都是齐次线性方程 y“
10、+p(x)y+q(x)y=0 的解，且(y1 一 y3)与(y 2 一 y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C1(y1 一 y3)+C2(y2一 y3)比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选 D【知识模块】 常微分方程二、填空题8 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【试题解析】 对应的特征方程为 r 2 一 2r+2=0 解得其特征根为 r1,2=1i 由于=1 不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Ae*，代入原方程解得 A=1 因此所求的通解为 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=
11、C 1ex+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 特征方程为 r2 一 4r+3=0，解得 r1=1，r 2=3 则对应齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=0 的通解为 y=C 1ex+C2e3x 设非齐次线性微分方程 y“一4y+3y=2e2x 的特解为 y *=ke2x 代入非齐次方程可得 k=一 2 故通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x=2，y=1 代入，得 C=1故 x=x2+y【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=【试题解析】 令 x=et，则【知识模块】 常微分方程12 【正确答案
12、】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2 一 y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关自解且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程的一个特解 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y“一 2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，因此特征方程为 (r r1)(rr2)=r2 一(r 1+r2)r+r1r2=r2 一 2r+2=0 故所求微分
13、方程为 y“ 一2y+2y=0【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 y 2+1=C(x2 一 1)【试题解析】 由题干可得 (y 2+1)xdx+(1 一 x2)ydy=0，则分离变量得所以通解为y2+1=C(x2 一 1)【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y=C 1+【试题解析】 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 y=Cxe x(x0)【试题解析】 原方程等价为 两边积分得 lny=lnx 一 x+C1 取C= ，整理得 y=Cxe x(x0)【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y=tan (1+x)2+C【试题解析】 将已知方程变形后，并整理得【知识模块】
14、 常微分方程18 【正确答案】 y“(0)= 一 2【试题解析】 由题干可知，方程两边对 x 进行两次求导得 e yy+6xy+6y+2x=0， (1) eyy“+eyy2+6xy“+12y+2=0， (2) 将 x=0 代入原方程得 y=0，将 x=y=0 代入(1) 得y=0再将 x=y=y=0 代入 (2)得 y“(0)=一 2【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 y(x)=e2xf(x，x)，有 y(x)=一 2e2xf(x，x)+e 2xf1(x，x)+f2(x，x)， 由 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)
15、e u+v 可得 f 1(x，x)+f 2(x，x)=(sin2x)e 2x 于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x 通解为 y(x)=e 2xsin2x.e2xdx+C， 由分部积分公式，可得 【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 选取沉放点为原点 O，Oy 轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 设曲线 y=y(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Y 一 y=y(Xx)，并且 y(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令 p=y，则上述方程可化 根据 y(0)=1，y(0)=1，可得 C1=1，C 2=1 故所求曲线的方程为 y=ex【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 代入原微分方程得 y“一 y=sinx (*) (2)方程(*)所对应的齐次方程 y“一 y=0 的通解为 Y=C1ex+C2ex 设方程(*)的特解为 y *=Acosx+Bsinx，【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由题设，飞机的质量 m=9000 kg，着陆时的水平速度 v=700 kmh从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为 x(t)，速度为 v(t)=x(t) 根据牛顿第二定律，得所以，飞机滑行的最长距离为 105km【知识模块】 常微分方程
