1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X-2Y 的方差是( )（A）8（B） 16（C） 28（D）44二、填空题2 已知随机事件 A 的概率 P(A)=05，随机事件 B 的概率 P(B)=06 及条件概率P(B|A)=08，则和事件 AB 的概率 P(AB)=_3 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_4 设相互独立的两个随机变量 X 与
2、Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 ，则随机变量 Z=maxX，Y的分布律为_5 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 将 n 个同样的盒子和，n 只同样的小球分别编号为 1，2，n。将这 n 个小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球，问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?7 设事件 A、B、C 两两独立，且 ABC=，P(A)=P(B)=P(C)=p，问 p 可能取的最大值是多少?8 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= ，- x
3、+，-y+，求常数 A 及条件概率密度 fY|X(y|x)9 某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10 件产品进行检验，若发现这 10 件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)，记 X为一天中调整设备的次数，试求 X 的分布列10 设随机变量 X，Y，Z 独立，均服从指数分布，参数依次为 1， 2， 3(均为正)，求 PX=min(X，Y，Z)11 设一电路装有 3 个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为 的指数分布( 0)，当 3 个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间 T 的密度 f(t)
4、。12 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 25，设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望。12 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数13 求 Y 的概率分布；14 求 EY15 设随机变量 X1，X n，X n+1 独立同分布，且 P(X1=1)=p，P(X 1=0)=1-p，记：16 利用中心极限定理证明：17 从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上的概率为 002，
5、求总体的标准差(233)=099) 18 设总体 X 的概率密度为 其中 -1 是未知参数，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量19 设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数(01)，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1，x 2，x n 中小于 1 的个数，求 的最大似然估计19 设总体 X 的概率密度为 其中参数 (01)未知，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值20 求参数 的矩估计量21 判断 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由。22
6、设总体的密度为： 其中 0，而 和 为未知参数，从 X 中抽得简单样本 X1，X 2，X n，试求 和 的矩估计和最大似然估计23 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并给出检验过程。附表：t 分布表，Pt(n)tp(n)=p考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 DX=4，DY=2，且 X 与 Y 独立，故 D(3X-2
7、y)=9DX+4DY=94+42=44【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题2 【正确答案】 0.7【试题解析】 由 08=P(B|A)= ，得 P(AB)=08P(A)=0 80 5=04故P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=05+0 6-0 4=0 7【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 【试题解析】 由题意得 得 P(A)-P(AB)=P(B)=P(AB)，P(A)=P(B)=1-P(AB)=1-P(A)+P(B)-P(AB)=1-2P(A)+P(A)2 解得 P(A)=【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 由已知知，Z 可能取的值为 0、1
8、两个而 PZ=0=PmaxX，Y=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1=P(Z=0)=【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 由题意，X 的概率分布为： 且 P(Y=2|X=1)=0， P(Y=2|X=2)= ，P(Y=2|X=3)= ，P(Y=2|X=4)= ，故由全概率公式得【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p-3p2，又 P(ABC)P(AB
9、)=P(A)+(B)-P(AB)=2p-p2，2p-p 23p-p2，解得 (p=0 显然无意思)；取 =w1，w 2，w 3，w 4，p(w i)= ，i=1，4，A=w 1，w 2，B=w1，w 3，C=w 2，w 3，则 P(A)=P(B)=P(C)= ，而此 A、B、C 两两独立且ABC=，可见 p 可能取的最大值应为 (后半部分在说明：这个 可以“取到”，而非仅是一个“ 界”)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 关于 X 的边缘概率密度为：当-x+时，【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品，则 YB(10，01)而XB
10、(6，p) ，其中 p=P(Y1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C 10009 10-0-C101 01 109 10-1=02639，故 P(X=k)=C6k02639 k07361 6-k，k=0 ，1， 2，6。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 记 X1，X 2，X 3 为这 3 个元件的无故障工作的时间，则T=min(X1，X 2，X 3)的分布函数为 FT(t)=P(Tt)=1-Pmin(X1，X 2，X 3)t=1-P(X1t) 3=1-1-P(X1t)3【知识模块】 概
11、率论与数理统计12 【正确答案】 由题意，XB(3， )分布函数 F(x)=P(Xx)当 x0 时，F(x)=0 当 0x1 时，F(x)=PX=0= 当 1x2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=当 2x3 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 当 x3时，F(x)=1【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 EY i=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，X i+1=1)+P(Xi=1，X i+1=0)=2p(1-p)，i=
12、1， ，n =2np(1-p)，而 E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1-p)，DYi=E(Y22)-(EYi)2=2p(1-p)1-2p(1-p)，i=1，2， ，n若 l-k2，则 Yk 与 Yl 独立，这时 cov(Yk，Y l)=0，而 E(YkYk+1)=P(Yk=1，Y k+1=1)=P(Xk+Xk+1=1，X k+1+Xk+2=1)=P(Xk=0，X k+1=1，X k+2=0)+P(Xk=1，X k+1=0，X k+2=1)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p)，cov(Yk，Y k+1)=E(YkYk+1)-EYkEY k+1=p(1-p)-4p2(1-p
13、)2，故=2np(1-p)1-2p(1-p)+ cov(Yk，Y k+1)=2np(1-p)1-2p(1-p)+2(n-1)p(1-p)-4p2(1-p)2=2p(1-p)2n-6np(1-p)+4p(1-p)-1【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 引随机变量 Xk(1)(参数为 1 的泊松分布)，k=1 ，2，且Xk相互独立，由泊松分布的再生性知令 n，由中心极限定理即知：【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设总体 XN(， 2)，则 ，由题意得：【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 矩估计：再求最大似然估计，似然函数 L(x1， ，x n；) 为当
14、0x 1，x n1 时，lnL=nln(+1)+ln(x1xn)由于，lnL，在 0 处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知 lnL(或 L)在 =0 处取得最大值，故知 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 似然函数而由题意，x1，x 2，x n 中有 N 个的值在区间(0，1)内，故知 L=N(1-)n-NlnL=Nln+(n-N)ln(1-) 故知 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 由DX0，0，可知 E4( )2 2，有4( )22，即 4( )2 不是 的无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 设这次考试全体考生的成绩为总体 X，抽的 36 位考生的成绩为简单随机样本值 x1，x n，而 和 s2 分别为样本均值和样本方差，由题意，可设XN(， 2)， 2 未知现要检验 H0：=70，(H 1：70)(=0 05)故接受 H0，即认为这次考试全体考生的平均成绩(即 )与 70 分没有显著差异(在显著水平 005 下)【知识模块】 概率论与数理统计
