1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有( )（A）P(AB) P(A)（B） P(AB)P(B)（C） P(AB)=P(A)（D）P(AB)=P(B)2 抛 n 次硬币(该币每次出现正面的概率均为 p)，则共出现偶数次正面的概率为：( )3 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 已知随机事件X=0)与 X+Y=1相互独立，则 ( )（A）a=0 2 ，b=03（B） a=04，b=01（C） a=03，b=02（D）a=0 1 ，6=044 设 F
2、1(x)与 F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（A）f 1(x)f2(x)（B） 2f2(x)F1(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)5 设随机变量 Xi ，i=1 ，2；且 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于( )（A）0（B） 14（C） 12（D）16 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 ：X-Y 不相关的充分必要条件为( )（A）E(X)=E(Y)（B） E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)2（C） E(X2)=E(Y2)（
3、D）E(X 2)+E(X)=E(Y2)+E(Y)2二、填空题7 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 06 和 05，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_8 设 X 和 y 为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=Py0= 则Pmax(X，Y)0=_9 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 则EX=_，DX=_10 设随机变量 X 服从(-a，a)上的均匀分布(a0) ，且已知 P(X1)=13，则a=_，D(x)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为 7
4、 的结果之前的概率。12 函数 是否可以是某随机变量(X，Y) 的分布函数?为什么?13 设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 12 的正态分布，求|X-Y|的方差14 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求 E(X)和 D(X)。15 设随机变量 X 的密度为 ，- x+，求 Emin(1，|X|)16 已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布，YN(2，16)求cov(2X+XY，(Y-1) 2)17 对随机变量 X 和 Y，
5、已知 EX=3，EY=-2 ，DX=9，DY=2，E(XY)=-5设U=2X-Y-4，求 EU，DU18 从正态总体 N(34，6 2)中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14， 54)内的概率不小于 095，问样本容量，n 至少应取多大?19 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得样本 X1， ，X n，X n+1，记19 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的简单随机样本，记20 证明 T 是 2 的无偏估计量；21 当 =0， =1 时，求 DT22 设总体 X 在区间(-，+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本X1，X n，求 和 (均为未知参数)的矩估
6、计，并问它们是否有一致性23 总体 XN(2， 2)，从 X 中抽得简单样本 X1，X n试推导 2 的置信度为 1- 的置信区间，若样本值为：18，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间，( 0975 2(6)=14449， 0025 2(6)=1237，下侧分位数)24 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16kgmm 2 为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平=005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0975 2(8)=17535
7、， 0025 2(8)=2180，下侧分位数)考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=P(A|B)= ，得 P(B)=P(AB)故 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 Cnk(-p)k(1-p)n-k=-P+(1-p)n=(1-2p)n，二式相加得：2 Cnkpk(1-p)n-k=1+(1-2p)n，故应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知 04
8、+a+b+01=1，a+b=05而 P(X=0)=04+a，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b=0 5，P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=aP(X=0，X+Y=1=P(X=0)P(X+Y=1)a=(0 4+a)05，得 a=04，从而 b=01，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 F1(x)=f1(x)，F 2(x)=f2(x)，且 F1(x)F2(x)为分布函数，那么F1(x)F2(x)=f1(x)F2(x)+F1(x)f2(x)为概率密度。故选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案
9、】 A【试题解析】 由已知可得(X 1，X 2)的联合及边缘分布列如下表，由 P(X1X2=0)=1可推出其中的 4 个 0(如：0P(X 1=1，X 2=1)P(X1X2=1)P(X1X20)=1-P(X1X2=0)=0， P(X1=1，X 2=1)=0)故 P(X1=X2)=0，应选(A)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 cov( ，)=cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=EX 2-(EX)2-EEY2-(EY)2 而“cov(，)=0”等价于“ 与 不相关”，故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题7 【正确答案】 0.75【试题解析】 记 A=
10、(甲命中目标)，B=(乙命中目标 )，C=(目标被命中)，则由题意知：P(A)=0 6，P(B)=0 5，A 与 B 独立，且 C=AB，AC=A故 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=06+0 5-0605=08 所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 Pmax(X ， Y)0=P(X0)(y0)=PX0+PY0-PX0，Y0【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 1；【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 3；3【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应
11、写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 记 Ai=第 i 次抛时点数之和为 5，B i=第 i 次抛时点数之和为 7，则 P(Ai)= ，P(B i)= ，A iBi=，得 =1-P(AiBi)= ，i=1 ，2，又记 C1=A1，C k=前 k-1 次抛掷时点数之和非 5 非7，第 k 次抛掷时点数之和为 5)(即 Ck= Ak，k=2，3，而 C1，C 2，两两不相容， ，A k 相互独立 P(Ck)=，P(A k)= ，k=1 ，2， ，所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 令 a=c=0，b=d=2，则 ab，cd，但 F(b，d)-F(a ，d)-
12、F(b ，c)+F(a，c)=1-1-1+0=-10，可见 F(x，y)不是随机变量的分布函数。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 记 =X-Y由 XN(0， )，及 E=0，D=DX+DY=1知 N(0，1) E(|)2=E2=D+(E)2=1+02=1 故 D(|X-Y|)=D|=E(|)2=E|2=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 记 Ak=生产的第 k 个产品是合格品)，k=1，2，而 X 可能取的值为全体自然数由题意得 P(X=k)=P(A1A2Ak-1 )=P(A1)P(A2)P(Ak-1)=(1-p)k-1p，k=1 ，2，(这里 A1，A 2，都相
13、互独立，且 P(Ai)=1-p，i=1 ，2， )【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 cov(2X+XY，(Y-1) 2)=cov(2X+XY，Y 2-2Y+1)=cov(XY，Y 2-2Y)=cov(XY，Y 2)-2cov(XY， Y)=E(XY3)-E(XY)E(Y2)-2E(XY2)-E(XY)EY=EXEY 3-EXEYEY2-2EXE(Y2)-EX(EY)2，本题中 EX=3，EY=2，E(Y 2)=DY+(EY)2=16+22=20，而 = N(0，1)，所以 Y=4+2，注意 E=0，E( 2)-D+(E)2=1，
14、E( 3)=-+x3 dx=0，E(Y 3)=E(4+2)3=64E(3)+96E(2)+48E+8=640+961+480+8=104，代回得 cov(2X+XY，(Y-1) 2)=96【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 EU=2EX=EY-4=23+2-4=4，DU=D(2X-Y-4)=4DX+DY-4cov(X，Y)=49+2-4E(XY)-EXEY=36+2-4(-5+32)=34【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设总体为 X，样本均值为可见，n 至少应取 35【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设零件强度为总体 X，则 XN(， 2)，检验 H0： 2=16 2拒绝域为 2= (n，-1)并 2 (n-1)，这里02=16 2，n=9，算得 =390625，故 (n-1)=2180 217535= (n-1)，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计
